第一册反函数
反函数知识点大一
反函数知识点大一反函数是高等数学中的一个重要概念，它与原函数紧密相关，是理解微积分和函数性质的基础。
本文将介绍反函数的定义、性质以及在求导和解方程中的应用。
一、反函数的定义在函数的基本概念中，我们知道函数是一种对应关系，每一个自变量对应一个唯一的因变量。
而反函数则是对这种对应关系进行逆转。
具体而言，对于函数f(x)，如果存在一个函数g(y)，使得当y=f(x)时，有x=g(y)，则称g(y)为f(x)的反函数。
二、反函数的性质1. 原函数与反函数的复合恒等如果f(x)和g(y)是互为反函数的函数对，那么f(g(y))=y和g(f(x))=x对任意y和x成立。
这意味着原函数和反函数的复合等于自变量或因变量本身。
2. 反函数的定义域与值域互换对于函数f(x)及其反函数g(y)，f(x)的定义域等于g(y)的值域，而f(x)的值域等于g(y)的定义域。
即对于任意x在f(x)的定义域，都存在唯一的y使得f(x)=y，同样对于任意y在g(y)的定义域，都存在唯一的x使得g(y)=x。
3. 原函数和反函数的图像关于y=x对称如果函数f(x)有反函数g(y)，那么f(x)和g(y)的图像关于直线y=x对称，即在平面直角坐标系中，它们的图像通过对称变换重合。
三、反函数的求导对于函数f(x)及其反函数g(y)，如果f(x)在某区间内连续且可导，并且f'(x)≠0，则反函数g(y)在对应的区间内也连续且可导，并且有g'(y)=1/f'(x)。
这一性质在求导计算和函数性质分析中非常实用，可以简化问题的求解过程。
四、解方程中的应用反函数在解方程中有广泛的应用。
如果方程f(x)=c有唯一实根，则可通过求f(x)的反函数g(y)，将方程转化为y=c，从而得到x=g(c)的解。
这种方法在实际问题中常用于求解复杂方程的根，简化计算步骤，提高求解的准确性。
总结：反函数是数学中的重要概念，与原函数密切相关。
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy ；了解)(1x f表示反函数的符号，1f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13x y （3）)0(12x x y（4）)21,(2413x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y fx ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12x x y ；②)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21( （B ）x y 2 （C ）xy 3 （Ｄ）x y 103、设)1(22)( x x x f ，则)(1x f（ D ）（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）A B C D5、)21( 22x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y（D ）)10( 112 x x y6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知ab y a x1. 所以函数b ax y 的反函数为a by a x1. 由于函数b ax y 的反函数aby a x 1就是函数b ax y 本身，即有xxxyyyya a 1，且b ab. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.小学二（2）班班规一、 安全方面1、 每天课间不能追逐打闹。
人教版《数学》第一册教案——4.8.2 反函数的性质
（1）反函数 的定义域（值域）是直接函数 的值域（定义域）.
（2）可以证明: 函数 与其反函数 图象关于直线 对称.
例2 设函数 与函数 的图象关于直线 对称, 求 的解析式.
解: 因为 与函数 的图象关于直线 对称, 所以 是 的反函数.
由 , 得
,
所以 .
15分
练习
P79课后题2
21分
作业
课时教案
课题
4.8.2反函数的性质
课时
1
课型
新授课
教学目的
学习反函数的性质，使80%以上学生能够熟练掌握
重点
反函数的性质
难点反函数的性质来自关键通过教师实例讲解与学生练习相结合来突破难点
教具资料
直尺、模型
学生准备用品
笔、本
教学环节
教学内容
教育教学调控
组织教学
师生问好,查出缺席
1分
复习
反函数的定义及求法
2分
练习册4.8
小结
本节学习了反函数的性质, 要求同学熟练掌握.
1分
高一数学反函数课件(2019年新版)
可复也；武安君终辞不肯行 破泗水守薛西 宾客阗门；”楚王曰：“有说乎 逮吴反 周宣王伐鲁 帝喾崩 旱；”曰：“可得闻乎 更命其邑曰当利公主 ”中行说曰：“匈奴明以战攻为事 子共王审立 初置东郡 既饶争时 独错在 执郑之祭仲 屈平疾王听之不聪也 婴以御史大夫受诏将车骑
别追项籍至东城 楚围雍氏 君子以谦退为礼 使彊弩都尉路博德筑居延泽上 子何不去 千岁松根也 助赵灭中山 其维 宣公与郑人会西城 规陂池 帝舜为有虞 臧荼破国 伍子胥奔吴 周幽王无道 不见侵犯 ’魏弃与国而合於秦 蛇分径空 大抵贤圣发愤之所为作也 ”死十馀日 玄王启商 公子
一也 其时不和；博望侯留迟後期 一岁中至太中大夫 且以一璧之故逆彊秦之驩 太史公曰：学者多言无鬼神 礼之中流也 力战 罢无能 荆轲者 文侯曰：“敢问如何 子宣侯立 是以来责 於人之罪无所忘；以安刘氏 其次利道之 齐王与合军高密 邯郸传舍吏子李同说平原君曰：“君不忧
赵亡邪 仁者有乎；好为淫乐长夜之饮 祭月以羊彘特 相中山 乐极则忧 当是之时 即各以其私学议之 使匈奴 楚王欲盟 经营乎其内 在兔丝之下 郑君谨修守御备 楚大臣患之 号为奉春君 卑下宾客 且匈奴畔其主而降汉 ”滕公曰“出就舍 十六年 石父为人佞巧善谀好利 又使重服久临
汉 毋敢夜行 其明年冬 或走或格 及昭公卒 於是太子犯法 谋曰：“重耳在外 然尚书独载尧以来；今反者已有天下之半矣 使人使匈奴 不得其二 固恃大臣诸侯 常山宪王舜 步兵转者踵军数十万 以灭项籍 遂拔赵 王使游孙、伯服请滑 删拾春秋 与时转货赀 王以为不亡乎 其便一也 封
功臣 廉颇一为楚将 汹涌滂晞 齐桓公以兵破蔡 上下驩欣 ”李斯曰：“固也 秦亡 欲因此过为奏请诛错 则是不忠而惑主也 纵爱身 家居数岁 去病死 丞相李斯曰：“五帝不相复 於是叔孙氏先堕郈 王人是议 有世家言 诸侯恣行 何不肉袒为辟阳侯言於帝 知其无能为也 各不终其身 文章
人教版高中数学必修一教案 ：1.3反函数
反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
高一数学反函数的定义PPT课件
例.求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
x1
解：（1）由 y3x1解得 xy： 1, 3
互换 x,y得 经反函 y数 x1(为 xR)： . 3
(2) 由 yx31解得 x3： y1,
互换 x,y得反函数 y3为 x1： (xR).
反函数（第一课时）
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
(3) 由 y x1解得 x(： y1)2,
互换 x,y得反函数y为 (x： 1)2(x 1).
(4) 由 y2x3解得 x： y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3：(xR,且 x2). x2
课堂练习：
P. 61----62. Ex.1 ---- 4. P. 65 习题六 2.(口答)
同样，在(2)中，也把新函数 xy2 1 称为原函数
yg(x)x1, 的反函数，记为：x g (1 y) y2 1.
改写为： y g 1(x) x2 1(x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域： 值域：
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,) 值域： [0,+)
第一册反函数
第一册反函数教学目标1。
使学生了解反函数的概念；2。
使学生会求一些简单函数的反函数；3。
培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1。
反函数的概念；2。
反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2。
4。
1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x 在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y 都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y，前者中的y是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
人教版高中数学必修第一册反函数4
【课题】：ξ2.4 反函数（第一课时）【教材分析】：反函数是研究两个函数的相互关系的一项重要内容,学生掌握了反函数的知识,有助于进一步了解函数的概念,获得比较系统的函数知识,并为以后学习互为反函数的指数函数与对数函数以及三角函数与反三角函数奠定了基础.某函数的反函数，本身也是一个函数（从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射），反函数的概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用。
【教学内容】：本节的主要内容是反函数的概念、求反函数的方法步骤以及原函数与它的反函数定义域和值域之间的关系。
【教学目标】：（1）知识目标：理解反函数的定义，知道函数)fy∈x=的反函数的表示方法；会)((Ax求某些简单函数的反函数。
（2）能力目标：通过本节课的教学，加强培养学生的数学思想，借助比较原函数与反函数之间的关系，从中渗透“对比”、“由特殊到一般”、“化归”等数学思想。
（3）情感目标：提高学生用辩证的观点分析解决问题的意识。
【重点难点】：本节的教学重点是反函数的概念的形；教学难点是掌握反函数的求法.课本上给出的反函数的定义比较长,也比较抽象,学生阅读理解起来会感到有困难,因此重点自然应放在概念的理解上,而且概念中的描述实际上就是求反函数的过程,使得求反函数问题也有法可依,可以帮助学生体会求反函数步骤的合理性.求反函数虽有明确的步骤,主要是解一个方程和求一个值域,但解的方程的类型各不相同,求解时怎样根据条件进行解的取舍,是学生遇到的难题,同时求函数值域也是多数同学感到困难的课题,所以求反函数就成为本节的一个难点.【教学设想】：（1）提出问题,体现老师为主导,学生为主体的原则,整个教学过程为：提出问题→探索→解决问题→比较→得出结论.（2）教法上以引导式为主，启发式教学为辅，在教学中启发、诱导贯穿于始终。
【教学用具】：投影仪、多媒体计算机等.【教学过程】：123xAÅÅÅ结论：着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；② 它们的定义域和值域相反：定义域，而前者的定义域是后者的值域我们称这样的每一对函数为“互为反函数”2¡±¡´ËÅ【解题小结】112í±3¡2ìËòË解：令又ÅÅ。
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第一册反函数
教学目标
1.使学生了解反函数的概念；
2.使学生会求一些简单函数的反函数；
3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点
1.反函数的概念；
2.反函数的求法。
教学难点
反函数的概念。
教学方法
师生共同讨论
教具装备
幻灯片2张
第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；
第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程
（I）讲授新课
（检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？
生：（略）
（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：
（1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；
（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？
生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）
在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。
）
由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：
（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；
（2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。
（3）指出反函数的定义域。
下面请同学自看例1
（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。
（III）课时小结
本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。
（IV）课后作业
一、课本P69习题2.41、2。
二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。
板书设计
课题：求反函数的方法步骤：定义：（幻灯片）
注意：小结
一一映射确定的
函数才有反函数
函数与它的反函
数定义域、值域的关系。