第十一章 桥梁结构几何非线性

今天，有限位移理论一般用有限元方法通过计算机 程序来求解。因此，程序的编制也应看成是非线性计算 理论和方法不可分割的一部分。七十年代未，国外相继 推出了 ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP 等结构分析综合程序。它们可用于桥梁结构的部分非线 性计算和局部应力分析。但由于缺少许多必备的功能， 这些程序无法完整地完成桥梁设计计算。国内学者根据 规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序，如同济大 学桥梁系开发的BAP系统、交通部公规院开发的QJS系 统，有的已具备非线性计算功能。随着计算机技术的发 展，桥梁结构分析软件也得到了迅速发展，经历了从单 一化结构分析到将数据管理、用户接口、图形加工与管 理、面向对象的软件设计和可视化技术融为一体的发展 过程。
现代桥梁工程的发展和跨径的增大，使得结构 越来越柔，越来越复杂，结构分析中梁柱效应、索 的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得 不可忽略，对各种复杂结构，建立挠度理论的平衡 微分方程及其求解也越来越困难。为此，工程界渴 望出现更精确、方便的理论和方法。
Hale Waihona Puke 六十年代初，M.J.Turner、Brotton等开始发表 求解结构大位移、初应力问题的研究成果，Poskitti、 Saffan等也在此领域里作出了贡献。这些理论方法都 可归入几何非线性力学的有限位移理论。在建立以杆 系结构有限位移理论为基础的大跨径桥梁结构几何非 线性分析平衡方程时，一般考虑了三方面因素的几何 非线性效应：
1) 单元初内力对单元刚度矩阵的影响。一般情 况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯 矩对轴向刚度的影响。常通过引入稳定函数或单元几 何刚度矩阵的方法来考虑。在大跨径桥梁结构分析中 遇到的初应力（或初应变）问题，就是指结构现有内 力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。
2) 大位移对建立结构平衡方程的影响。在这个问题 上，目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的处理 方法。前者将参考座标选在未变形的结构上，通过引入 大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题；后者将参考座 标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化， 从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上。 3) 用杆单元近似模拟索类构件，由索垂度引起的单 元刚度变化。简单的处理方法是引入Ernst公式，通过 等效模量法来近似修正垂度效应。也可以通过导出索元 切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件。
几何非线 性
分析问题。
悬索桥主缆与鞍 座的接触状态； 支架上预应力梁 张拉后的部分落 架现象 。
接触问题
由表11.1可知，几何非线性理论将平衡方程建立在 结构变形后位置上。事实上，任何结构的平衡只有在其 变形后的位置上满足，才是真实意义上平衡的。线性理 论之所以能得以广泛应用，只是因为一般结构的受力状 态不因变形而发生明显改变。而有些问题则不然，以图 11.1所示结构为例，按线性理论求解就无法找到平衡位 置，按几何非线性分析方法处理，在P力作用下，B点产 生竖向位移，当位移达到一定值时，AB、BC两杆件中 轴力的竖向分力与P平衡， 即为B点位移的解。可见， 受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线 性方法进行分析。
固体力学中有三组基本方程，即本构方程、几何 运动方程和平衡方程。经典线性理论基于三个基本假 定，即材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；位 移是微小的；约束是理想约束，这些假定使得三组基 本方程成为线性。只要研究对象不能满足线性问题基 本假定中任何一个时，就转化为各种非线性问题。表 11.1给出了非线性问题的分类及基本特点。
第十一章 桥梁结构几何非线性 计算理论


11.1 概 述 11.2大跨度桥梁几何非线性分析的有限元方法 11.3桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵 11.4桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论 11.5非线性方程组的求解 11.6小结
11.1 概 述
Oden说过“我们生活在一个非线性世界里”。早 在十九世纪未，科学家就发现，固体力学的经典线性 理论在许多情况下并不适用，于是开始了对非线性力 学问题的研究。二十世纪中，科学家奠定了非线性力 学的理论基础。但由于计算繁复，许多非线性微分方 程的边值问题无法求解，用解析法解决非线性工程问 题仍显得无能为力。直到二十世纪六十年代末，有限 元法与计算机相结合，才使工程中的非线性问题逐步 得以解决。
图11.1受集中力的二力杆
几何非线性分析理论在桥梁工程中的发展，起因于桥跨 的长大化和柔性结构的应用。早在1888年，Melan就在悬 索桥结构分析中提出了几何非线性的挠度理论，在考虑主缆 拉力二阶影响的基础上将悬索桥的平衡方程建立在变形后的 位置上，但忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变 形的影响。挠度理论从1908年开始应用于纽约的 Manhattan大桥设计，大大节省了工程造价，充分显示了 它的优越性。此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径 拱桥的发展作出了巨大贡献。但是，挠度理论平衡微分方程 的求解仍是十分复杂的。Timoshenko于1928年提出了三 角级数解，Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提 出了线性挠度理论，我国李国豪教授于1941年提出了用于 悬索桥分析的等代梁法，将挠度理论中的非线性项等代于偏 心受拉梁的弯矩减小系数，揭示了悬索桥受力的本质。
非线性问题的分类及基本特点
非线性问 题
材料非线 性 定义 特点
表11.1
桥梁工程中 的典型问题 砼徐变、收缩和
弹塑性问题。 柔性结构的恒载 状态确定问题， 柔性结构的恒、 活载计算问题； 桥梁结构的稳定
由材料的非线性应力、 应变关系引起基本控 材料不满足虎克定律。 制方程的非线性问题。
放弃小位移假设，从 几何运动方程为非线性。 几何上严格分析单元 平衡方程建立在结构变 体的尺寸、形状变化， 形后的位置上，结构刚 得到非线性的几何运 度除了与材料及初始构 动方程，由此造成基 形有关外，与受载后的 本控制方程的非线性 应力、位移整体也有关。 问题。 不满足理想约束假定 而引起的边界约束方 程的非线性问题。 受力后的边界条件在求 解前未知。