反函数常用知识点总结

反函数

定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。（不求过深理解）

引申

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

注意：上标"?1"指的并不是幂。

在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

性质

（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；

图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）；

（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））；

（9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。

（10）y=x的反函数是它本身。

说明

⑴在函数x=f -1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f -1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数；若函数y=f(x)有反函数y=f -1(x)，那么函数y=f -1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数。

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。

⑷从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f -1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f -1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域（如下表）：

函数：y=f(x)；

反函数：y=f -1(x)；

定义域：A 、C；

值域：C、A；

上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f -1所确定的函数y=f -1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别对应原函数y=f(x)的值域、定义域。开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f -1(t)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f -1(x)=x/2-3。

有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。

例题

求y=(x-2)/(2x-1)的反函数

解：去分母得2xy-y=x-2

移项合并含有x项得x(2y-1)=y-2

x=(y-2)/(2y-1)

即 f -1(x)=(x-2)/(2x-1)