2020高一数学：反函数的定义
反函数是什么？这里说得非常清楚
【原】反函数是什么?这里说得非常清楚
2020-12-23
一·关于反函数的总总：
1.反函数是函数的一个重要性质，也是研究函数的一种重要方法。
2.反函数在新课标高中数学教材中已经弱化，只要求指数函数与对数函数互为反函数即可。
另外，高考数学中对反函数的考查也在淡化，甚至几乎不考了。
3.原函数与反函数的图象关于直线y=x（或一三象限的角平分线）对称，这是互为反函数的两个函数之间最重要的性质，许多试题的突破口皆在此。
4.反函数在大学的《高等数学》中会继续涉及，因此，了解反函数的相关性质对后续学习大有裨益。
二·反函数的定义：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量叫做新函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
高中数学专题-反函数
高中数学专题-反函数所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。
由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。
就是将原函数反表示后，再写成函数形式。
例如：y=3x-1求此反函数。
可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。
但是为什么此题有两解。
这是引发了定义域的问题。
从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。
所以，原函数定义域为反函数值域。
所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。
因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法：求解法。
就是把函数方程x当未知数来解。
例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。
”有些同学初拿此题不知从何处下手。
其实只需写出，一切都可解开。
解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。
所以有些题可利用图象即数形结合求解。
如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。
解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。
”此题关键在于反函数φ（x)。
高考数学中的反函数与反比例函数
高考数学中的反函数与反比例函数在高中数学中，反函数与反比例函数是两个非常重要的概念，也是高考中经常会出现的考点。
这两个概念在实际生活中也有很多应用，比如在金融领域中的薪资水平和经济增长率之间的关系，以及在电路中电流、电压和电阻之间的关系等等。
本文将对这两个概念进行详细描述和解析，希望能为广大学生提供一些帮助。
一、反函数在函数关系中，我们通常用x表示自变量，y表示因变量。
而对于一些特定的函数关系来说，我们也可以用y表示自变量，x表示因变量。
这样的函数关系就是反函数。
如果函数f(x)的自变量和因变量可以互换，也就是f(x)中x和y的角色可以交换，那么这个函数就是可逆函数。
在这个函数中，我们把y表示为x，x表示为y，并把这个新的函数记作f^-1(x)。
这个新的函数就是f(x)的反函数。
反函数的定义如下：如果一个函数f(x)满足以下条件：1.它是一对一函数（在函数的定义域内，不同的输入值对应不同的输出值）2.其图像关于y=x对称那么，它的反函数f^-1(x)为由f(x)换元得到的关于x的函数。
其中，要满足“一对一函数”的条件非常重要。
如果一个函数不是一对一函数，那么它就没有反函数。
比方说，在函数y=x^2中，不同的输入值x对应的输出值y可能是相同的，那么这个函数就不是一对一函数。
有关反函数的公式如下：f(x)=y ⟺ f^-1(y)=x这个公式的意思是，如果f(x)中输入值为 x，输出值为 y，那么f^-1(y)中与之对应的输入值就是 x。
在高考中，我们需要掌握如何求反函数的方法。
下面我们以一元线性函数 y=kx+b 为例：1. 令 y=f(x)，并将输入值x和输出值y互换。
2. 将得到的等式解出x=f^-1(y)。
3. 将x=f^-1(y)代入y=kx+b得到f^-1(x)=(y-b) / k。
这样就求出了反函数f^-1(x)。
二、反比例函数反比例函数指的是y与x成反比例关系的函数，即y=k / x(k为常数)。
高一数学反函数知识精讲
高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。
如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。
在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。
习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。
2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。
3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。
（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。
（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。
特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。
反函数关于
反函数关于
（最新版）
目录
1.反函数的定义与性质
2.反函数的求法
3.反函数的应用
正文
一、反函数的定义与性质
反函数，又称逆函数，是指将函数的输出作为输入，将函数的输入作为输出的一种特殊关系。
设函数 f(x) 的定义域为 D，值域为 R，如果存在另一个函数 g(x)，它的定义域为 R，值域为 D，并且对于所有的 x∈D，有 f(g(x))=x，g(f(x))=x，则称函数 g(x) 是函数 f(x) 的反函数，记作 f^-1(x)。
反函数具有以下性质：
1.反函数是单射的，即对于不同的 x1, x2，有 f(x1)≠f(x2) 时，f^-1(f(x1))=x1，f^-1(f(x2))=x2。
2.反函数是满射的，即对于所有的 y∈R，都有存在 x∈D，使得
f(x)=y。
3.反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。
二、反函数的求法
求反函数的方法主要有以下两种：
1.换元法：设 y=f(x)，则 x=f^-1(y)，将 x 用 y 表示，然后解出y 关于 x 的表达式，即得到反函数的解析式。
2.反函数的图形法：根据原函数的图形，绘制出反函数的图形，然后通过观察反函数的图形，直接写出反函数的解析式。
三、反函数的应用
反函数在实际应用中有广泛的应用，例如：
1.在数学中，反函数可以用于求解方程，将方程中的未知数用反函数表示，将方程转化为关于反函数的方程，然后解出反函数的值，最后代入原函数中求得未知数的值。
2.在物理中，反函数常用于求解运动的逆过程，通过已知的运动轨迹，求解物体的初始速度和加速度。
高一数学反函数课件
反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函 数也是单调增函数；如果原函数是单 调减函数，则其反函数也是单调减函 数。
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也 是奇函数；如果原函数是偶函数，则 其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些 特殊的不等式，例如求解 一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以 比较两个数的大小，例如 比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些 数学不等式，例如证明算 术平均数大于等于几何平 均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数 函数的单调性。
当原函数的定义域和 值域都是实数集时， 反函数的图像是可绘 制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐 标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐 标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋 转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。 反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性
高中数学-反函数
四、求函数的反函数的步骤
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围; 2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同 的 单调性;
5.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域 区间的某个子区间上存在反函数. 6.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),
即: 若 a∈A, b∈B, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像若有公共点, 则公共点 在直线 y=x 上。无公共点时，则点关于直线 y=x 对称地成对 出现.
例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =(116 )x.
x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 B, 值域为 A.
二、定义理解
1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→B 为一一映射.
三、简单性质
1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.
注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.
2.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 3.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单 调函数;
Hale Waihona Puke 、定义设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 B. 如果从式子 y=f(x) 解
得 x=(y), 且对于 y 在 B中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).
高一数学反函数
知识探究
2、互为反函数的函数间的系：
（1）原函数的定义域为反函数的值域；
（2）原函数的值域为反函数的定义域；
（3）原函数与它的反函数的图象关于 直线y=x对称；
（4）原函数与它的反函数的单调性一 致。
知识探究
3、求函数的反函数： 例1、 求下列函数的反函数：
（1）y＝3x－1 ；
（2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
（3）y 3x1 2 ；
(4) y log1 (x 4).
2
知识探究
4. 函数f(x)与其反函数为同一函数时， 则函数f(x)的图象关于直线y=x对称。
思考:函数y = 1-x , y 1 的反函数
例3、若点P（1，2）同时在函数
y＝ ax b 及其反函数的图象上， 求a、b的值.
作业： P82 复习参考题A组:1，2，3，8;
《学法大视野》第23课时。
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反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数
f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为
[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．
4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．。