反函数的存在性及求法
反函数
反函数知识精要： 1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1f y -。
在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈ 2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M（a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y f x -=图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=； （5）y=f(x)与()1y f x -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f [()1f x -]=x ()x A ∈, ()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x f y -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
反函数课件ppt
05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。
反函数课件
利用微分方程研究反函数的性质
反函数的单调性
通过微分方程，我们可以研究反 函数的单调性。例如，如果一个 函数f(x)是单调递增的，那么它 的反函数g(x)也是单调递增的。
反函数的极值
利用微分方程，我们可以找出反 函数的极值点，并研究这些极值
点的性质。
反函数的曲线形状
通过求解微分方程，我们可以描 绘出反函数的曲线形状，进而研
02
利用对数函数性质，通过原函数 中的x和y互换位置，得到反函数
利用反函数的性质求反函数
原函数和反函数具有 相同的单调性
原函数和反函数具有 相同的值域和定义域
原函数和反函数具有 相同的奇偶性
反函数的应用
03
在解方程中的应用
01
定义域和值域的求解
在求解方程时，通过反函数可以方便地求出定义域和值 域，从而解决方程的求解问题。
最优化问题
利用反函数，可以求解一 些最优化问题，如最小成 本、最大利润等。
在实际问题中的应用
交通流量问题
通过反函数，可以求解交通流量 问题，如最短路径、最少时间等
。
人口流动问题
利用反函数，可以求解人口流动问 题，如最多人口、最少人口等。
经济问题
通过反函数，可以求解一些经济问 题，如最大利润、最小成本等。
04 反函数与导数的关系
导数与反函数的关系
导数表示函数在某一点的斜率，而反函数则表示函数在某一区间内的单 调性。导数可以用来研究函数的局部性质，而反函数则可以用来研究函 数的整体性质。
导数的存在意味着函数在某一点处具有切线，而反函数的定义域是原函 数的值域，因此反函数在某一点的导数可能不存在。
对于单调函数，其导数和反函数的导数互为相反数。
反函数的性质及其应用
反函数的性质及其应用反函数的定义一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。
反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
反函数的性质函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射等。
反函数性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射的。
反函数和原函数之间的关系1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。
4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。
5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x 对称出现。
函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，为了更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。
性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。
例1. 函数的反函数是（）。
A. B.C. D.解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。
由函数解析式可知当时，；时。
由性质1，可知原函数的反函数在时，，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。
例2. 若函数为函数的反函数，则的值域为__________。
解析：常规方法是先求出的反函数，再求得的值域为。
反函数的求解与性质
反函数的求解与性质反函数在高等数学中扮演着极其重要的角色，因为它们可以在不断变化的数学模型中帮助我们寻找相关的解决方案。
正如函数一样，反函数也具有一些关键的性质和求解方法。
一、反函数的定义和求解反函数是指，如果有一个函数f(x)，则其反函数f^(-1)(y)是指，当y等于f(x)时，x等于多少。
因此，反函数可以用来解决一系列方程。
如果一个函数是单调增加（或单调减少）的，则它有一个唯一的反函数。
如果一个函数是不连续的，则它不会有反函数。
我们可以通过对原函数求导并解决方程组来找到反函数的表达式。
例如，设f(x)=2x-3，则其反函数是f^(-1)(y)=(y+3)/2。
因为当y=2x-3时，x等于 (y+3)/2。
二、反函数的性质反函数有很多重要的性质，其中一些是：1.反函数是一个映射，即每个输入y只会对应一个输出x。
2.反函数的图像是原函数的图像关于y=x对称的结果。
这意味着，如果我们将反函数的图像旋转45度，那么它将变成原函数的图像。
3.反函数的导数可以使用原函数的导数来计算。
具体而言，如果y=f(x)，则f^(-1)'(y)=1/f'(x)，反之亦然。
这是一个非常有用的性质，因为它允许我们在不求反函数的情况下计算其导数。
三、应用举例反函数在微积分和统计学等领域中扮演着重要的角色。
在微积分中，反函数通常用于计算一个函数在某个点的导数。
例如，如果我们知道函数的反函数，那么我们可以使用上面提到的性质来计算它的导数。
这对于解决诸如相关变量之间的变化率、极值、曲线凹凸性等问题非常有用。
在统计学中，反函数常常用于计算概率和分布。
例如，知道某个随机变量的累积分布函数，我们可以使用反函数来计算其概率密度函数。
这在概率统计中非常常见，例如在计算正态分布的概率时，我们通常需要借助反函数来计算相关的解。
总结反函数是一个在数学中经常使用的概念，其定义、性质和求解方法都极其有用。
没有反函数，我们将难以应对复杂的数学问题。
反函数
例2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可 能是 ( B )
y
1 -1
y
1
y
1
y
1
o
x
o
-1
x
o
1
x
o
-1
x
(A)
(B)
(C)
(D)
例3 求下列函数的反函数:
2+ x (1) y= (0≤x<1); 3- x
(2) y=x|x-2|+4x.
3 (1) y =( 3x-2 )2( 2 ≤x< ). 3 2 x+1 (2) y = x+1 -1 (x≥8), 3- 9-x (x<8).
一、定义
设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解 得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y). x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.
例4 解答下列关于反函数的问题: 3x+2 (1)已知函数 f(x) = x+a 的图像关于直线 y=x 对称, 求实数 a 的值; (2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.
x 2 -1( 1 ) 的值. 例5 已知 f(x)= , x ∈ R, 求 f 3 1+2x
答案
4.(1)a=-3; (2)( 5-1 , 2 5. f-1( 1 3 )= -1. 5-1 ); (1, 0); (0, 1). 2
原函数求反函数的公式
原函数求反函数的公式设原函数为y=f(x)，反函数为x=f^(-1)(y)。
反函数的定义是：对于原函数f(x)的任意y值，若存在x=f^(-1)(y)，则该x是原函数的唯一解。
求反函数的公式有以下几种方法：1.利用函数的图像求反函数：当原函数存在反函数时，可以通过观察函数的图像来推导反函数的公式。
a)首先，绘制原函数f(x)的图像。
b)根据反函数的定义，我们需要将f(x)的y值和x值互换，即将原来的x轴作为新的y轴，原来的y轴作为新的x轴。
c)新的函数图像就是反函数的图像，反函数的公式就是新的函数图像所表示的方程。
2.利用函数的性质求反函数：a)利用原函数的定义，将y=f(x)转化为x=f^(-1)(y)，然后将x和y互换位置，得到y=f^(-1)(x)。
b)对于求反函数的公式中的每个x，我们可以通过解方程得到对应的y值，从而得到反函数的公式。
3.利用函数的导数求反函数：a)对原函数f(x)进行求导，得到f'(x)。
b)求导的结果f'(x)表示的是函数f(x)的斜率，反函数f^(-1)(x)的斜率等于原函数f(x)的斜率的倒数。
c)通过方程y=f^(-1)(x)求导，得到y'=f'(f^(-1)(x))=1/f'(x)。
d)根据求导的结果，可以得到反函数的导数，然后通过积分求解，进而得到反函数的公式。
4.利用函数的级数展开求反函数：如果原函数f(x)可以展开成幂级数形式，例如泰勒级数展开，那么可以通过交换x和y的位置，将级数展开式用y表示，从而得到反函数的级数展开。
这些方法适用于不同类型的函数，具体的选择取决于原函数的性质和求反函数的难度。
有些函数可能无法用解析式表示反函数，只能通过数值计算或近似计算得到反函数的值。
需要注意的是，不是所有的函数都存在反函数。
为了确定原函数是否存在反函数，需要进行函数的一一映射检测和可逆性检测。
一一映射指的是不同的x对应不同的y值，可逆性指的是对应于每个y值，都存在唯一的x值。
反函数第二节课件
反函数与映射的关系
反函数是映射的逆过程
映射是从一个集合到另一个集合的规则，而反函数是将这个规则逆转，从值域回到定义域。
映射和反函数都涉及到集合之间的对应关系
映射定义了两个集合之间的对应关系，而反函数则是在这个对应关系的基础上，将一个集合中的元素映射回另一 个集合中。
05
反函数的注意事项
反函数与函数图像的对称性
这意味着原函数和反函数在各自的定义域和值域内具有相 反的对应关系。
反函数与复合函数的关系
反函数可以视为复合函数的逆过程
复合函数是将一个函数的值作为另一个函数的自变量，而反函数则是将一个函数 的值作为另一个函数的因变量。
复合函数和反函数都涉及到多个函数的组合
通过复合函数可以将多个函数组合成一个更复杂的函数，而通过反函数可以将一 个复杂的函数分解成多个简单的函数。
反函数与函数奇偶性的关系
奇函数的反函数也是奇函数
如果一个函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数。这是 因为奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，而反函数的定义是将原函数 的自变量和因变量互换，所以奇函数的反函数也是奇函数。
偶函数的反函数可能是奇函数
如果一个函数是偶函数，那么它的反函数可能是奇函数。这 是因为偶函数的定义是f(-x)=f(x)，而反函数的定义是将原函 数的自变量和因变量互换，所以偶函数的反函数可能是奇函 数。
反函数第二节ppt课件
CONTENTS
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数与其他概念的联系 • 反函数的注意事项
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数的定义
如果对于函数y=f(x)，存在一个函数 x=f^(-1)(y)，使得对于每一个y值， 都存在一个x值满足y=f(x)，则称 x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
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性质2如果一个函数存在反函数,则原函数与其反函数在各自定义域内具有相同的单调性.
设函数 的定义域为 ,值域为 ,且 为 上的单调增函数,其反函数为 ,求证: 为 上的增函数.
证明取任意 且 ,因为 为增函数,所以 ,即在 上有 使得 .由反函数的定义1得 因为 所以 .综上所述,当 时有 ,故 是 上的增函数.同理可证减函数的情况.
由定理2再判断 是否存在反函数, ,因为 ,所以 ,根据定理2 存在反函数.
定理3函数 存在反函数的充要条件是函数 的映射是一一映射.
这条定理可直接由反函数的定义2得出,这种一一映射的关系可以在函数图像上反映出来.
推论2函数 存在反函数的充要条件是直线 与函数 的图像最多有一个交点.
注5对于推论的理解,可以设 的值域为 ,则当 时, （ 为常数）与 有且仅有一个交点；当 时, 与 没有交点.这条推论的应用可实现数形结合,大量减少代数运算.
（3）对调将 中的 和 直接对调,得到 .再根据步骤(1)的求解,注明其定义域即可.
以上步骤对于求解一次函数、特殊定义域上的二次函数、指数型函数、对数型函数及简单的无理函数、分数函数等的反函数都行之有效,便于掌握,是很基础也很重要的方法.
例题8求下列函数的反函数.
（1） ; （2） ; （3） .
解（1）容易得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 , ,即 ,将 和 直接对调得 的反函数为 .
例题2（2008·高考天津（理））设函数 的反函数为 ,则（ ）.
A. 在其定义域上是增函数,且最大值为1.
B. 在其定义域上是减函数,且最小值为0.
C. 在其定义域上是减函数,且最大值为1.
D. 在其定义域上是增函数,且最小值为0.
解函数 为增函数,由性质2得 也为增函数；由互为反函数的的两个函数的定义域和值域互换, 的定义域为[0,1）,可得 的值域为[0,1）,故 的最小值为0,答案为 .
结论2互为反函数的函数不是增函数,若两函数图像有交点,则交点以直线 为对称轴成对出现；求交点坐标时应解方程组 ,以防漏解.
例题3已知函数 与其反函数的图像没有公共交点,求实数 的取值范围.
解首先容易看出 为其定义域上的增函数,则根据结论1, 与 同解,题目可化为方程 无解,求实数 的取值范围.化简方程得 ,令 解出 .
例题7判断双曲余弦函数 和双曲余切函数 在其定义
域上是否存在反函数.
解双曲余弦函数和双曲余切函数都是初等函数,画出它们的图像分别为:
当 时,直线 与 有两个交点,根据定理3推论双曲余弦函数在定义域 上不存在反函数.对于 ,当 时, 与 没有交点,当 时, 与 有且仅有一个交点,根据定理3推论,双曲余切函数在定义域 上存在反函数.
1.2.3反函数的连续性与可微性
性质 连续函数的反函数也是连续函数.
性质 如果函数 在某区间 上连续、可导且 ,并且存在反函数,那么它的反函数 在对应的区间 内也可导,且有 ,即反函数的导数等于原函数导数的倒数.
证明详细参见参考文献[3].
2 反函数存在性的判定
2.1 反函数存在性判定（一）
并非所有函数都有反函数,对于函数的反函数的存在性的判定,有以下结论:
AbstractTheinverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions.
定理 若函数 的周期为 ,且 在 上存在反函数 ,则其在 上的反函数为 .
证明若 ,则有 ,因为 为周期函数,故 ,由反函数的定义1, ,即 ,将 和 对调得 在 上的反函数为 .
三角函数作为周期函数的一个特例,在数学中的学习中占据极其重要的地位,下面具体介绍三角函数的反函数.
性质4互为反函数的两个函数图像关于直线 对称.
注3（1）理解性质4时应注意,这里的反函数是指经过习惯性改写后的反函数,
即把 , 对调后的反函数；如果不经对调,则原函数 与其反函数 的图像在同一坐标系内是相同的.
（2）一般情况下,原函数与其反函数的解析式是不同的,但也有一些函数外,
即对定义域内的任意 ,都有 ,这样的函数称为自反函数,显然,自反
（2）因为 ,得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 , ,即 ,将 和 直接对调得 的反函数为 .
（3）因为 ,得到此函数的值域为 ,因为 ,所以 ,由于 ,故 ,所.
3.2 几类特殊函数的反函数的求解
3.2.1周期函数的反函数
一般来说,根据函数的反函数存在性判定定理3,由于周期函数的映射不是一一映射,所以在整个定义域上,周期函数是不存在反函数的,但是,将周期函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数,又由于其周期性,在相关定义域的子集上,其反函数是有一定规律的.
性质3存在反函数的奇函数其反函数仍为奇函数；而偶函数一般不存在反函数,除 外,它的反函数为 .
注2对于偶函数一般不存在反函数的描述和反函数的定义2是吻合的,周期函数和一般偶函数都是一个 值对应多个 值,所以这些函数在其定义域上没有反函数,但是,将函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数.
1.2.2关于反函数图像的性质
定义 对于函数 或者 ,若任意 ,有 （或 ）,那么就出现下述情况:对于集合 中的每个数 ,集合 中有且仅有一个数 ,使得 .如果就让这个数 与 相对应,便立刻得到一个定义在 上的新函数,称为 的的反函数,记作: 或者 .
1.2 反函数的性质
1.2.1反函数的简单性质
由定义1和定义2易得,若函数 存在反函数,则其反函数是唯一的；反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；函数 和 互为反函数.除此之外,函数的反函数还有以下性质:
函数的定义域和值域相等,原函数与反函数图像重合.例如 等函数都是自反函数.
（3）由此性质引出了互为反函数的两个函数图像交点问题,各种情况分类如下:
1)两图像没有交点.例如指数函数 和它的反函数,即对数函数 就没有交点.
2)两图像的交点只在直线 上.例如函数 和它的反函数 图像有两个交点 都在 上.
3)两图像的交点都不在直线 上.例如 和它的反函数 的图像重合,有无数个交点,但交点都不在直线 上.
定理 严格单调函数必存在反函数.
证明设 在数集 上有定义,值域为 ,且 为 上的严格增（减）函数,由函数的定义得: 使得 成立.取 且 ,因为 为 上的严格增（减）函数,所以 即当 时,有 ,这就证明了严格单
调函数必存在反函数.
注4这条定理是充分不必要的,即存在反函数的函数不一定是严格单调的,非
严格单调的函数也可能存在反函数,例如 在整个定义域上不是严格单调的,但它有反函数,且它为自反函数.
Key wordsInverse function Periodic functionExistence theorem of inverse function
引言 函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论.
4)两图像的交点有的在直线 上,有的在直线 外.例如函数 和它的反函数 就有三个交点,一个在直线 上,两个不在其上.由几何画板给出他们的图像如下:
可以清晰地看到三个交点.
总结以上情况,可以归纳出以下两条结论:
结论1互为反函数的增函数,若两函数图像有交点,则交点定在直线 上；求交点坐标可解方程组 或 .
例题4解方程 .
分析若用传统方法将方程化为 ,解这个高次方程将十分困难.此时,我们发现令 ,则 的反函数为 ,上述方程就是求这两个函数图像的交点横坐标,由于两函数为增函数,则可化为 ,解这个方程得 ,因为 ,故 即是原方程 的解.
例题5求 与其反函数的交点坐标.
解首先, 在其定义域上为减函数,故不能用结论1.根据反函数的定义1反解出 ,联立方程 ,解得 ,交点坐标为（0,0）,（1,-1）,（-1,1）.
关键词反函数 周期函数 反函数存在性定理
The Existence and Solution of Inverse Function of Functions
Student majoring inMathematics and applied mathematics Xue Yun
Tutor Wu Xiumei
函数的反函数的存在性及其求法
数学与应用数学专业薛云
指导老师武秀美
摘要反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法.