高考反函数问题常见类型解析

反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

一. 条件存在型

例1.函数f x x ax ()=--2

23在区间[

]

12，上存在反函数的充要条件是（）

A. (]a ∈-∞，1

B. [)a ∈+∞2，

C. (][)a ∈-∞+∞，，12

D. []

a ∈12，

解析：因为二次函数f x x ax ()=--2

23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的

子区间(

]-∞，a 或[

)a ，+∞上是单调函数。而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函

数，所以[](]12，，?-∞a 或者[][)12，，?+∞a ，即a ≤1或a ≥2。故选（C ）

点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。

二. 式子求解型例2.函数y x x =-≤23

10()的反函数是（）

A. y x x =+≥-()()113

B. y x x =-+≥-()()113

C. y x x =

+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103

解析：由x ≤0可得x 23

0≥，故y ≥-1，从y x =-23

1解得x y =±+()13

因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113

故选（B ）。

点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。

三.求定义域值域型例3.若f

x -1

()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1

101()，可求得f －1（x ）的值域为

()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1（x ）的值域

为()-+∞1，。

点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。

四.性质判断型

例4. 函数y e e x x

=--2

的反函数是（）

A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；

B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数

C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；

D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数解析：因为e x 在（0，+∞）上是增函数，e x -在（0，+∞）上是减函数，所以

y e e x x =--2

在（0，+∞）上是增函数易知y e e x x =--2为奇函数

利用函数y f x =()与f －

1（x ）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条

性质，立即选（C ）。

五. 反函数求值型

例5. 设3

2)(-+=

=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线y=x 对

称，则 g(3)= 。

解析：我们知道，反函数有一个非常重要的性质，即若点（a ，b ）在原函数上，则（b ，a ）一定在反函数上，反之也成立。于是可设（4，a ）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a ，4）为)1(1

+=-x f

y 图象上的一点，（a+1，4）为)(1

x f

y -=图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有123

421=?-+?=+a a 。

点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f a =-1

()。得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。

六.方程关联型

例6.已知函数f x x ()log =+??

?342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。解析：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f

a =-1

()。所以只需求出f ()

4的值即为f －

1（x ）=4中的x 的值。易知f ()41=，所以x =1即为所求的值。

点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f －

1（x ）的解

析式，再解方程f －

1（x ）=4，也可得x =1。

七.不等式关联型

例7.设f －1

（x ）是函数f x a a a x x

()()=

->-2

1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的取值范围是（）

A. a a 212-+∞?? ???，

B. -∞-?? ???，a a 212

a a a 212-?? ?

?， D. ()a ，+∞

解析：由a >1，知函数f （x ）在R 上为增函数，所以f －

1（x ）在R 上也为增函数。

故由f －1

（x ）>1，有x f >()1而f a a a a

()1121122

=-?? ???=

-，可得x a a >-212，故选（A ）。点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。八.图象挖掘型

例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f

x =-1

()，则y f x =--11()的图象是（）

解析：由题意知f

x x -=1

2()，则f x x

x x ------===?? ??

?1111

12()()

所以

y f x =--11()的图象可由y x

=?? ?

?12的图象向右平移1个单位而得到。故选（C ）。

点评：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线y x =对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函数称为自反函数。

九.问题综合型

例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441

=-+-·。

（1）试求f （x ）的反函数f －

1（x ）的解析式及f －

1（x ）的定义域；

（2）设g x x k ()log =+21，若x ∈?????

?1223，时，f x g x -≤1

()()恒成立，求实数k 的取值范围。

解析：（1）因为f （x ）是奇函数，且x R ∈，所以f a a

()001

02=-

=，即，得a =1 所以f x x x ()=-+2121，可求得f x ()()∈-11，，令y x x =-+2121

，反解出

211112x y y x y y =+-=+-，l o g ，从而f x x x

x -=+-∈-1

1111()log ()，，（2）因为x ∈?????

?12

23，，所以k >0，由f

x g x -≤1

()()得log log

log 2222

1111+-≤+=+?? ???x x x k

x k

所以1

≤

，即k x

≤-对x∈?

，恒成立。令h x x

()=-

12其在

1 2

3，

????

上为单调递减函数，则h x h

()

min

。所以k h x

≤=

()

min

，又k>0，

故实数k的取值范围是0

3 <≤

点评：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。

常见病句类型及十大辨析病句的技巧

常见病句类型及十大辨析病句的技巧病句判断类试题一直以来是高考常见题型对于这类的题目如果我们能熟悉常见病句类型，掌握命题者的设错规律，那么这类题目将是十分简单的。一、病句的类型病句类型主要包括：语序不当、搭配不当、成分残缺、成分多余、结构混乱、不合逻辑等。（一）语序不当 1．词语顺序不合理例如：我们认真研究听取了大家的意见。(词语可能反映承接先后、轻重主次等语意。词语的顺序则必须符合这一客观要求。此例中“研究听取”，颠倒了承接的先后关系。应改为“听取研究”) 2．关联词语位置不当（两个分句同一主语时，关联词语在主语后边，不同主语时，关联词在主语的前边）例如：不但他能够用马克思主义的有关理论来指导自己的工作，而且能够领会这些理论的精神实质。（本句中前后分句的主语相同。因而关联词“不但”应放在主语“他”的 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

后面。） 3．分句顺序不当例如：这个村很好执行了党的富民政策。现在不但向国家交售了六万斤公粮，而且还不吃国家救济了。（从逻辑关系上看，分句位置前后颠倒）（二）搭配不当 1．主谓搭配不当（大多数是谓语不能陈述主语，有时主语或谓语是由联合短语充当，其中有某一部分不搭配）例如：我国电子设备的生产，过去不能自给。（不能自给的是“电子设备”，不是“生产”） 2．动词和宾语搭配不当（动词和宾语要在意思和习惯上搭配，当动词带两个以上的宾语时，常发生后边的宾语与动词不搭配的情况）例如：《青春之歌》这部小说出色地塑造了共产党员卢嘉川。江华、林红等人的英雄事迹。（“塑造”与“事迹”不能构谓宾关系，可将“事迹”改为“形象”。) 3．修饰语和中心语搭配不当（定语、状语和中心词不搭配，补语和中心词不搭配） AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

幂函数指数函数和对数函数·反函数

幂函数、指数函数和对数函数·反函数教学目标 1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法． 2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力． 3．使学生思维的深刻性进一步完善．教学重点与难点教学重点是求反函数的技能训练．教学难点是反函数概念的理解．教学过程设计一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数．（板书：反函数 1．反函数的概念）二、讲解新课师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数．师：为什么是个函数呢？一的x与之相对应．师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？

师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以是不是同一函数呢？生：是．师：能具体解释一下吗？和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数．生：有．就是y=2x+1．那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数．师：能举个例子说明吗？生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数．师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．

修改病句——八种基本类型

“能具体明确、文从字顺地表达自己的意思”，这是新课标对我们的要求。病句修改的原则是尽量保留原句意思，不能另造一句而代之。改正病句可以采用添、删、调、换的方法，即添上应加的成分，删去重复多余的部分，调换好正确的语序，换上恰当的词语。不论使用哪种方法，都不能改变句子的原意。一. 什么是病句凡是违反客观事理或语言结构规律的句子都是病句。人们通常把违反客观事理的情况叫逻辑错误，把违反语言结构规律的情况叫语法错误。（病句主要类型：一、语序不当二、搭配不当三、成分残缺四、结构混乱五、表意不明六、不合逻辑七、重复多余八、用词不当）二. 病句的基本类型 1. 错别字如：深篮的天空中挂着一轮园月。分析：“篮”与“蓝”，“圆”与“园”属于同音、形近字混淆。改为：深蓝圆月 2. 用词不当如：我们要虚心地帮助小同学。

改为：我们要耐心地帮助小同学。 3. 词语搭配不当如：我们要不断地改进学习方法，增加学习效率。改为：我们要不断改进学习方法，提高学习效率。 4. 逻辑混乱如：你的建议我完全赞成，只有一点不同意。分析：“完全赞成”和“只有一点不同意”相互矛盾。应改为：你的建议我基本上赞成，只有一点不同意。如：农贸市场里有黄瓜、豆角、圆白菜、西瓜、西红柿等蔬菜。改为：农贸市场里有黄瓜、豆角、圆白菜、西红柿等蔬菜。 5. 缺少成分如：积极参加课外活动。分析：缺少主语。改为：我们要积极参加课外活动。如：我们从小要养成认真思考。

分析：缺少宾语。改为：我们从小要养成认真思考的好习惯。 6. 重复罗嗦如：任何一切困难都吓不倒我们。分析：“任何”与“一切”词义相同，造成重复罗嗦。改为：任何困难都吓不倒我们。或一切困难都吓不倒我们。 7. 词序颠倒如：气象小组的同学，每天早上都记录并收听当天的天气预报。改为：气象小组的同学，每天早上都收听并记录当天的天气预报。 8. 关联词使用不得当如：如果我们生活富裕了，就不应该浪费。改为：即使我们生活富裕了，也不应该浪费。三. 修改病句的方法第一，认真读懂句子原意，要明白句子所表达的意思。也可以说是审题。

反函数例题讲解

反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D ）．因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ，得 x = 3．由 ? ? ?<=-144x x ，得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数．如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数．例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数．解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=．又当－1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1，即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )．例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________．分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些．令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ．又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ．例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C

修改病句——八种基本类型教学文案

修改病句——八种基本类型

指数函数

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数 1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图

反函数_典型例题精析

2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．

八种常见病句类型解析资料讲解

八种常见病句类型解析

八种常见病句类型解析一、搭配不当搭配不当，主要包括主语与谓语，动词与宾语，修饰语与中心语搭配不当等。 1 主语和谓语搭配不当：【例句】天渐渐转暗，墨似的乌云和倾盆大雨顿时从空中倾泻下来。【解析】主语“乌云”与谓语“倾泻”搭配不当，应改为：天渐渐转暗，墨似的乌云翻滚着，倾盆大雨顿时从空中倾泻下来。 2 动词和宾语搭配不当：【例句】国家免收义务教育阶段学生的学杂费，这一举措降低了家长的经济负担。【解析】动宾搭配不当，应将“降低”改为“减轻”。 3 主语和宾语搭配不当：【例句】人民解放军的英勇善战是世界第一流的军队。【解析】主语“英勇善战”与宾语“军队”搭配不当，删去“的英勇善战”或“军队”。二、成分残缺成分残缺，主要包括主语（主语中心语）、谓语（谓语中心语）、宾语（宾语中心语）残缺等。 1 缺主语：【例句】通过开展赛龙舟、包粽子活动，可以使屈原的爱国精神代代相传。【解析】这个句子由于前半截使用了介词“通过”，后半截使用了介词“可以使”，导致主语残缺，去掉其中一个介词就行。

2 缺谓语：【例句】我厂的产量从每天30吨，到每天50吨。【解析】这个句子要增加谓语“提高”或“增长”。 3 缺宾语：【例句】北京奥运会火炬接力的主题是“和谐之旅”，它向世界表达了中国人民对内致力于构建和谐社会，对外努力建设和平繁荣的美好世界。【解析】这个句子缺少宾语（宾语中心语），应在句末加上“的心愿”。三、重复累赘重复累赘 1、【例句】在上海汽车展上，国产汽车不断层出不穷。【解析】这句话后半句“不断”与“层出不穷”重复。去掉“不断” 2、【例句】看了这篇文章，我的心长时间久久不能平静【解析】“长时间”和“久久”是一个意思，语义重复了。 3、【例句】王老师的语文课经常让同学们忍俊不禁地笑出声来。【解析】“忍俊不禁”就是“忍不住笑了”，已经有笑的动作，再说笑就重复了。四、语序不当语序不当： 1、【例句】国务院办公厅下发通知，明确要求从2008年6月1日起，在全国范围内禁止销售、使用、生产厚度小于0.025毫米的超薄购物袋。【解析】这个句子语序不当，应把“销售、使用、生产”改为“生产、销售、使用”。

反函数

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。（8）反函数是相互的（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

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学习必备欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝－ x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )，由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ．解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)，得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)．由 y ＝－ x (0＜x ≤1)，得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜． x 1 x 0)

八种常见病句类型解析汇编

高考数学反函数

高考数学反函数时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________. 解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1. 答案：1 9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1 的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________．解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1 ，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2. 答案：2 10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f － 1(x )＝x 的解是__________．解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1 三、解答题(共50分) 11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数．解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴????? x >0，x 2－4≥0， x 2>x 2－4. ∴x ≥2. ∴lg(x －x 2－4)＝lg 4 x ＋x 2－4 ≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x － x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ， x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y . ∴x ＝12 (4·10－y ＋10y )．故f －1(x )＝12 (10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)， (1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ； (2)设H (x )＝g (x )－12 f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )．解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo g 2(y ＋ 1)(y >－1)，