反函数练习附答案
反函数练习附答案
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数 的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与 互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即 ，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
反函数基础练习含标准答案
反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪-- (三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜1 00g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443 比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x (x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
反函数(练习+详细答案)
提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x .答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y ＝2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴x x f --=-)(1(x ＜0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］ 解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2＝4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2＝4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y ＝f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y ＝f(x)图象自身关于y ＝x 对称,故区间M 可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a ＜1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)＜1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x ＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,∴函数y ＝g(x)与函数y ＝f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x ＝f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)＝x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y ＝x 对称,则a ＝_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y ＝x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a ＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f -1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为［31-,35］,值域为［-1,1］.答案:［31-,35］ ［-1,1］ 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y ＝f(x)有反函数,则函数y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y ＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f(x+1)+2,函数y ＝f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f -1(x+1)+2,又y ＝f(x)与y ＝f -1(x)关于y ＝x 对称,y ＝x 沿向量(-1,2)平移得到y ＝x+3,∴y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2关于y ＝x+3对称.答案:y ＝x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)＝f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y ＝x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)＝f -1(-x)＝11+-x x . 16.已知函数f(x)＝2(1121+-x a )(a ＞0且a≠1). (1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性；(3)解不等式f -1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1＜x ＜1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a ＞1时， 原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，11+-a a ). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y ＝g(x)的反函数为y ＝g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)＝___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x ＜1,解得x ＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g -1(-4)＝-1.∴g(-1)·g -1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a 为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y ＝f -1(x+a),则x ＝f(y)-a,即y ＝f -1(x+a)的反函数为y ＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a. 令x ＝a,得f(2a)＝f(a)-a ＝a-a ＝0.答案:0。
高一求反函数试题及答案
高一求反函数试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = 2x + 3 \)，求该函数的反函数。
答案：首先，我们设 \( y = 2x + 3 \)，然后解出 \( x \) 以求得反函数。
将 \( y \) 代入得 \( x = \frac{y - 3}{2} \)。
因此，函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数为 \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)。
2. 给定函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，求该函数的反函数。
答案：对于函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \)，我们设 \( y =\sqrt{x - 1} \)，然后平方两边得到 \( y^2 = x - 1 \)。
解出\( x \) 得到 \( x = y^2 + 1 \)。
因此，函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) 的反函数为 \( g^{-1}(x) = x^2 + 1 \)。
3. 函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数是什么？答案：对于函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \)，我们设 \( y =\log_2(x + 1) \)，然后利用指数和对数的关系，得到 \( 2^y = x + 1 \)。
解出 \( x \) 得到 \( x = 2^y - 1 \)。
因此，函数 \( h(x) = \log_2(x + 1) \) 的反函数为 \( h^{-1}(x) = 2^x - 1 \)。
4. 求函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上的反函数。
答案：对于函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，我们设 \( y =\frac{1}{x} \)，然后解出 \( x \) 得到 \( x = \frac{1}{y} \)。
数学分析23.3反函数定理和隐函数定理(含习题及参考答案)
第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。
反函数题型及解析
反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。
反函数练习（含详细解析）
反函数练习（含详细解析）反函数练习一．填空题1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）=3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为．7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=．8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．9．函数的反函数是．10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点．13．函数（x≤0）的反函数是．14．已知函数，则=．15．函数的反函数为f﹣1（x）=．16．函数的反函数的值域是．17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=．19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．参考答案一．填空题（共20小题）1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1；7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣；。
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:∵f(x)＝(1)+2,∴解析151xf2(x)41ax.＝,则若函数a的图象关于直线y＝x对称12.)(ay55x41ax4的图象上取在f(x),:∵,∴且存在反函数.不是常函数解析ya545x11a,可解得也在函数,0)f(x)的图象上的对称点一点(0,它关于),y＝x(55-5.
＝1(x),,值域为［-3,3］其反函数为,-1,1f(x)13.已知函数的定义域为［］1.
教案审核：6 / 6
＝yx对称g(x)的图象与函数y＝(1)的图象关于直线解析:∵函数y＝1.
(1)互为反函数y＝g(x)与函数y＝∴函数71即x＝f(11)+1.∵,∴得由g(11)(1)＝11,∴1＝f(11),f(11)512答案.(11)g5二、填空题13254. (x)＝＝x-5x+10x-10x+51,则f(x)的反函数为11.设f(x)5.
C.4 B.1 2
D.10
13于是则有3＝y,可得(x)＝3.2解析:设y＝,2211答案6＝-2.(m)(n)＝m6＝22211( )
(x),则≤(0x＜1)的反函数为设函数5.)f(xx111在其定义域上是减函数(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 (x)0
且最小值为11在其定义域上是增函数(x)(x)在其定义域上是减函数且最大值为1
0且最小值为1［1∞),因此其且值域是得该函数是增函数,≤解析:由(0x＜1),)f(xx110.答案(x)在其定义域上是增函数,且最小值是反函数,0,x2x( C )
函数的反函数是6.y20xx,
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xx0x2x,2x,x00xx0,,C. D.A. B.22yyyy0x,x,xx00x,x0xx,x；(x≥2x,且y≥0,∴0)当解析:x≥0时＝1(fx)220).
班级：一对一
高一数+科目：所授年级学
授课教师：
：第课次次
学生：
上课时间：
教学目标
理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题．
学重难教点
反函数的求法，反函数与原பைடு நூலகம்数的关系．
反函数——快速练习
一、选择题( )的实根的个数为为常数),则方程f(x)＝a(a1.若y＝f(x)有反函数只有一B.A.无实数根个实数根至少有D.C.至多有一个实数根一个实数根,a可能不在值域内y是“一对一”的.但,解析＝f(x)存在反函数则x与.答案因此至多有一个实根11x1( )
的图象关于直线对称f(1)+2,
平移得到函数y＝y＝f(x)沿向量(-1,2)解析:函数11(1)+2,
＝(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y函数y＝13,＝(-1,2)平移得到yy与y＝(x)关于＝x对称＝x沿向量又y＝f(x)13 .答案＝f(1)+2与y＝(1)+2关于y＝3对称∴y＝三、解答题1x1g(x).
是C.(0∞) B.(2∞) A.(0,2)
D.((2)∞)C.
故选＝0.,上是减函数所以x＞f(1)解析(x)在(0,2)1个2y＝f(23)的图象向左平移＝9.设函数为y＝f(x)的反函数为y(x),将( )轴的对称图形所对应的函数的反函数是,再作关于x单位11)fx(f1x()11()xx)f(1fB.A. D. C.yyyy2222
(-4)＝∴14.
-1)＝-4×(＝∴g(-1)·(-4)11互为反f()上的函数R,它的反函数为(x).若()与已知18.f(x)是定义在.
为非零常数),则＝f(2a)a(a函数且f(a)＝11f(x). y()＝的反函数为＝f(x),∴f()＝yf(y),x(),y:解析设＝则＝即0.
a,x令＝得＝＝f(a)f(2a)＝
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］＝2(2)-3最后得到的图形对应的函数可以表示为y＝［解析:由题意知,11fy)(1是数反函函故所求数的,(21),即＝f(21),21＝(),x211fx)(答案.y2,1x2x1,1的图象＝(1)＝g(x)的图象与函数10.已知函数yy若函数x)(f3x,1,x1x( )
g(11)的值是,＝x对称则关于直线y131213C. B. A.55915D.111,
(32)则的定义域为,值域为
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所以其反函数］,,值域为［-3,3解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］11x≤≤3,解得-1,1］.所以由-3≤32(x)的定义域为［-3,3］,值域为［35.
≤355111［-1,1:［,］的定义域为［］,］,值域为［-1,1］.答案故函数(32)33331(1)+2与y＝有反函数,则函数y＝f(1)+214.定义在R上的函数y＝f(x).
(),求(x)15.已知函数＝(x)f1x1y1xx11x1.
,得＝1,∴,即解:由＝，∴g(x)＝()1xy(xf)1y1x1x1x11且＝2(a≠1).)(a＞016.已知函数f(x)x21a11解不等式(3)判定(x)的奇偶性；(x);(2)y＝f(x)的反函数y＝(1)求函数11.
＞(x)xx1a1ay1y1化简，得(1)解:,.设则.∴.
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x11a,a,1xx或1ax1.∴＜0＜a1-1＜x时，原不等式＜解得当a1x1a1,0.1x1x11a时，所求＜1当＞1时，所求不等式的解集为(0＜a,1);综上，当a1a1a).
，不等式的解集为(-11a,01,x12则＝(x),17.设函数(1)f(1)＝g(x)的反函数为yg(x)若＝,x0f(x)0,,0,x11.＝g(-1)·(-4)2,1,xx1)(,1x1,2＝(1)f(1)解析:由题意得∴g(x)＝,10,x,1,xf(x1)0.11,x2.,x1(x1)2，-4-1)＝，∴g(1,解得x＝-1且设g(x)＝-4,可得-(1)＝-4x＜1-1.
的值为＝2,则()若设函数2.y＝f(x)的反函数y＝(x),f(x)21C. A. B.1221
111xD.
故选-1,2＝,则x＝故()＝-1,＝令解析:f(x)22则对称＝的图象关于直线yx,f(1)y3.若函数＝的图象与函数1lnyx
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( )
等于f(x)2221212x
,x对称y＝的图象关于直线f(1)的图象与函数＝解析:由函数ylnx1y有互为反函数＝可知yf(1)与,1yex1ylnx1xylnx1yln2x222222.答案f(x)＝e＝f(1)＝e.故＝x＝e,所以yey1311的值为(n)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则(m)4.已知函数f(x)＝2(x)( )
xy)f(xlogxaaxxy1y11a1ax1∴所求反函数为＜1). (-1＜x1fy(x)logax1x1x11x1(2)∵(x)是奇函数.
,∴111)logf)(x((logx)flogaaax11x1xx1.
(3)1logax11aa(1x1a)x11.
.∴时，原不等式＞当a1x＜＜0a1ax1x1