第一册反函数

教学目标

1.使学生了解反函数的概念；

2.使学生会求一些简单函数的反函数；

3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

教学重点

1.反函数的概念；

2.反函数的求法。

教学难点

反函数的概念。

教学方法

师生共同讨论

教具装备

幻灯片2张

第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；

第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程

（I）讲授新课

（检查预习情况）

师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。

同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？

生：（略）

（学生回答之后，打出幻灯片A）。

师：反函数的定义着重强调两点：

（1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；

（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。

师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？

生：一一映射确定的函数才有反函数。

（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。

师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）

在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。）

由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。

师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。

从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：

（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；

（2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。

（3）指出反函数的定义域。

下面请同学自看例1

（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。

（III）课时小结

本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。

（IV）课后作业

一、课本P69习题2.41、2。

二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计

课题：求反函数的方法步骤：定义：（幻灯片）

注意：小结

一一映射确定的

函数才有反函数

函数与它的反函

数定义域、值域的关系。

高一数学必修一公式

高一数学必修一公式必修一一、集合一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

高一数学必修一常用公式及常用结论

高中数学必修一、二常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?- =，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解）依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ?-≥? ?->??；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040 2 f m f n p q p m n >??>?? ?-≥? ?<-?或()0()0f n af m =??>? ；

(完整版)高中数学必修一函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能，请说明理由。２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。

(完整版)人教版高一数学必修一基本初等函数解析

基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。（2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。（3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

高中数学必修一必背内容

高二文科数学复习必修一必背内容班级姓名一.集合： 1、元素与集合的关系有:∈ 、?；集合与集合的关系有:? 、? 2.若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个 3.A B A A B B =?=? B A ? 4.常用的数集 ① 自然数集：记作 N ② 正整数集：记作 *N ③ 整数集：记作 Z ④ 有理数集：记作 Q ⑤ 实数集：记作 R ⑥空集：φ ⑦奇数集的表示为{}Z n n x x ∈+=,12|; ⑧偶数集的表示为{}Z n n x x ∈=,2| 5、集合的基本运算： {}B x A x x B A ∈∈=且| ； {}B x A x x B A ∈∈=或| {}A x U x x A C U ?∈=且,| 二..函数（一）函数的基本性质 ① 函数的单调性：(1)若函数()f x 在定义域内当 ()()1212,x x f x f x <<都有，则()f x 在定义域内是单调递增；(2) 若函数()f x 在定义域内当 ()()1212,x x f x f x <>都有，则()f x 在定义域内是单调递减 ② 函数的奇偶性（其定义域关于原点对称）：（1）当()()f x f x -=时，()f x 是偶函数；偶函数关于y 轴(即x=0)对称；（2）当()()f x f x -=-时，()f x 是奇函数，奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x=0有意义，则f(0)=0 若函数)(x f y =满足:)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f y =关于x=a 对称；若函数 )(x f y =满足:)()(x b f x a f -=+,则函数关于2 b a x +=对称在公共定义域内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

高中数学必修一函数大题(含详细解答) (1)

高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是

人教版高一数学必修一知识点总结

高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

2.4必修一：奇偶性—函数性质、单调性、奇偶性、反函数

2.4必修一：奇偶性—函数性质、单调性、奇偶性、反函数 1.判断下列函数是否为奇偶函数。 ⑴ f (x ) = x 3 , x ∈[-1，1] ⑵ f (x ) = x 3 , x ∈[-1,1) 2.已知① f (x ) = x ，② f (x ) = 1 ，③ f (x ) = x 2 ，④ f (x ) =| x | ，⑤ f (x ) ＝ x ＋ 1 ，⑥ f (x ) ＝ x 。偶函 x 数的序号为，奇函数的序号为。 x 1 + x 2 3．已知函数 f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则 m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．(2011·茂名月考)如果奇函数 f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5，那么 f (x )在区间[－7，－3]上是 ( ) A ．增函数且最小值是－5 B ．增函数且最大值是－5 C ．减函数且最大值是－5 D ．减函数且最小值是－5 5. 函数 y ＝x 1 ( ) －x 的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线 y ＝－x 对称 C ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y ＝x 对称 6. 若偶函数 f (x ) 在 (- ∞,-1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A ． f (- 3 ) < 2 f (-1) < f (2) B ． f (-1) < f (- 3) < 2 f (2) C ． f (2) < f (-1) < f (- 3 ) D ． f (2) < 2 f (- 3 ) < 2 f (-1) 7.已知函数 f (x ) = x 2 - ax + 1 是偶函数，则实数 a = 。 (x ＋1)(x ＋a ) 8．(2011·开封模拟)设函数 f (x )＝ 9. 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 2－x 3； x 为奇函数，则 a ＝ .

高一必修一基本初等函数知识点总结归纳

高一必修一函数知识点（12.1）〖1.1〗指数函数（1）根式的概念 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ （4）指数函数例：比较

〖1.2〗对数函数（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（3）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且（5）对数函数

高一必修一基本初等函数知识点汇总归纳

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高一必修一函数知识点（12.1）〖1.1〗指数函数（1）根式的概念 ① n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：( )n n a a =；当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ （4）指数函数函数名称指数函数定义函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象 1a > 01a << 定义域 R 值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况 y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0) y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0) a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴．在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．例：比较 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =

高一数学必修一函数知识点总结归纳

高一数学必修一函数知识点总结归纳 1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x); (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对

称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为： f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数; 5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

高中必修一幂指数反函数数学教案

反函数一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1 x f y -=间的关系： ----定义域、值域相反，对应法则互逆； 3．反函数的求法：一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y); ②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A (?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x 与因变量y 之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①)(23R x x y ∈-=的反函数是)(3 2R x x y ∈+= ②)(3 R x x y ∈=的反函数是)(3R x x y ∈= 1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1 x f y -=的图象关于直线x y =对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是)(x f y =则当x=a 时，)(x f 有唯一的值b a f =)(. ∵)(x f y =有反函数)(1 x f y -=， ∴当x=b 时，)(1 x f -有唯一的值a b f =-)(1 ，即点'M (b,a)在反函数)(1 x f y -=的图象上. 若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得： PM=2 2 )()(c b c a -+-,P 'M =2 2 )()(c a c b -+-， ∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线， ∴点M, 'M 关于直线y=x 对称.

必修一基本初等函数

基本初等函数知识导航指数函数指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n 次方n a 负的n 次方根用符号n a 表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

指数函数及其性质（4）指数函数对数函数对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

幂函数与反函数

幂函数与反函数【知识要点】 1.幂函数的定义：一般地，把形如a y x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 2.幂函数的图像 3.图像性质总结： Ⅰ 0a > （1）图像都过点(0,0)和(1,1)；（2）函数在区间(0,)+∞上都是增函数；（3）当1x >时，指数大的图像在上方；当01x <<时，指数大的图像在下方.

Ⅱ 0a < （1）图像都过点(0,0)和(1,1)；（2）函数在区间(0,)+∞上都是减函数；（3）在第一象限内，图像向上无限地接近y 轴，向右无限地接近x 轴；（4）当1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. Ⅲ 总之，无论指数正负如何，它们都有共同的性质：（1）图像都过点(1,1)；（2）1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. 3.反函数（1）定义及写法（2）性质：①互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称 ②若函数()y f x =的图像上有一点(,)a b ，则(,)b a 必在其反函数的图像上；反之，(,)b a 在反函数的图像上，则点(,)a b 必在原函数的图像上； ③函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； ④严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数——【反函数存在定理】。 ⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）反函数的求法： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； 2、反解x ，也就是用y 来表示x ； 3、改写x 和y ，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x ； 4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。【典型例题】例1 设221 333111 (),(),()252 a b c ===，则（）. A. a b c << B. c a b << C. b c a << D. b a c << 例2 已知幂函数(,p q y x p q N +=∈，且互质）的图像如图所示，则（）. A. ,p q 均为奇数，且p q > B. p 为奇数，q 为偶数且p q > C. q 为奇数，p 为偶数且p q > D. q 为奇数，p 为偶数且p q < 例3 已知点在幂函数()f x 的图像上，则()f x 的解析式是（）.

高一数学必修一公式--新版

高一数学必修一公式整理集合大全必修一一、集合一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与注意：B B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

高中必修一函数全章知识点整理

函数复习主要知识点一、函数的概念与表示 1、映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1； 2求函数定义域的两个难点问题（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。（2） (21 )x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域

1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()() -=，则称y=f(x)为偶函数。 f x f x 如果对于任意x∈A，都有()() -=-，则称y=f(x)为奇函数。 f x f x 2.性质： ①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

高中必修一数学常用公式及常用结论

高中数学必修一、二常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解）依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ?-≥??->??；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402 f m f n p q p m n >??>???-≥??<-?或()0()0 f n af m =??>?；

高中数学必修1 必修一幂函数专项练习题

必修一幂函数专项练习题 1. 下列命题中正确的是（） A. 当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点 C. 若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则在定义域内y 随x 的增大而增大 D. 幂函数的图象不可能在第四象限 2. 幂函数y ＝x 43，y ＝x 31，y ＝x －43的定义域分别是M 、N 、P ，则（） A. M ?N ?P B. N ?M ?P C. M ?P ?N D. A 、B 、C 都不对 3. （湖南高考，文）函数f （x ）＝x 21-的定义域是（） A. （－∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，＋∞） 4. （唐山十县联考）函数y ＝（－2 1+x ）－1的定义域是（） A. （－∞，－1） B. （－∞，－1］ C. （1，＋∞） D. ［1，＋∞） 5. （江西高考，理）已知实数a 、b 满足等式（2 1）a ＝（31）b ，下列五个关系式： ①0 x x f x f )()(21+ B. f （221x x +）

高中数学必修一函数大题含详细解答

足的条件。定义域和值域相同。 (1) 已知函数f(x) ax 2 bx b(a 0)有不动点(1，1)和(-3，-3 )求a 与b 的值; 高中函数大题专练 1、已知关于x 的不等式(kx k 2 4)(x 4) 0，其中k R 。 ⑴试求不等式的解集A ; ⑵对于不等式的解集 A ，若满足AI Z B (其中Z 为整数集)。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合 B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ; 若不能，请说明理由。 2、对定义在［0, 1］上，并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为G 函数 ① 对任意的x ［0, 1］，总有f (x) 0 ; ② 当 x ! 0 ,x 2 0 ,x 1 x 2 1 时，总有 f(m x 2) f (x 1) f (x 2)成立。已知函数g(x) x 2与h(x) a 2x 1是定义在［0, 1］上的函数。 (1) 试问函数g(x)是否为G 函数？并说明理由； (2) 若函数h(x)是G 函数，求实数a 的值； (3) 在(2)的条件下，讨论方程 g(2x 1) h(x) m (m 3、已知函数f(x) 2x 丄. 2 i x i (1)若f(x) 2，求x 的值； (2) 若 2t f(2t) mf(t) 0对于t ［2, 3］恒成立，求实数 R)解的个数情况。 4.设函数 f(x)是定义在R 上的偶函数.若当x 0时，f(x) m 的取值范围. 1 x 0; 0, 0. (1) (2) (3) (4) 求f (x)在( ,0)上的解析式. 请你作出函数f (x)的大致图像. 当0 a b 时，若f(a) f(b)，求ab 的取值范围. 若关于x 的方程f 2(x) bf (x) c 0有7个不同实数解，求 b,c 满足的条件. 5.已知函数f(x) a 菁(x 0)。 (1) 若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数b 的取值范围; (2) 当b 2时，若不等式f (x) x 在区间(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围; (3) 对于函数g(x)若存在区间［m, n ］(m n) ，使x ［m,n ］时，函数g(x)的值域也是［m, n ］，则称g(x)是［m,n ］上的闭函数。若函数 f(x)是某区间上的闭函数，试探求 a,b 应满 6、设f (x) ax 2 bx ，求满足下列条件的实数 a 的值：至少有一个正实数 b ，使函数f(x)的 7 .对于函数f (x)，若存在x 0 R ，使f(x 0) X 。成立，则称点(x% 为函数的不动点。

人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案

§2.4.1 反函数的概念及求法 [教学目的] 使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数. [重点难点] 反函数的定义和求法. [教学设想] 1.教法：讲授法； 2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论； 3.课时：1课时. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习：⑴函数的定义（近代定义和传统定义）； ⑵求下列函数的定义域和值域：①y=x2+1; ②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1). 答案：①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y ≠1/2. ⒉引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0；反过来，也可以由位移s和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0. 又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x∈R，值域y ∈R. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3. 这样，对于y在R 中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y∈R，值域是x∈R. 综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数y=2x+6得出了函数x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数.