【复习指导】2020高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3.2全称量词与存在量词对点训练理

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课标Ⅰ卷2020届高考数学一轮第一章集合与常用逻辑用语.常用逻辑用语理

判断充分条件、必要条件的常用方法有三种，分别是定义
法、集合法、等价转化法．
１．定义法是判断充分条件、必要条件最根本的方法．（常见形
式见考点清单）
２．集合法适用于“ 所要判断的命题与方程的根、不等式的解
集相关，或所描述的对象可以用集合表示” 的情况．（具体判断方
法见考点清单）
３．等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题或
要性不成立，最后得出结论．
（２）由
θ－
π １２
＜
π １２
及
ｓｉｎ
θ＜
１２
分别求出
θ
的取值范围，利用
集合判定法得出结论．
解析（１）由存在负数 λ，使得ｍ＝ λｎ，可得ｍ、ｎ共线且
反向，夹角为１８０°，则ｍ·ｎ＝－｜ｍ｜｜ｎ｜＜０，故充分性成立．由ｍ·
ｎ＜０，可得ｍ，ｎ的夹角为钝角或１８０°，故必要性不成立．故选Ａ．
对应学生用书起始页码Ｐ７
考点三简单的逻辑联结词
１．逻辑联结词有：“ 或” “ 且”“ 非” ．
２．复合命题“ｐ∨ｑ”“ｐ∧ｑ”“¬ ｐ”的真假判断如下表：
ｐ
ｑ
ｐ∨ｑ
ｐ∧ｑ
¬ｐ
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
考点四全称量词与存在量词
１．全称量词和存在量词
名称
常见量词
符号
全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等
直接判断不方便的情况，具体方法是通过判断原命题的逆否命
题的真假来间接判断原命题的真假．常用结论如下：

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案 D解析因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题；对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题；对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真．答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破考向二全称命题、特称命题角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是．答案 [－3，3]解析命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题．当x >1时，g (x )＝2x－2>0，又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．命题∧，∨，綈的真假判断∧∨綈真真真真假假假真假真假假假．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对中的任意一个，有()成立存在中的一个，使()成立，∃∈∈∀()简记()，，綈∈∃()∀∈否定()，綈[小题体验]．(·启东中学期末检测)在“綈”，“∧”，“∨”形式的命题中，若“∨”为真，“∧”为假，“綈”为真，则，的真假为，.解析：∵“∨”为真，∴，至少有一个为真．“∧”为假，∴，至少有一个为假，而“綈”为真，∴为假，为真．答案：假真．(·盱眙中学检测)命题“存在实数，使＞”的否定是．答案：对于任意的实数，使得≤．已知命题：对任意∈，总有＞；：“＞”是“＞”的充分不必要条件，则下列命题：①∨；②綈∧綈；③綈∨；④∧綈.其中为真命题的序号是．解析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以綈是假命题，綈是真命题；所以∨是真命题，綈∧綈是假命题，綈∨是假命题，∧綈是真命题，故①④正确．答案：①④．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]．命题“若＝，则＝或＝”，其否定为．答案：若＝，则≠且≠．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等全称命题与存在性命题)[题组练透]．已知命题：∀∈，(＋)≤，则命题的否定是“”．答案：∃∈，(＋)＞．(·淮安期末)若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．解析：若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，即“∃∈，使得λ＞＋成立”是假命题，所以“∀∈，都有λ≤＋成立”是真命题．由∈，得函数＝＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．所以λ≤，即实数λ的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．已知函数()＝＋，()＝＋，若∀∈，∃∈[]，使得()≥()，则实数的取值范围是．解析：由题意知，()≥()(∈[])，因为()＝＋，所以′()＝－，所以()在上单调递减，所以()＝()＝，又因为()在[]上的最小值为()＝＋，所以≥＋，即≤.答案：(－∞，]．(·南通中学调研)已知命题：“∀∈[]，≥”，命题：“∃∈，＋＋＝”，若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：若命题：“∀∈[]，≥”为真命题，则≥；若命题：“∃∈，＋＋＝”为真命题，则Δ＝－≥，即≤，所以若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是[]．答案：[][谨记通法]．全称命题与存在性命题的否定()改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．()否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．含有逻辑联结词的命题的真假判断)[典例引领](·泰州模拟)已知命题：函数＝－－在上为增函数，：函数＝＋－在上为减函数，则在命题①∨；②∧；③(綈)∨；④∧(綈)中，真命题的序号是．解析：因为＝在上为增函数，＝－＝在上为减函数，所以＝－－＝－在上为增函数，所以＝－－在上为增函数，故是真命题．＝＋－在上为减函数是错误的，故是假命题，所以①∨是真命题；②∧是假命题；③(綈)∧是假命题；④∧(綈)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的个步骤()先判断简单命题，的真假．()再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]．(·启东期末)命题：∈*，命题：∈，则“或”是命题．(填“真”“假”)解析：命题：∈*，为假命题；命题：∈，为真命题，则命题“或”为真命题．答案：真．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①∧；②∨；③∧(綈)；④(綈)∨中，是真命题的序号是．解析：由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①∧为假命题；②∨为真命题；③綈为真命题，则∧(綈)为真命题；④綈为假命题，则(綈)∨为假命题．答案：②③根据命题的真假求参数的取值范围)[典例引领](·无锡天一中学月考)已知命题：∃∈[－，]，使不等式－＋≥＋成立；命题：＋＋＝有两个负数根，若∨为真，∧为假，求实数的取值范围．解：因为∨为真，∧为假，所以，一真一假．由题设知，对于命题，因为∈[－]，所以＋∈[]，所以不等式－＋≥成立，所以－＋≥，解得≤或≥.对于命题，因为＋＋＝有两个负数根，所以(\\(Δ＝－≥，＋＝－＜，))所以≥.若真假，则≤；若假真，则≤＜，所以实数的取值范围为(－∞，]∪[，)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤()先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；()然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；()最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]．(·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃∈[]，使＋＋≥”为真命题，则实数的取值范围是．解析：当∈[]时，＋＝(＋)－是增函数，所以≤＋≤，由题意得＋≥，所以≥－.答案：[－，＋∞)．(·海门中学检测)已知命题：∀∈，＋＞，命题：∀∈，＋＜，且∧为假命题，则实数的取值范围为．解析：由已知可得：命题为真命题，∵∧为假命题，∴为假命题．若为真，则＞＋对∀∈恒成立，∵＋＝且正弦函数＝的值域为[－]，∴＋＝的最大值为，∴＞.∵为假命题，∴≤，∴实数的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三检测)命题“∃∈(，＋∞)，＝－”的否定是“”．答案：∀∈(，＋∞)，≠－．(·镇江模拟)已知命题：函数＝＋＋(＞且≠)的图象恒过点(－)；命题：已知平面α∥平面β，则直线∥α是直线∥β的充要条件，则有下列命题：①∧；②(綈)∧(綈)；③(綈)∧；④∧(綈)．其中为真命题的序号是．解析：由指数函数恒过点()知，函数＝＋＋是由＝先向左平移个单位，再向上平移个单位得到．所以函数＝＋＋恒过点(－)，故命题为真命题；命题：与β的位置关系也可能是⊆β，故是假命题．所以∧(綈)为真命题．答案：④．若“∈[]或∈(－∞，)∪(，＋∞)”是假命题，则的取值范围是．解析：根据题意得“∉[]且∉(－∞，)∪(，＋∞)”是真命题，所以(\\(＜或＞，≤≤，))解得≤＜，故∈[)．答案：[)．已知函数()＝＋＋，若命题“∃＞，()＜”为真，则的取值范围是．解析：因为函数()＝＋＋的图象过点()，若命题“∃＞，()＜”为真，则函数()＝＋＋的图象的对称轴必在轴的右侧，且与轴有两个不同交点，所以(\\(Δ＝－＞，,－()＞，))解得＜－，所以的取值范围是(－∞，－)．答案：(－∞，－)．(·南京外国语学校模拟)已知命题：∃∈，使＝，命题：－＋＜的解集是{＜＜}，给出下列结论：①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．其中正确的是．解析：命题：∃∈，使＝是真命题，命题：－＋＜的解集是{＜＜}也是真命题，所以，①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④．(·海门实验中学检测)命题：∃∈[－]，使得＜成立；命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立．若命题∧为真，则实数的取值范围为．解析：由∈[－]可知，当＝－时，取得最小值，若命题：∃∈[－]，使得＜成立为真，则＞.若命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立为真，即∀∈(，＋∞)，＜＋恒成立为真，当＝时，＋取最小值，故＜.因为命题∧为真，所以∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是“∃∈*，()∉*或()＞”．答案：∃∈*，()∉*或()＞．(·海安中学测试)若命题“∀∈[]，－＋≤”是真命题，则实数的取值范围是．解析：令()＝－＋，根据题意可得(\\(＝－＋≤，＝－＋≤，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．(·南通大学附中月考)已知命题：“任意∈[]，－≥”，命题：“存在∈，使＋＋－＝”．若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：由题意知，：≤，：≤－或≥.因为“∧”为真命题，所以，均为真命题，所以≤－或＝.答案：(－∞，－]∪{}．(·沙市区校级期中)函数()＝－＋，()＝－，若对∀∈[－]，∃∈[]，()≥()，则实数的最小值是．解析：由′()＝－，可得()在区间[－]上单调递减，在区间[]上单调递增，∴()＝()＝－，∵()＝－是增函数，∴()＝－，要满足题意，只需()≥()即可，解得≥，故实数的最小值是.答案：．已知：－＜，：(－)(－)＞，若綈是綈的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解析：由题意知：－＜＜＋，：＜＜，因为“綈”是“綈”的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件．所以(\\(－≤，＋＞))或(\\(－＜，＋≥，))解得－≤≤.答案：[－]．(·杨大附中月考)给出下列命题：①∀∈，＞；②所有可以被整除的整数，末位数字都是；③∃∈，－＋≤；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为．解析：命题与命题的否定一真一假．①当＝或时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被整除的整数，末位数字是或，所以②是假命题，②的否定是真命题；③－＋＝＋＞恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③．命题的否定是“对所有正数，＞＋”，则命题可写为．解析：因为是綈的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．答案：∃∈(，＋∞)，≤＋．若“∀∈，≤ ＋”为真命题，则实数的最大值为．解析：由∈，可得－≤ ≤，所以≤ ＋≤，因为∀∈，≤ ＋，所以≤，所以实数的最大值为.答案：．(·南京期末)已知∈，设命题：∀∈，＋＋＞；命题：函数()＝－＋－只有一个零点，则使“∨”为假命题的实数的取值范围为．解析：若为真，当＝时，符合题意；当≠时，(\\(＞，,Δ＝－＜，))则＜＜，∴命题为真时，≤＜.若为真，由()＝－＋－，得′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴当∈(－∞，)∪(，＋∞)时，′()＞；当∈()时，′()＜，∴()的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，单调递减区间为()．∴()的极大值为()＝－，极小值为()＝－.要使函数()＝－＋－只有一个零点，则－＜或－＞，解得＜或＞.∵“∨”为假命题，∴为假，为假，即(\\(＜或≥，≤≤，))解得≤≤，故实数的取值范围为[]．答案：[]．(·南京一中模拟)给出如下命题：①“≤”是“∃∈[]，使－≥成立”的充分不必要条件；②命题“∀∈(，＋∞)，＞”的否定是“∃∈(，＋∞)，≤”；③若“∧”为假命题，则，均为假命题．其中正确的命题是．(填序号)解析：对于①，由∃∈[]，使－≥成立，可得≤，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“且”为假命题，则，中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②．已知命题：函数＝(＋＋)的定义域为；命题：函数()＝－在(－∞，)上单调递减．()若“∧綈”为真命题，求实数的取值范围；()设关于的不等式(－)(－＋)＜的解集为，命题为真命题时，的取值集合为.若∩＝，求实数的取值范围．解：()若为真命题，则＋＋＞的解集为，则＞且－＜，解得＞.若为真命题，则≥，即≥.因为“∧綈”为真命题，所以为真命题且为假命题，所以实数的取值范围是()．()解不等式(－)(－＋)＜，得－＜＜，即＝(－，)．由()知，＝(，＋∞)．因为∩＝，则⊆，所以－≥，即≥.故实数的取值范围为[，＋∞).．设：实数满足－＋＜(其中＞)，：实数满足＜≤.()若＝，且∧为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，－＋＜，解得＜＜，即为真时，实数的取值范围是＜＜.若∧为真，则真且真，所以实数的取值范围是()．()綈是綈的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，设＝{()}，＝{()}，则，由－＋＜得(－)(－)＜，因为＞，所以＝()，又＝(]，则≤且＞，解得＜≤.所以实数的取值范围为.．(·启东检测)已知：∃∈(，＋∞)，－≤；：函数＝－＋有两个零点．()若∨为假命题，求实数的取值范围；()若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：若为真，令()＝－，问题转化为求函数()的最小值．′()＝－＝，令′()＝，解得＝，函数()＝－在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故()＝()＝，故≥.若为真，则Δ＝－＞，解得＞或＜－.()若∨为假命题，则，均为假命题，即＜且－≤≤，所以实数的取值范围为[－)．()若∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足(\\(≥，,－≤≤，))即≤≤；若假真，则实数满足(\\(＜，＞或＜－，))即＜－.综上所述，实数的取值范围为(－∞，－)∪[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·姜堰中学检测)设：函数()＝－－在区间[－]上单调递减；：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．如果∨为真命题，∧为假命题，则实数的取值范围是．解析：若为真，由函数()＝－－在区间[－]上单调递减，得′()＝－≤在区间[－]上恒成立，即≥，当－≤≤时，≤，则≥；若为真，由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，得(\\(－＞，－＞，－＞－，))解得＜＜.如果∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假，若真假，则(\\(≥，≥或≤，))得≥；若假真，则(\\(＜，＜＜，))得＜＜，综上，实数的取值范围是()∪[，＋∞)．答案：()∪[，＋∞)．(·宿迁中学月考)已知命题：∃∈，＋≤，：∀∈，－＋＞，若∨为假命题，则实数的取值范围是．解析：因为∨为假命题，所以，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得綈：∀∈，＋＞为真命题，所以≥.由：∀∈，－＋＞为假命题，得綈：∃∈，－＋≤为真命题，所以Δ＝(－)－≥，解得≤－或≥.综上，可得≥.答案：[，＋∞)命题点一集合及其运算.(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{，＋}．若∩＝{}，则实数的值为．解析：因为＋≥，所以由∩＝{}，得＝，即实数的值为.答案：．(·江苏高考)已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.解析：在集合中满足集合中条件的元素有－两个，故∩＝{－}．答案：{－}．(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中元素的个数为．解析：因为＝{}，＝{}，所以∪＝{}，所以∪中元素个数为.答案：．(·浙江高考改编)已知全集＝{}，＝{}，则∁＝.解析：∵＝{}，＝{}，∴∁＝{}．答案：{}．(·北京高考改编)已知集合＝{＜}，＝{－，}，则∩＝.解析：∵＝{＜}＝{－＜＜}，＝{－}，∴∩＝{}．答案：{}．(·全国卷Ⅰ改编)已知集合＝{}，＝{－，－}，则∩＝.解析：∩＝{}∩{－，－}＝{}．答案：{}命题点二充分条件与必要条件．(·浙江高考改编)已知等差数列{}的公差为，前项和为，则“＞”是“＋＞”的条件．解析：因为{}为等差数列，所以＋＝＋＋＋＝＋＝＋，＋－＝，所以＞⇔＋＞.答案：充要．(·天津高考改编)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞⇒＞⇒＞，反之不成立，故“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设∈，则“＜”是“＜”的条件．解析：由＜，得＜＜，则＜＜，即“＜”⇒“＜”；由＜，得＜，当≤时，≥，即“＜”“＜”．所以“＜”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·上海高考)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞可得＞，由＞可得＞或＜－.所以“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设{}是首项为正数的等比数列，公比为，则“＜”是“对任意的正整数，－＋＜”的条件．解析：设数列{}的首项为，则－＋＝－＋－＝－(＋)＜，即＜－，故＜是＜－的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三命题及其真假性．(·全国卷)下面是关于复数＝的四个命题：：＝，：＝，：的共轭复数为＋，：的虚部为－.其中的真命题为．解析：因为复数＝＝－－，所以＝，＝(－－)＝(＋)＝，的共轭复数为－＋，的虚部为－，综上可知，是真命题．答案：，．(·山东高考改编)设∈，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是．解析：根据逆否命题的定义，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．答案：若方程＋－＝没有实根，则≤命题点四全称量词和存在量词．(·全国卷Ⅰ改编)设命题：∃∈，＞，则綈为．解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．答案：∀∈，≤．(·浙江高考改编)命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式为“∃∈，∀∈*，使得＜”．答案：∃∈，∀∈*，使得＜．(·山东高考)若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于，又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.答案：。

2020高考全国一轮数学理科第一章集合与逻辑用语

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高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3课时逻辑联结词、全称量词与存在量词精品课件

【变式训练】 3.写出下列命题的否定形式： (1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除； (3)存在θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数； (4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＞0. 解析： (1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数． (4)存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
3．(2010·广州三校联考)已知命题P：集合{x|x＝i2n＋1，n∈N，i为
虚数单位}只有3个真子集；Q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合{x|y＝＋1} 相等．则复合命题：①P或Q；②P且Q；③非P；④非Q中，真命题有
()
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：命题P中的集合即为{i，－i}，只有2个元素，有3个真子
特称命题 “存在x∈A，p(x)”
①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使p(x) 成立 ③对有些x∈A，使p(x)成立 ④对某个x∈A，使p(x)成立 ⑤有一个x∈A，使p(x)成立
从近两年的高考题来看，常以逻辑联结词“或”“且”“非”为工具，考查函数、数列、立体几何、解析几何等知识．主要以选择题、填空题的形式出现，属于容易题．全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题，题型为选择题，分值为5分，属容易题．尤其全称命题、特称命题为新课标新增内容，在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．
∴对任意 x∈[0，π]，均有
1－cos 2
2x＝sin
x，因此
p3
是真命题．

2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词分层演练文-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词分层演练文一、选择题1．命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是( )A．∀x∈R，ln x＋2x＜0B．∀x∈R，ln x＋2x＞0C．∃x0∈R，ln x0＋2x0＞0D．∀x∈R，ln x＋2x≤0解析：选 B.命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是“∀x∈R，ln x＋2x＞0”，故选B. 2．(20xx·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：选 C.已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故选C. 3．(20xx·东北三校联考(一))下列命题中是假命题的是( ) B．∃x∈R，cos x＝1A．∃x∈R，log2x＝0D．∀x∈R，2x＞0C．∀x∈R，x2＞0解析：选C.因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A、B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x＞0，选项D为真命题，故选C. 4．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(﹁q)表示( )A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分解析：选D.由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此﹁q：乙的数学成绩不低于100分．所以p∨(﹁q)：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，>2解析：选B.A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．6．已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B.因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B. 7．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( ) B．p∧﹁qA．p∧qD．﹁p∧﹁qC．﹁p∧q解析：选B.因为∀x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命题p为真命题；当b＜a＜0时，a2＜b2，故命题q为假命题，由真值表可知B正确，故选B. 8．(20xx·安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是( ) B．(﹁p)∧qA．p∧(﹁q)C．p∧qD．(﹁p)∨q解析：选A.命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，当x0＝3时，x0＋＝＞3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，当x ＝4时，42＝24，命题q为假．所以p∧(﹁q)为真，故选A. 9．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( ) B．p∧q为真A．p∨q为真D．p∨q为假C．p真q假解析：选D.由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D. 10．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．[－1，3]B．(－1，3)D．(－∞，－1)∪(3，C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)＋∞)解析：选D.因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.11．下列结论中错误的是( ) A．命题“若p，则q”与命题“若﹁q，则﹁p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1；命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0，则p∨q为真C．“若am2＞bm2(m∈R)，则a＞b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题解析：选C.因为命题“若p，则q”与命题“若﹁q，则﹁p”互为逆否命题，所以选项A正确；因为命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1是真命题，命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0是假命题，则p∨q为真命题，所以选项B正确；因为当m＝0时，am2＝bm2，所以“若am2＞bm2(m∈R)，则a＞b”的逆命题为假命题，所以选项C错误；易知D正确．故选C. 12．已知命题p：∀x∈N*，()x≥()x，命题q：∃x∈N*，2x＋21－x＝2，则下列命题中为真命题的是( ) B．(﹁p)∧qA．p∧q D．(﹁p)∧(﹁q)C．p∧(﹁q)解析：选C.因为y＝xn(n为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又＞，所以∀x∈N*，()x≥()x成立，p为真命题；因为2x＞0，21－x＞0，所以2x＋21－x≥2＝2，当且仅当2x＝21－x，即x＝时等号成立，因为x＝∉N*，所以q为假命题，所以p∧(﹁q)为真命题．故选C.二、填空题13．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1 14．若“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．解析：由“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tanx≤1，所以0≤tan x＋1≤2，所以实数m的最大值为0.答案：015．已知命题“∀x ∈R ，x2－5x ＋a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由“∀x∈R，x2－5x ＋a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x ＋a ＞0对任意实数x 恒成立．设f(x)＝x2－5x ＋a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×a＜0，解得a ＞，即实数a 的取值范围为. ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞答案：16．下列结论：①若命题p ：∃x0∈R ，tan x0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x2－x＋>0，则命题“p ∧(﹁q)”是假命题；②已知直线l1：ax ＋3y －1＝0，l2：x ＋by ＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③“设a ，b ∈R ”，若ab ≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p∧( ﹁q)”是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为“设a ，b∈R，若ab ＜2，则a2＋b2≤4”正确．答案：①③。

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.2 充要条件、全称量词与存在量词教案(含解析)-

§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要题组三易错自纠4．(2018·某某质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0 答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－∞，2]解析由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母X 围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2018·某某省某某一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件答案 D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2018·某某模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2B．1<b ≤2C ．b ≤1D．b <1 答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2018·某某模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解析当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C. (2)(2018·某某质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0 答案 C解析因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x>0，选项D 为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.题型三充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值X 围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值X 围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围是__________．答案 [－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四命题中参数的取值X 围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华对于含量词的命题中求参数的取值X 围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值X 围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值X 围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值X 围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值X 围是c >1.综上可知，c 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数X 围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围为__________．答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值X 围为[9，＋∞)．素养提升例题中得到实数m 的X 围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2018·某某模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2018·某某河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案 B解析由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值X 围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值X 围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92D ．{3} 答案 A解析因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值X 围是________________．答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值X 围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－1,3)解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3. 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是____________．答案 (2，＋∞)解析因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件． 14．(2018·某某某某一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．答案 (－∞，－3] 解析由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2，得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。

2020版高考文科数学第一轮复习课件：第一章集合、常用逻辑用语1-3

(2)显然，当 x＝10 时，x－2>lgx 成立，所以命题 p 为真命题．设 f(x)＝ex－x，则 f′(x)＝ex－1，当 x>0 时，f′(x)>0，当 x<0 时， f′(x)<0，所以 f(x)≥f(0)＝1>0，所以∀x∈R，ex>x，所以命题 q 为真命题．故命题 p∧q 是真命题，故选 B.
[答案] B
3．(选修 2－1P18A 组 T1(3)改编)已知 p：2 是偶数，q：2 不是质数，则命题綈 p，綈 q，p∨q，p∧q 中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] p 正确，q 错误，所以綈 q 和 p∨q 正确，故选 B. [答案] B
4 ． (2019·吉林辽源五校期末联考 ) 下列命题中的假命题是 ()
[解析] (1)特称命题的否定是全称命题，故选 C. (2)因为 f′(x)＝3cosx－π，所以当 x∈0，π2时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，即对∀x∈0，π2，f(x)<f(0)＝0 恒成立，所以 p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈 p：∃x0∈0，π2，
角度 1：全称命题与特称命题的否定【例 2－1】 (1)命题“∃x0∈π2，π，sinx0－cosx0>2”的否定是( ) A．∀x∈π2，π，sinx－cosx<2 B．∃x0∈π2，π，sinx0－cosx0≤2 C．∀x∈π2，π，sinx－cosx≤2 D．∃x0∈π2，π，sinx0－cosx0<2
∨p2，q4：p1∧(綈 p2)是真命题，故选 C.
[答案] C
考点三由命题的真假求参数的取值范围【例 3】 (1)(2019·资阳一诊)已知命题 p：∃x0∈R，x20＋ax0 ＋a<0.若綈 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是________．

高三理科数学一轮复习讲义：第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词(原卷)

- 1 - §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲展示► 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 考点1 含有逻辑联结词的命题及其真假判断

简单的逻辑联结词 (1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词． (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定：

p q p∧q p∨q 綈p

真真 ________ ________ ________ 真假 ________ ________ ________ 假真 ________ ________ ________ 假假 ________ ________ ________

(1)[教材习题改编]命题“28是7的倍数也是2的倍数”含有逻辑联结词________，是________命题．(填“真”或“假”)

(2)[教材习题改编]若p：y＝2x是偶函数，q：y＝2x是递增函数，则命题p∨q是________命题，命题p∧q是________命题(填“真”或“假”)． - 2 -

含逻辑联结词的命题真假的判断方法：真值表法．已知命题p：∃x0∈R，x20＋1x20≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是________．

[典题1] (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

(2)已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos2x＋π6的图

象关于点π6，0对称，则下列命题中是真命题的为( ) A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) [点石成金] 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．角度二全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题．【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误；若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0；当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______．解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。

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2017高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3.2 全称
量词与存在量词对点训练理
1.设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．?n∈N，n2>2
n

B．?n∈N，n2≤２
n
C．?n∈N，n2≤２
n
D．?n∈N，n2＝2
n
答案C
解析命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.
2．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>
n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>
n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>
n
0

D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>
n
0

答案D

解析全称命题的否定为特称命题，因此命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定
形式是“?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0”．

3．已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞）D．(－3,1)
答案B

解析原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋12>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(
a

－1)2－4×2×12<0，则－24．若“?x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案1
解析由已知可得m≥tanxx∈0，π4恒成立．设f(x)＝tanxx∈0，π4，显然该

函数为增函数，故f(x)的最大值为fπ4＝tanπ4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数
m
的最小值为1.