【最新!决胜高考精品高中数学课件-教师版】人教版数学选修2-1--导数的计算

导数的计算入门测填空题练习1.（2012秋∙上城区校级月考）若函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，则实数a 的值为___．【答案】【解析】题干解析:∵f（x）=ax+sin x∴f′（x）=a+cos x，假设函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直则（a+cos m）（a+cos n）=-1∴a2+（cos m+cos n）a+（cos m cos n+1）=0（*）因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以判别式△=（cos m+cos n）2-4（cos m cos n+1）≥0所以cos2m+cos2n-2cos m cos n=（cos m-cos n）2≥4解得cos m-cos n≥2或cos m-cos n≤-2由于|cos x|≤1，所以有cos m=1，cos n=-1或cos m=-1，cos n=1，且△=0所以（*）变为：a2=0所以a=0练习2.（2012∙南通模拟）已知函数y=e x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1，其中k∈N*，a1=0，则a1+a3+a5=____。

【答案】-6【解析】题干解析:∵y=e x，∴y′=e x，∴y=e x在点（a k，e ak）处的切线方程是：y-e ak=e ak（x-a k），整理，得e ak x-y-a k e ak+e ak=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a k+1，∴a k+1=a k-1，∴{a n}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．解答题练习1.（2019春∙宛城区校级月考）已知函数f（x）=ae x-x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x0为函数的极小值点，证明：．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）函数定义域为R，因为f（x）=ae x-x+1∴f′（x）=ae x-1，当a≤0时，f′（x）<0恒成立，f（x）在R上单调递减；当a>0时，令f′（x）=0得x=-lna．当x<-lna时，f′（x）<0，当x>-lna时，f′（x）>0；综上：当a≤0时，单调递减区间为（-∞，+∞），无增区间；当a>0时，增区间为（-lna，+∞），减区间为（-∞，-lna）；（2）由（1）知当a>0时，f（x）在x=-lna时取得极小值，f（x）的极小值为f（-lna）=2+lna．设函数，当0<x<1时g′（x）<0；f （x）单调递减；当x>1时g′（x）>0；f（x）单调递增；故g（x）min=g（1）=0即g（x）≥g（1）=0所以．练习2.（2012∙威远县校级模拟）二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直（1）求f（x）的解析式（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f（x）=f（-2-x）∴图象的对称轴导函数图象与直线垂直∴2a=2从而解得：a=1b=2∴a=1b=2c=2∴f（x）=x2+2x+2（x∈R）…（6）（2）=+2在（0，2）上是减函数当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．g（x）=+2≥2+2该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减∴∴m≤-2 (12)练习3.（2011春∙嘉兴校级期中）已知曲线上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．【答案】见解析【解析】题干解析:====-2知识集结知识精讲导数的四则运算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0 B．2014 C．2015 D．8解：f′（x）＝a cos x+3bx2，∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．2．导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．例题精讲导数的四则运算例1.（2019春∙宁德期中）已知f1（x）=cos x，f2（x）=f（x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，f n（x）=f′n-1（x），则f2019（x）等于（）A．sin x B．-sin x C．cos x D．-cos x【答案】D【解析】题干解析:根据题意，f1（x）=cos x，f2（x）=f1′（x）=-sin x，f3（x）=f2′（x）=-cos x，f4（x）=f3′（x）=sin x，f5（x）=f4′（x）=cos x，…，则f n+4（x）=f n（x），故f2019（x）=f3（x）=-cos x；例2.（2019春∙湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．B．C．（tan x）′=cos2xD．（x2cos x）′=-2x sin x【解析】题干解析:对于A选项，（log2x）′=，故A正确，对于B选项，（x）′=1-，故B错误，对于C选项，（tan x）′=（）′=，故C错误，对于D选项，（x2cos x）′=2x cos x-x2sin x，故D错误，例3.（2019春∙襄阳期末）已知f（x）=+2xf′（2019）-2019lnx，则f'（2019）=（）A．2018 B．-2018 C．2019 D．-2019【解析】题干解析:函数的导数f′（x）=x+2f′（2019）-，令x=2019得f′（2019）=2019+2f′（2019）-，即f′（2019）=-2019+1=-2018，简单的复合函数的导数知识讲解1、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）题型：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲简单的复合函数的导数例1.（2019春∙祁阳县校级期末）已知函数f（x）=eπx∙sin2πx，求f'（x）及．【答案】详见解析【解析】题干解析:f'（x）=πeπx∙sin2πx+2πeπx∙cos2πx=πeπx（sin2πx+2cos2πx），则。

例2.（2019∙吉水县校级模拟）已知f（x）=sin2x+3sin x+3cos x（0≤x<2π），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）由题意得：f（x）=2sin x cos x+3（sin x+cos x），设sin x+cos x=t，则sin2x=t2-1，于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域。

又∵，故与时，g（t）取得最值．即f（x）的值域为…（6分）（2）f'（x）=2cos2x+3（cos x-sin x）=（cos x-sin x）（2cos x+2sin x+3）而2cos x+2sin x+3>0故f（x）的单调递减区间为，f （x）的单调递增区间为…（12分）例3.（2019春∙如东县校级月考）求下列函数的导数．（1）y=2x sin（2x-5）；（2）．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）y'=（2x）'sin（2x-5）+2x[sin（2x-5）]′=2sin（2x-5）+2x（2x-5）′cos（2x-5）=2sin（2x-5）+4x cos（2x-5）（2）f'（x）====。