高考反函数问题常见类型解析
反函数
反函数[重点难点]概念的把握,求反函数一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.7．原函数与反函数图象关于y=x对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4．下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例2．已知.f(x+1)=x2-3x+2, x∈(-∞,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理. 解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t∈(-∞,).即y=f(x)=x2-5x+6, x∈(-∞,).这是f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y∈(-,+∞).y=(x-)2-, (x-)2=y+,∵x<, x-<0,∴x-=-(y>-).∴x=-(y>-).∴f-1(x)=-(x>-).例3．已知f(x)=，求f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时，y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴f-1(5)=3.例5．设点（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-, b=,∴f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.例6．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=,求a,b,c的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5∴x=(y≠2),f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3, b=5, c=-2.参考题目：求f(x)=-2x2-4x+1 (x≤-1)的反函数.（答案.f-1(x)=-1-(x≤3)）求f(x)=x(x<0)的反函数.（答案.f-1(x)=-x(x>0)）.在线测试选择题1．已知函数y=(x∈R且x≠1) ，那么它的反函数为（）A、y=(x∈R且x≠1)B、y=(x∈R且x≠6)C、y=(x∈R且x≠-)D、y=(x∈R且x≠-5) 2．若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)则f-1(x)为（）A、(x≥2)B、1-(x≥2)C、-(x≥3)D、(x≥3)3．欲使y=x2+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为（）A、-2B、2C、0D、44．f(x)=(x<-1)的反函数是（）A、f-1(x)=-B、f-1(x)=-,(x>0)C、f-1(x)=,(x<0)D、f-1(x)=,(x>0) 5．f(x+1)=则f-1(x+1)的解析式是（）A、B、-C、-D、答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、C 5、B解析：1．解答：由y=x=y=, x≠6．选B．2．解答：由f(x-1)=x2-2x+3,x≤0 f(x)=(x+1)2-2(x+1)+3=x2+2,x≤-1 y≥3,又由y=x2+2,x≤-1 x=-y=-, x≥3.选C．3．解答：由y=x2+4x=(x+2)2-4, x≥a有反函数，则a≥-2，因此选A．4．解答：由y=x2=1-,∵ x<-1, ∴x2>1 1->1且x=-y<0, f-1(x)=, x<0，选C．5．解答：由f(x+1)=f(x)=x=f-1(x)=f-1(x+1)==-．选B．反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
SXA261高考数学必修_反函数常见考点
反函数常见考点一．利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则1(2)f -= 。
分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此1(2)f -=1.点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。
充分利用反函数的性质：f(a)=b ⇔1()f b a -=即可解决此类问题。
二．求原函数与其反函数的交点例2.若与1()f x -都过（1，2）点，则f(x)与1()f x -图象交点的个数为 个。
分析：解方程组21⎧=⎪⎨=⎪⎩解得a=-3,b=7，则由f(x)与1()f x -的图象关于直线y=x 对称知f(x)与1()fx -均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x 交点也是同一点，故共有3个交点。
点评：函数f(x)与1()f x -的交点若为（a,b ），则点（b,a ）也为它们的交点；三．利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例3.函数f(x)=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12(4)f x --的单调减区间是 。
分析：（1）设u=4-x 2，1()fx -=12log x ，令u>0，4- x 2>0，得-2<x<2。
当x ∈(-2,0)时，u 是增函数，而1()f x -=12log x 为减函数，则12(4)fx --是单调递减函数。
即（-2，0）。
（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x 对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x 2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x 2的增区间即为12(4)f x --的减区间。
解法同上。
点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。
2-反函数
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第二章
函数
探究3 的解析式．
注意到f－1(x)与f(x)有相同的奇偶性和单调性，
只需研究原函数f(x)的奇偶性和单调性，从而回避了求f－1(x)
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函数
思考题 3
－
1 (08·天津卷)设函数 f(x)＝ (0≤x<1)的反 1－ x )
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函数
x－5 5＋my (3)由 y＝ 得 x＝ 2x＋m 1－2y 5＋mx －mx－5 ∴f (x)＝ ＝ 1－2x 2x－1
－1
∵函数 f(x)的图象关于直线 y＝x 对称
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∴f(x)＝f 1(x) ∴m＝－1.
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在 y
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函数
3．反函数的性质 (1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有 (2)奇函数的反函数是 的反函数是本身 ． 相同 的单调性． ．(若存在) 奇函数
(3)若函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)
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①求反函数忘记注明定义域． ②错误地将y＝f－1(x＋a)理解为y＝f(x＋a)的反函数． ③易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性关系，从而 导致解题过程繁琐．
－
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函数
探究2 本题主要考查函数与反函数之间的关系． ①②题主要训练：若f(a)＝b，则f－1(b)＝a ③题主要训练：f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称 以上这几种关系是常考点．
高考数学函数专题、反函数
函数专题（一）、反函数1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。
因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。
偶函数一定没有反函数。
2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。
4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 1611-log )(=的交点有），（4121和），（2141，这两个交点就不在直线y =x 上。
例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________例3.已知132)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________变式训练：1.已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是 奇函数，那么1(5)f --=________6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________8.若1x 满足233=+xx ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）A.关于直线x y =对称B.关于直线1+=x y 的对称C.关于直线1-=x y 对称D.关于直线1=x 对称)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y ff x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。
人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲
高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。
图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。
注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。
2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。
（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。
，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。
（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。
（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。
（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。
3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。
高考数学中的三角函数反函数及其应用
高考数学中的三角函数反函数及其应用随着社会的不断发展，高考已经成为了众多学子们追求的目标。
其中，数学作为其中一门重要的科目，是检验学生数学素养的关键。
而在数学当中，三角函数及其反函数无疑是数学知识的重要组成部分之一。
本文旨在深入探讨高考数学中三角函数反函数及其应用。
1.三角函数反函数的引入在高一数学学习的时候，我们已经接触到了三角函数。
三角函数是一种周期函数，它们分别为正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)。
在三角函数中常常用来描述直角三角形的关系。
但是，我们在实际应用中常常需要求解三角函数的反函数问题。
下面我们来看一下三角函数的反函数定义。
2.三角函数反函数的定义正弦函数sin(x)在区间[-π/2，π/2]上单调递增且连续，余弦函数cos(x)在区间[0，π]上单调递减且连续。
正切函数tan(x)在区间(-π/2，π/2)上单调递增且连续。
因此，这三个三角函数在这些区间上都可以有反函数，这就是它们的反函数：正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)，余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)，正切函数反函数y=tan⁻¹(x)。
值得注意的是，在定义反函数时应注意反函数的定义域和值域问题。
其中，正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[-π/2，π/2]; 余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[0，π]; 正切函数反函数y=tan⁻¹(x)的定义域为R, 值域为(-π/2，π/2)。
3. 三角函数反函数的性质对于三角函数的反函数来说，有以下分类讨论：（1）正弦函数反函数sin⁻¹(x)的性质i. sin(sina⁻¹x) = x，a∈[-π/2,π/2]ii. sina⁻¹sinx = x或π-x,x∈[-π/2,π/2],a∈[-π/2,π/2]（2）余弦函数反函数cos⁻¹(x)的性质i. coscosa⁻¹x = x，a∈[0,π]ii. cosa⁻¹cosx = x或2π-x,x∈[0,π],a∈[0,π]（3）正切函数反函数tan⁻¹(x)的性质i. tantana⁻¹x = x, a∈(-π/2,π/2)ii. tana⁻¹tanx = x+kπ,x∈(-π/2,π/2),k∈Z从上面的性质可以看出，三角函数反函数的性质是与原函数有密切关系的。
高三一轮复习反函数
高三总复习
数学 (大纲版)
解析：解法 1：求得 f－1(x)＝loga(x＋ x2＋1)(a>1) 由 f－1(x)>1 得 loga(x＋ x2＋1)>logaa， a2－1 ∴x＋ x2＋1>a，解得 x> . 2a 1 x －x 解法 2：∵a>1，∴f(x)＝ (a －a )为增函数． 2 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，f－ 1 (x)>1. 即 在 f(x)中 ， 在 x>1 的 条 件 下 ， 求 f(x)的 范 a2－1 1 围．∴f(x)>f(1)＝ (a－a－1)＝ . 2 2a
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(1)函数y＝f(x)的反函数y＝f －1(x)的图象与y轴交于点 P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)＝0的根是x等于 ( )
A．4
C．2
B．3
D．1
(2)函数y＝1＋ax(0<a<1)的反函数的图象大致是下图中
的
解析：(1)∵反函数图象经过(0,2)， ∴原函数图象经过(2,0)， ∴x＝2.答案为C.
1(x)的
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2．互为反函数的函数图象间的关系 (1)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f －1(x)的图象关 于 直线y＝x 对称． (2)若函数y＝f(x)的图象过点(a，b)，则y＝f －1(x)的图 象必过点 (b，a) ，即f(a)＝b⇔ f－1(b)＝a .
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注意：互为反函数的两个函数的图象的对称性是在横、 纵坐标单位长度相同的前提下研究的．
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1－ax 1．(2009· 湖北高考)设 a 为非零实数，函数 y＝ 1＋ax 1 (x∈R，且 x≠－ )的反函数是 ( ) a 1－ax 1 A．y＝ (x∈R，且 x≠－ ) a 1＋ax 1＋ax 1 B．y＝ (x∈R，且 x≠ ) a 1－ax 1＋x C．y＝ (x∈R，且 x≠1) a(1－x) 1－x D．y＝ (x∈R，且 x≠－1) a(1＋x)
SXA202高考数学必修_利用反函数与原函数之间的性质
利用反函数与原函数之间的关系在函数的反函数定义中，能体现反函数实质的是将x ，y 的互换，由此确定了反函数与原函数的定义域与值域、对应法则及图象之间都渗透着互换关系.如果能充分利用好这种互换关系，能起到化繁为简，化生为熟，快速解题的目的.下面以近三年的高考题为例说明这种互换关系的应用.一、利用反函数与原函数的定义域与值域的互相性性质：函数y ＝f(x)的定义域为A ，值域为B ，则其反函数y ＝f -1(x)的定义域为B ，值域为A.例1(2005年天津高考题）设f -1(x)是函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)的反函数，则使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围为( A )A.(a 2－12a ，＋∞)B.(－∞，a 2－12a )C.(a 2－12a ，a)D.(a ，＋∞)解析：求“使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围”，实为求“求函数f -1(x)的值域为(1，＋∞)时的定义域”，根据反函数与原函数的定义域与值域的互换性，转化为“求函数f(x)＝12(a x －a -x )(x ＞1)的值域”. 而函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)在(1，＋∞)上为增函数，所以f(x )≥12(a 1－a -1)＝a 2－12a.故选A. 点评：本题也可以通过求出反函数进行求解，但其过程较为繁琐.解答本题的关键是要充分利用转化的思想，将问题转化为求原函数的值域问题.二、利用反函数与原函数对应法则的互逆性性质：f (a)＝b ⇔f -1(b)＝a .例2（2004年上海春季高考）已知函数f(x)＝log 3(4x＋2)，则方程f -1(x)＝4的解x ＝__________. 解析：求解问题实质是“已知反函数的函数值f -1(x)＝4，求自变量x 值”根据反函数与原函数对应法则的互逆性，问题转化为“已知原函数f(x)的自变量x ＝4时，求函数值f(4)”，即f -1(x)＝4转化为x ＝f(4)而f(4)＝log 3(44＋2)＝1，即方程f -1(x)＝4的解x ＝1. 点评：f (a)＝b 与f -1(b)＝a 实质上都反映的是a ，b 的同一关系.此关系还可体现为f[f -1(x)]＝x(x ∈C ，C 为原函数的值域)，f -1[f(x)]＝x(x ∈A ，A 为原函数的定义域)，在反函数的求值问题中有广泛的应用.三、利用反函数与原函数图象之间的对称性性质：若(a ，b)在函数y ＝f(x)的图象上，则(b ，a)在反函数y ＝f -1(x)的图象上.例3（2006年广东高考题）函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的图像与y 轴交于点P(0，2)（如图2所示），则方程f(x)＝0在[1，4]上的根是x ＝ A.4 B.3 C.2 D.1解析：由条件知点P(0，2)y ＝f -1(x)的图像上，则点(2，0)在函数y ＝f(x)的图象上， 所以，f(2)＝0，即f(x)＝0的根是x ＝2，故选C . 点评：解答本题的关键是确定y ＝f -(x)的图像过点(2，0)，代入函数y ＝f(x)，即知x ＝2是方程f(x)＝0的根，由反函数定义知，定义域与值域之间是一对一的，故只有一个解(由于是选择题，是否只有一根上面解答可不作进一步判断).例4(2006年陕西高考题)设函数f(x)＝log a (x ＋b)(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，则a ＋b 等于( )A.6B.5C.4D.3解析：因为反函数的图象过点(2，8)，所以函数f(x)＝log a (x ＋b)过点(8，2)，)又函数f (x )=log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，则⎩⎨⎧ log a (2＋b )＝1log a (8＋b )＝2，∴⎩⎨⎧ 2＋b ＝a 8＋b ＝a 2，a ＝3或a ＝－2(舍)，b ＝1，∴a ＋b ＝4，选C ． 点评：确定多个(两个或两个以上)参数之间的关系，一般是通过建立关于参数的方程或不等式(组)来确定的，而本题则是通过确定出原函数过两定点(2，1)与(8，2)，建立方程组，解出a ，b 的值来确定的.此解法体现了一种数学思想——方程的思想.例5(2006年重庆高考题)设函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x)，且y ＝f(2x －1)的图像过点(12，1)，则y ＝f -1(x)的图像必过（A ）(12，1) （B ）(1，12) （C ）(1，0) （D ）(0，1)解析：当x ＝12时，2x －1＝0，即y ＝f(x)的图象过点(0，1)，所以y ＝f －1(x)的图像必过(1，0)，故选C . 点评：本题是一道关于抽象函数的反函数问题，解答此问题的关键是由y ＝f(2x －1)图象上的定点确定出f(x)的图象过定点(0，1).四、利用反函数与原函数单调性的一致性性质：增函数的反函数是增函数；减函数的反函数是减函数例6（2006年山东高考题）函数y ＝1＋a x (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）解：由于y ＝1＋a x ＞1，所以反函数的定义域为(1，＋∞)，排除B 、D.又0＜a ＜1，所以y ＝1＋a x 在R 上是减函数，于是y ＝1＋a x 的反函数在(1，＋∞)上是减函数，排除C ，选A .点评：对函数图象的选择，一般在解答时都不通过作出函数的图象，然后与选择支对照进行选择，而是利用函数的性质(定义域、值域、单调性、反函数与原函数的关系以及图象上的定点等)进行判断.。
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高考反函数问题常见类型解析
反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型
例1.函数f x x ax ()=--2
23在区间[
]
12，上存在反函数的充要条件是（ ）
A. (]a ∈-∞，1
B. [)a ∈+∞2，
C. (][)a ∈-∞+∞，，12
D. []
a ∈12，
解析：因为二次函数f x x ax ()=--2
23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的
子区间(
]-∞，a 或[
)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函
数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）
点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤23
10()的反函数是（ ）
A. y x x =+≥-()()113
B. y x x =-+≥-()()113
C. y x x =
+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103
解析：由x ≤0可得x 23
0≥，故y ≥-1，从y x =-23
1解得x y =±+()13
因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113
故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若f
x -1
()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1
101()，可求得f －1（x ）的值域为
()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1（x ）的值域
为()-+∞1，。
点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
四.性质判断型
例4. 函数y e e x x
=--2
的反函数是（ ）
A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；
B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数
C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；
D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 解析：因为e x 在（0，+∞）上是增函数，e x -在（0，+∞）上是减函数，所以
y e e x x =--2
在（0，+∞）上是增函数易知y e e x x =--2为奇函数
利用函数y f x =()与f －
1（x ）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条
性质，立即选（C ）。
五. 反函数求值型
例5. 设3
5
2)(-+=
=x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线y=x 对
称，则 g(3)= 。
解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a ，b ）在原函数上，则（b ，a ）一定在反函数上，反之也成立。
于是可设（4，a ）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a ，4）为)1(1
+=-x f
y 图象上的一点，（a+1，4）为)(1
x f
y -=图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有123
45
421=⇒-+⨯=+a a 。
点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f a =-1
()。
得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。
六.方程关联型
例6.已知函数f x x ()log =+⎛⎝
⎫
⎭
⎪342，则方程f －1（x ）=4的解x=_____________。
解析：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f
a =-1
()。
所以只需求出f ()
4的值即为f －
1（x ）=4中的x 的值。
易知f ()41=，所以x =1即为所求的值。
点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。
即先求出反函数f －
1（x ）的解
析式，再解方程f －
1（x ）=4，也可得x =1。
七.不等式关联型
例7.设f －1
（x ）是函数f x a a a x x
()()=
->-2
1的反函数，则f －1（x ）>1成立时x 的取值范围是（ ）
A. a a 212-+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪，
B. -∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪，a a 212
C.
a a a 212-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪， D. ()a ，+∞
解析：由a >1，知函数f （x ）在R 上为增函数，所以f －
1（x ）在R 上也为增函数。
故由f －1
（x ）>1，有x f >()1而f a a a a
()1121122
=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=
-，可得x a a >-212，故选（A ）。
点评：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。
八.图象挖掘型
例8.已知函数y x =log 2的反函数是y f
x =-1
()，则y f x =--11()的图象是（ ）
解析：由题意知f
x x -=1
2()，则f x x
x x ------===⎛⎝ ⎫⎭
⎪1111
12
2
12()()
所以
y f x =--11()的图象可由y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象向右平移1个单位而得到。
故选（C ）。
点评：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。
对称法是指根据原、反函数的图象关于直线y x =对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函数称为自反函数。
九.问题综合型
例9.设x R ∈，f （x ）是奇函数，且f x a a x x ()2441
2
=-+-·。
（1）试求f （x ）的反函数f －
1（x ）的解析式及f －
1（x ）的定义域；
（2）设g x x k ()log =+21，若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥1223，时，f x g x -≤1
()()恒成立，求实数k 的取值范围。
解析：（1）因为f （x ）是奇函数，且x R ∈，所以f a a
()001
02=-
=，即，得a =1 所以f x x x ()=-+2121，可求得f x ()()∈-11，，令y x x =-+2121
，反解出
211112x y y x y y =+-=+-，l o g ，从而f x x x
x -=+-∈-1
2
1111()log ()，， （2）因为x ∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥12
23，，所以k >0，由f
x g x -≤1
()()得log log
log 2222
1111+-≤+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x x k
x k
所以1
1
12
+
-
≤
+
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
x
x
x
k
，即k x
22
1
≤-对x∈⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2
2
3
，恒成立。
令h x x
()=-
12其在
1 2
2
3，
⎡⎣⎢⎤
⎦⎥
上为单调递减函数，则h x h
()
min
=
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪=
2
3
5
9。
所以k h x
2
5
9
≤=
()
min
，又k>0，
故实数k的取值范围是0
5
3 <≤
k
点评：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。