高考数学 反函数
高职高考反函数知识点
高职高考反函数知识点高职高考数学部分的反函数是一个非常重要的知识点。
在研究函数关系时，我们通常会遇到函数的反关系，即反函数。
掌握反函数的概念以及相关的性质和求解方法，对于解决实际问题和深入理解函数关系有着重要的作用。
一、反函数的概念和性质反函数是指一个函数与其自身的函数关系完全相反的函数。
如果函数f(x)的定义域和值域分别为X和Y，那么反函数g(x)的定义域和值域就分别为Y和X。
也就是说，对于函数f中的每一个元素x，都存在唯一的元素y，使得g(y)=x。
反函数和原函数之间具有一些特殊的性质。
首先，函数f和g互为反函数，当且仅当其对应的关系满足以下条件：f(g(x))=x，g(f(x))=x。
这意味着，反函数和原函数可以相互取消，得到同一个变量的值。
其次，如果函数f是一个连续函数或者严格单调函数，那么它的反函数一定存在。
这是由于连续函数或严格单调函数都具有唯一性，使得反函数可以有明确的定义。
二、反函数的求解方法求解反函数的方法多种多样，需要根据具体的函数类型和条件来确定。
下面介绍几种常见的情况。
对于线性函数y=ax+b，其反函数可以通过将y和x互换位置，并解方程来求解。
即将x=ax+b代入，得到x=(y-b)/a，从而确定了反函数。
对于平方函数y=x^2，其反函数需要注意定义域和值域的限制。
平方函数的定义域是非负实数集合[0,+∞)，而值域是[0,+∞)。
因此，反函数的定义域是[0,+∞)，值域是[0,+∞)。
反函数可以通过解方程x=y^2来求解。
对于三角函数，求解反函数需要根据它们的定义域和值域的限制进行调整。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
通过将x和y互换位置，然后根据函数间的关系式求解反函数。
三、反函数的应用反函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，消费函数和储蓄函数之间存在反函数的关系。
消费函数描述了个人或家庭的消费与可支配收入之间的关系，而储蓄函数则描述了个人或家庭的储蓄与可支配收入之间的关系。
高考数学中的反函数与反比例函数
高考数学中的反函数与反比例函数在高中数学中，反函数与反比例函数是两个非常重要的概念，也是高考中经常会出现的考点。
这两个概念在实际生活中也有很多应用，比如在金融领域中的薪资水平和经济增长率之间的关系，以及在电路中电流、电压和电阻之间的关系等等。
本文将对这两个概念进行详细描述和解析，希望能为广大学生提供一些帮助。
一、反函数在函数关系中，我们通常用x表示自变量，y表示因变量。
而对于一些特定的函数关系来说，我们也可以用y表示自变量，x表示因变量。
这样的函数关系就是反函数。
如果函数f(x)的自变量和因变量可以互换，也就是f(x)中x和y的角色可以交换，那么这个函数就是可逆函数。
在这个函数中，我们把y表示为x，x表示为y，并把这个新的函数记作f^-1(x)。
这个新的函数就是f(x)的反函数。
反函数的定义如下：如果一个函数f(x)满足以下条件：1.它是一对一函数（在函数的定义域内，不同的输入值对应不同的输出值）2.其图像关于y=x对称那么，它的反函数f^-1(x)为由f(x)换元得到的关于x的函数。
其中，要满足“一对一函数”的条件非常重要。
如果一个函数不是一对一函数，那么它就没有反函数。
比方说，在函数y=x^2中，不同的输入值x对应的输出值y可能是相同的，那么这个函数就不是一对一函数。
有关反函数的公式如下：f(x)=y ⟺ f^-1(y)=x这个公式的意思是，如果f(x)中输入值为 x，输出值为 y，那么f^-1(y)中与之对应的输入值就是 x。
在高考中，我们需要掌握如何求反函数的方法。
下面我们以一元线性函数 y=kx+b 为例：1. 令 y=f(x)，并将输入值x和输出值y互换。
2. 将得到的等式解出x=f^-1(y)。
3. 将x=f^-1(y)代入y=kx+b得到f^-1(x)=(y-b) / k。
这样就求出了反函数f^-1(x)。
二、反比例函数反比例函数指的是y与x成反比例关系的函数，即y=k / x(k为常数)。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
高考反函数问题常见类型解析
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
高考第一轮复数学：2.5反函数
2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）. 答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.（文）（2004年全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.（2004年北京，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是AC D 2x y O Oy x-1-1解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x .答案：C5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上.把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.（2004年全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2.答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m 5=5，得m =－1.8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11x x a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立. 由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx+12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。
高考数学必学反函数的性质
高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。
其中，反函数是必须掌握的知识。
反函数的性质是高考数学中重要的一块。
本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。
一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。
它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。
换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。
二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。
因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。
2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。
通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。
但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。
举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。
由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。
但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。
这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。
三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。
例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。
反函数在高考数学中的应用
反函数在高考数学中的应用数学中反函数是一个非常重要的概念，它在数学的不同分支领域都有着广泛的应用。
在高考数学中，反函数的应用也尤为重要。
它不仅可以帮助学生看待和解决某些问题，而且也可以让学生更好地理解和运用一些数学概念和公式。
一、反函数的定义和性质反函数是函数中的一种特殊函数。
当一个函数通过某种方式将一个集合中的每个元素都映射到了另一个集合的每个元素上时，这个函数就是一个映射函数。
而当这个函数恰好可以被另一个函数完全的逆转时，这个函数就是反函数。
具体来说，当函数$f(x)$满足对于任何$x$和$y$，如果$f(x)=y$，那么$f^{-1}(y)=x$，其中$f^{-1}(y)$就是$f(x)$的反函数。
当$y=x$时，$f(x)=f^{-1}(x)=x$。
反函数有两个很重要的性质。
首先，对于任何一个函数$f(x)$，若它存在反函数$f^{-1}(x)$，那么$f^{-1}(x)$一定唯一。
其次，当$y=x$时，有$f^{-1}(f(x))=x$和$f(f^{-1}(x))=x$。
二、反函数在解方程中的应用在初中数学中，我们学习了不少一元一次方程和二元一次方程的解法。
在高中数学中，我们仍需要解一些方程，但是这些方程所使用的解法变得更加复杂并细致。
反函数解法便是其中之一。
举个例子，对于二次函数$f(x)=x^2-2x+1$，如何求$f(x)=5$的解？我们可以通过将等式两边进行平方，得到$x^2-2x-4=0$，然后使用求根公式求得方程的解$x=1\pm\sqrt5$。
但是这样的解法只能适用于特定的方程和函数。
如果我们使用反函数解法，我们可以得到一种通用的解法。
由于$f(x)$是一个二次函数，我们可以先求出$f^{-1}(x)$，然后再用它来求解$f(x)=5$的解。
我们有$f(x)=y=x^2-2x+1$，则$x=\frac{y+1-\sqrt{y-3}}{2}$或$x=\frac{y+1+\sqrt{y-3}}{2}$。
高考反函数问题常见类型解析
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
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高考数学 反函数
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________.
解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1.
答案：1
9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1
的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________．
解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1
，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2.
答案：2
10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f －
1(x )＝x 的解是__________． 解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1
三、解答题(共50分)
11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数．
解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－4≥0，
x 2>x 2－4. ∴x ≥2.
∴lg(x －x 2－4)＝lg 4
x ＋x 2－4
≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x －
x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ，
x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y .
∴x ＝12
(4·10－y ＋10y )． 故f －1(x )＝12
(10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)，
(1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ；
(2)设H (x )＝g (x )－12
f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )． 解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo
g 2(y ＋
1)(y >－1)，
∴f －1(x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)，于是f －1(x )≤g (x )即为log 2(x ＋1)≤log 4(3x ＋1)，即⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，
(x ＋1)2≤3x ＋1. ∴0≤x ≤1，即D ＝．
(2)H (x )＝g (x )－12f －1(x )＝log 4(3x ＋1)－12
log 2(x ＋1) ＝12log 23x ＋1x ＋1＝12log 2(3－2x ＋1
)． ∵0≤x ≤1，∴1≤3－2x ＋1
≤2. ∴0≤12log 2(3－2x ＋1)≤12
. ∴H (x )的值域为．
由y ＝12log 2(3－2x ＋1)得3－2x ＋1
＝22y ， ∴2x ＋1＝3－4y ，x ＋1＝23－4y ，x ＝4y －13－4y
，y ∈． ∴H －1(x )＝4x －13－4x
(x ∈)． 13．(20分)(2009·上海高考)已知函数y ＝f －1(x )是y ＝f (x )的反函数．定义：若对给定的实
数a (a ≠0)，函数y ＝f (x ＋a )与y ＝f －1(x ＋a )互为反函数，则称y ＝f (x )满足“a 和性质”；若
函数y ＝f (ax )与y ＝f －1(ax )互为反函数，则称y ＝f (x )满足“a 积性质”．
(1)判断函数g (x )＝x 2＋1(x >0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；
(3)设函数y ＝f (x )(x >0)对任何a >0，满足“a 积性质”．求y ＝f (x )的表达式．
解：(1)函数g (x )＝x 2＋1(x >0)的反函数是g －1(x )＝
x －1(x >1)，∴g －1(x ＋1)＝x (x >0)， 而g (x ＋1)＝(x ＋1)2＋1(x >－1)，其反函数为y ＝
x －1－1(x >1)， 故函数g (x )＝x 2＋1(x >0)不满足“1和性质”．
(2)设函数f (x )＝kx ＋b (x ∈R )满足“2和性质”，k ≠0.
∴f －1(x )＝x －b k (x ∈R )，∴f －1(x ＋2)＝x ＋2－b k
， 而f (x ＋2)＝k (x ＋2)＋b (x ∈R )，得反函数为y ＝
x －b －2k k ，由“2和性质”定义可知x ＋2－b k ＝x －b －2k k
对x ∈R 恒成立，∴k ＝－1，b ∈R ，即所求一次函数为f (x )＝－x ＋b (b ∈R )． (3)设a >0，x 0>0，且点(x 0，y 0)在y ＝f (ax )图象上，则(y 0，x 0)在函数y ＝f －1(ax )图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧
f (ax 0)＝y 0，f －1(ay 0)＝x 0，
可得ay 0＝f (x 0)＝af (ax 0)．令ax 0＝x ，则a ＝x x 0，∴f (x 0)＝x x 0f (x )，即f (x )＝x 0f (x 0)x
. 综上所述，f (x )＝k x (k ≠0)，此时f (ax )＝k ax ，其反函数就是y ＝k ax ，而f －1(ax )＝k ax ，故y
＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数．。