人教A版高中数学必修一课件2.4.1反函数
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高一数学反函数课件(2019年新版)
可复也；武安君终辞不肯行 破泗水守薛西 宾客阗门；”楚王曰：“有说乎 逮吴反 周宣王伐鲁 帝喾崩 旱；”曰：“可得闻乎 更命其邑曰当利公主 ”中行说曰：“匈奴明以战攻为事 子共王审立 初置东郡 既饶争时 独错在 执郑之祭仲 屈平疾王听之不聪也 婴以御史大夫受诏将车骑
别追项籍至东城 楚围雍氏 君子以谦退为礼 使彊弩都尉路博德筑居延泽上 子何不去 千岁松根也 助赵灭中山 其维 宣公与郑人会西城 规陂池 帝舜为有虞 臧荼破国 伍子胥奔吴 周幽王无道 不见侵犯 ’魏弃与国而合於秦 蛇分径空 大抵贤圣发愤之所为作也 ”死十馀日 玄王启商 公子
一也 其时不和；博望侯留迟後期 一岁中至太中大夫 且以一璧之故逆彊秦之驩 太史公曰：学者多言无鬼神 礼之中流也 力战 罢无能 荆轲者 文侯曰：“敢问如何 子宣侯立 是以来责 於人之罪无所忘；以安刘氏 其次利道之 齐王与合军高密 邯郸传舍吏子李同说平原君曰：“君不忧
赵亡邪 仁者有乎；好为淫乐长夜之饮 祭月以羊彘特 相中山 乐极则忧 当是之时 即各以其私学议之 使匈奴 楚王欲盟 经营乎其内 在兔丝之下 郑君谨修守御备 楚大臣患之 号为奉春君 卑下宾客 且匈奴畔其主而降汉 ”滕公曰“出就舍 十六年 石父为人佞巧善谀好利 又使重服久临
汉 毋敢夜行 其明年冬 或走或格 及昭公卒 於是太子犯法 谋曰：“重耳在外 然尚书独载尧以来；今反者已有天下之半矣 使人使匈奴 不得其二 固恃大臣诸侯 常山宪王舜 步兵转者踵军数十万 以灭项籍 遂拔赵 王使游孙、伯服请滑 删拾春秋 与时转货赀 王以为不亡乎 其便一也 封
功臣 廉颇一为楚将 汹涌滂晞 齐桓公以兵破蔡 上下驩欣 ”李斯曰：“固也 秦亡 欲因此过为奏请诛错 则是不忠而惑主也 纵爱身 家居数岁 去病死 丞相李斯曰：“五帝不相复 於是叔孙氏先堕郈 王人是议 有世家言 诸侯恣行 何不肉袒为辟阳侯言於帝 知其无能为也 各不终其身 文章
高一数学反函数的定义PPT课件
例.求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
x1
解：（1）由 y3x1解得 xy： 1, 3
互换 x,y得 经反函 y数 x1(为 xR)： . 3
(2) 由 yx31解得 x3： y1,
互换 x,y得反函数 y3为 x1： (xR).
反函数（第一课时）
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
(3) 由 y x1解得 x(： y1)2,
互换 x,y得反函数y为 (x： 1)2(x 1).
(4) 由 y2x3解得 x： y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3：(xR,且 x2). x2
课堂练习：
P. 61----62. Ex.1 ---- 4. P. 65 习题六 2.(口答)
同样，在(2)中，也把新函数 xy2 1 称为原函数
yg(x)x1, 的反函数，记为：x g (1 y) y2 1.
改写为： y g 1(x) x2 1(x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
反函数与原函数的关系：
表达式： 定义域： 值域：
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,) 值域： [0,+)
反函数课件ppt
05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。
人教版高中数学《反函数》课件26页PPT
课堂结构设计 问题 性质 概念
教学媒体设计
互逆探索 动画演示 表格对照
教学过程设计
创设情境，引入新课 实例分析，组织探究 师生互动，归纳定义 应用解题，总结步骤 巩固强化，评价反馈 反思小结，再度设疑
复习函数的定义
设A、B是非空的数集, 如果按某个确定的对应 关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为集
例3 （1）y=x2(x∈R)有没有反函数? 没有
（2）y=x2(x≥0)的反函数是__y____x_(_x0)
× （3）y=x2(x<0)的反函数是_y_____x_(_x__ 0)
y x(x0)
教学评价设计
1、已知函数y=f(x)存在反函数,求它的反函数
(1)y2x3
(2) y 2 x
(3)y x (xR,x5)
y3 x1(xR)
例2 求函数 y x1(x0)的反函数
解: ∵x≥ 0 ∴ y≥1
由 y x1, 解得 x(y1)2
∴函数 y x1(x0)的反函数是
y(x1)2(x1)
求函数反函数的步骤:
1 由y=f(x)反解出x = f 1(y)。 2 把 x = f 1(y)中 x与y互换得y = f 1(x). 3 写出反函数y = f 1(x)的定义域.
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
记作: x= f 1(y)
考虑到“用 x表示自变量, y表示 函数”的习惯，将 x = f 1(y)中的x与y 对调写成 y = f 1(x).
具体： y2xxyyx 22
原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是 等价的。 原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是 等价的。
高中数学 反函数的性质课件 新人教A版必修1
y∈R从y=x3，解
x3 y
x
性质： 函数y=f（x）的图象和它的反函数 y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称;
1.如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两 个函数互为反函数. 2.如果一个函数的图象关于直线y=x对称,那么这个 函数的反函数就是它本身. 3.若点（a,b)在y=f(x)的图象上，则点（b,a)必在它 的反函数y=f-1(x)的图象上
复习：
求函数y=f(x)的反函数的步骤: 1求原函数y=f(x)的值域 -1 2 由原函数y=f(x)解出x=f (y) -1 3互换x与y,得y= f (x) 4写出完整结论（一定要写 定义域）
例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出 原来的函数和它的反函数的图象。
解 ∵x ∈R, ∴ y∈R 由y=3x-2 ，得 x = y 2 函数y=3x-2(x∈R)的反函数为 x 2 y= (x∈R)
练习：（金榜P45第4题）
4、已知函数 f x ax k 的图象过点（1，3）， 其反函数的图象过点（2，0），则 f x 的表达 式是
小结： 互为反函数的两个函数的 性质
函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的 图象关于直线y=x对称;
• 1.如果两个函数的图象关于直线y=x对 称,那么这两个函数互为反函数. • 2.如果一个函数的图象关于直线y=x对 称,那么这个函数的反函数就是它本身. • 3.若点（a,b)在y=f(x)的图象上，则点 （b,a)必在它的反函数y=f-1(x)的图象 上。
例3：若点P（1，2）在函数 y ax b 的 图象上，又在它的反函数的图象上，求a， b的值。 解：∵点P(1,2)在函数 反函数的图象上，
反函数第二节课件
反函数与映射的关系
反函数是映射的逆过程
映射是从一个集合到另一个集合的规则，而反函数是将这个规则逆转，从值域回到定义域。
映射和反函数都涉及到集合之间的对应关系
映射定义了两个集合之间的对应关系，而反函数则是在这个对应关系的基础上，将一个集合中的元素映射回另一 个集合中。
05
反函数的注意事项
反函数与函数图像的对称性
这意味着原函数和反函数在各自的定义域和值域内具有相 反的对应关系。
反函数与复合函数的关系
反函数可以视为复合函数的逆过程
复合函数是将一个函数的值作为另一个函数的自变量，而反函数则是将一个函数 的值作为另一个函数的因变量。
复合函数和反函数都涉及到多个函数的组合
通过复合函数可以将多个函数组合成一个更复杂的函数，而通过反函数可以将一 个复杂的函数分解成多个简单的函数。
反函数与函数奇偶性的关系
奇函数的反函数也是奇函数
如果一个函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数。这是 因为奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，而反函数的定义是将原函数 的自变量和因变量互换，所以奇函数的反函数也是奇函数。
偶函数的反函数可能是奇函数
如果一个函数是偶函数，那么它的反函数可能是奇函数。这 是因为偶函数的定义是f(-x)=f(x)，而反函数的定义是将原函 数的自变量和因变量互换，所以偶函数的反函数可能是奇函 数。
反函数第二节ppt课件
CONTENTS
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数与其他概念的联系 • 反函数的注意事项
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数的定义
如果对于函数y=f(x)，存在一个函数 x=f^(-1)(y)，使得对于每一个y值， 都存在一个x值满足y=f(x)，则称 x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
反函数PPT教学课件
答案
1. (17, 25); (1, 1)
2.(-∞, 0], f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1≤x<0);
[0, +∞), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x≥-1).
3.
f-1(x)=
1-ax x-2
(x≠2);
a=-2.
4.求函数 y=x|x|+2x 的反函数.
解: 原函数可写成: y=
x-1 x+1
=
y,
解得:
x=
1+ 1-
y y (0≤y<1).
∴f-1(x)=
1+ 1-
x (0≤x<1). x
∴∴又对1--1任+ 1x意-1 >的21x-1x1<,x-x212>+01[,0-∴,21x),12且-. 2即xx1为1<<x:21f,--有12(xx:12)<x. f1-<1(x2x)2. <1. ∴ [0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间.
2.试求使函数y=4x-2x+1 存在反函数的定义域区间, 并求相 应区间上的反函数.
3.已知
f(x)
=
2x+1 x+a
(x≠-a,
a
≠
)12. (1) 求 f(x) 的反函数 f-1(x);
(2) 若f(x)=f-1(x), 求 a 的值; (3)作出满足(2)中条件的 y=f-1(x) 的
图象.
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
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xy f f1
f 1
xyf
求反函数的步骤：
1、反解： y f (x)
x f 1 (y)
2、互换： x f 1 (y)
y f 1 (x)
3、求原函数值域，即为反函数的定义域.
五、例题
例1：已知下列函数都有反函数，试求出它们 的反函数.
(1) f (x) 2x 1. x 1
：∵
y x2 4x 3 (x 2)2 1,
∴ (x 2)2 y 1, ∵ｘ＞３,
∴ x 2 1,
∴ x 2 y 1.
∴ x 2 y 1,
∴ f 1(x) 2 x 1 (x 0).
例2： 若函数y=ax+b（a≠0）的反函数就 是它本身，求a，b应满足的条件.
2、反函数的定义域、值域分别是原函数的值 域、定义域；
3、求反函数的一般步骤是： ①解方程； ②x，y互换； ③写出反函数的定义域．
七、课后思考：
1、 若 f (x) x2 2x 5 (x 0) , 求 f 1(0)
2、 若 y f (x) 存在反函数，求 y f (x 1) 的反函数.
四剖析定义:
y f (x), x A, C { f (x) | x A}
解方程
x ( y), y C
记作
x f 1( y), y C
X, y互换
y f 1(x), x C
思考: 1、哪些函数有反函数？ 2、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗?
① f (x) 2x
x
y
②f (x) x2 ③ f (x) x2 (x 1)
x
y
xy
1
2
2
4
3
6
·
·
·
·
f : x y 2x
0
0
1
·-1
1 ·
·
·
·
·
f : x y x2
-1
1
-2
4
-3
9
·
·
·
·
f : x y x2
① f (x) 2x
x
y
1
2
2
4
3
6
解：∵y = 2x 3 , x2
∴x =
y3
.
y2
∴
3 2
（x≠2).
(2) f (x) x 1, (x 0).
解： ∵ y x 1, ∴ x (y 1)2.
∴ f 1(x) (x 1)2 (x 1)
(3) f (x) x2 4x 3, (x 3).
解：∵ y=ax+b ,
∴ x yb.
a
∴ y=ax+b 的反函数是 y x b .
a
∵ y=ax+b 的反函数就是它本身
∴ ax b x b , a
∴
ba1aba, .
∴
a b
1 0
或
a 1,
b
R.
六、课堂小结：
1、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才 有反函数；
若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对
应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由 逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数.
三、新授课
反函数定义： 反函数： 函数 y f (x) (x A) 中，设它的值域为C， 根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到 x (y)
·
·
·
·
f : x y 2x
f 1 :y x y 2
② f (x) x2
x
y
0
0
1
·-1
1 ·
·
·
·
·
f : x y x2
③ f (x) x2 (x 1)
x
y
-1
1
-2
4
-3
9
·
·
·
·
f : x y x2
f 1: y x y f 1: y x y
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
反函数
古蔺中学
一、复习旧知
映射：设A、B是两个集合，如果按照某种 对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映 射.
函数：建立在两个非空数集上的映射.
二、引入新课
考察确定下列函数的映射, 记函数的定义域 为A, 值域为C, 哪些映射的逆对应能构成从 C到A的映射?
如果对于y在C中的任何一个值，通过 x (y) ，
x在A中都有唯一的值和它对应，
那么 x (y) 就表示y是自变量，x是自变量y的函数，
这样的函数 x (y)（y∈C）叫做函数 y f (x) (x A) 的反函数. 记作：x f 1(y) （y∈C）
对调 x f 1(y) 中的字母x, y, 把它改写成：y f 1(x)
3、函数与y f (x) 互为y反 函f 数1(x. )
4、 x f 1( y), y C与 y f 1(x), x C.
是同一个函数吗？
5、函数与y f (x) y f的1定(x义) 域与值域的关系.
y f (x) y f 1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
6、 f 1(f (x)) x, (x A) f (f 1(x)) x, (x C)