指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一）指数与指数函数
1.根式
（1）根式的概念
（２)．两个重要公式
①⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ;
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n m n
a
a a m n N n *=>∈>、且;
②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n
m n
m
n
a
a m n N n a a
-
*=
=
>∈>、且
③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义．
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ
=a r+ｓ
（ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ
ｘ
a>1 0<a ＜1
n 为奇数 n 为偶数
图象
定义域R
值域(０，+∞)
性质(１)过定点（0，1)
（2)当ｘ＞0时，y>1;
x<０时，0<y<1
（2)当x>0时，０<y<1;
x<0时, ｙ＞1
(3)在(-∞，+∞）上是增函数（３）在（－∞,+∞)上是减函数
注:如图所示,是指数函数(1）y＝a x,（2)y=ｂx,(3),y＝c x（4)，y＝d x的图象，如何确定底数a，ｂ,c，d与１之间的大小关系？
提示:在图中作直线ｘ=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1＞1>a1>b1,∴ｃ>d>１>a>ｂ。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二)对数与对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义
如果(01)
x
a N a a
=>≠
且，那么数x叫做以a为底，N的对数,记作log N
a
x=，其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

(2
对数形式特点记法
一般对数
底数为a0,1
a a
>≠
且log N
a
常用对数底数为1０
lg N
自然对数底数为e ln N
2
(1)对数的性质(0,1
a a
>≠
且）：①1
log0
a
=，②log1
a
a
=,③log N a
a N
=,④log N a
a
N
=。

（2）对数的重要公式：
①换底公式:
log
log(,
1,0)
log
N
N a
b b
a
a b N
=>
均为大于零且不等于;
②
1
log
log
b
a a
b
=。

（3）对数的运算法则：
如果0,1
a a
>≠
且，0,0
M N
>>那么
①N
M
MN
a
a
a
log
log
)
(
log+
=;
②N
M
N
M
a
a
a
log
log
log-
=；
③)
(
log
log R
n
M
n
M
a
n
a
∈
=；
④b
m
n
b
a
n
a m
log
log=。

图
象
1
a>01
a
<<
性
质
(１）定义域：（０,+∞)
（2)值域:R
(3)当x=1时,y=0即过定点（1，0)
（4)当01
x
<<时，(,0)
y∈-∞;
当1
x>时,(0,)
y∈+∞
(4)当1
x>时,(,0)
y∈-∞；
当01
x
<<时，(0,)
y∈+∞（5）在(0,+∞)上为增函数(5）在(0,+∞)上为减函数注:确定图中各函数的底数a,b，ｃ，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0＜c<ｄ＜1<a<b.
4、反函数
指数函数ｙ＝a x 与对数函数ｙ=ｌｏg ａx 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

(三)幂函数
1、幂函数的定义
形如y=x α
(ａ∈Ｒ)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。

２、幂函数的图象
注:在上图第一象限中如何确定ｙ=ｘ3,y=x 2,y=x,12
y x =，ｙ＝x －
1方法：可画出ｘ=x ０；
当x ０>１时，按交点的高低,从高到低依次为y ＝ｘ3，ｙ=ｘ2， y=x ，12
y x =， y=x －
1；
当0<x ０<1时，按交点的高低,从高到低依次为ｙ=ｘ-1，12
y x = ，y=ｘ， y=x 2,y=x ３。

y ＝x y ＝x 2
y=x 3
12
y x =
y ＝ｘ-１
定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且
值域 R [0,+∞) R [0，+∞) {}|0y y R y ∈≠且
奇偶性 奇 偶
奇 非奇非偶 奇
单调性
增
ｘ∈[0，+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时，减
增
增
ｘ∈（0，＋∞）时，减;
ｘ∈(-∞,0)时,减
定点 （1，1）。