等差数列知识点及习题

第06课 等差数列
1. 等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
2. 等差中项：
由三个数b A a ，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列. 这时，A 叫做b a 与的等差中项.
3. 等差数列的通项公式：
一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：
()d n a a n 11-+=
4. 等差数列的性质：
（1）通项公式的推广：()d m n a a m n -+= ()
*N m n ∈，. （2）若{}n a 为等差数列，且n m l k +=+ ()
*N m n l k ∈，，，，则n m l k a a a a +=+.
（3）若{}n a 为等差数列，公差为d ，则{}n a 2也是等差数列，公差为d 2.
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n qb pa +是等差数列.
（5）若{}n a 为等差数列，则()
*2N m k a a a m k m k k ∈⋅⋅⋅++，，，，组成公差为md 的等差数列.
5.
例1. 下列说法，正确的是___________
（1）若{}n a 为等差数列，则{}
n a 2也为等差数列； （2）若{}n a 为等差数列，则{}1++n n a a 为等差数列；
（3）若正数数列{}n a 满足()5312252-=-n n a n ，则数列{}n a 是等差数列；
（4）若数列{}n a 的通项公式为n n a n +=2，则数列{}n a 为等差数列.
例2. 等差数列{}n a 中，13573==a a ，，求其通项公式.
例3. 已知单调递增的等差数列{}n a 的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的
通项公式.
例4. 等差数列{a n }中, 3(a 3+a 5) +2(a 7+a 10+a 13) =24, 则a 4+a 10等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 12
例5. 在数列{a n }中, a 1=2, a n+1=a n +2n +1.
(1) 求证: 数列{a n -2n }为等差数列;
(2) 设数列{b n }满足b n =2log 2(a n +1-n), 求{b n }的通项公式.
【课堂训练】
1. 在等差数列{a n }中, a 2=2, a 3=4, 则a 10=( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
2. 等差数列{a n }的首项为70, 公差为-9, 则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A. a 8
B. a 9
C. a 10
D. a 11
3. 在数列{a n }中, a 1=15, 3a n+1=3a n -2, 则该数列中相邻两项乘积为负值的项是(
) A. a 21和a 22 B. a 22和a 23
C. a 23和a 24
D. a 24和a 25
4. 等差数列{a n }中, a 5+a 6=4, 则()1021222log 2a a a
⋅⋅⋅⋅=( )
A. 10
B. 20
C. 40
D. 2+log 25
5. 等差数列{a n }中, a 1+a 5=10, a 4=7, 则数列{a n }的公差为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知{a n }为等差数列, a 1+a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99, 则a 20等于( )
A. -1
B. 1
C. 3
D. 7
7. 如果一个数列的前3项分别是1, 2, 3, 下列结论中正确的是( )
A. 它一定是等差数列
B. 它一定是递增数列
C. 通项公式是a n =n
D. 以上结论都不一定对
8. 一个首项为23, 公差为整数的等差数列中, 前6项均为正数, 从第7项起为负数, 则公差d 为( )
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
9. 设数列{a n }, {b n }都是等差数列, 且a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=100, 那么数列{a n +b n }的第37项为( )
A. 0
B. 37
C. 100
D. -37
10. 已知递减的等差数列{a n }满足9212a a =, 则a 5=( )
A. -1
B. 0
C. -1或0
D. 4或5
11. 在等差数列{a n }中, 首项a 1=0, 公差d≠0, 若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7, 则k=( )
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
12. n
n n a a a 311+=+, a 1=2, 则a 4为( ) A.
78 B. 58 C. 516 D. 19
2
13. 设数列{a n }是公差不为零的等差数列, 且a 20=22, |a 11|=|a 51|, 则a n = .
14. 在等差数列{}n a 中，已知9852=++a a a ，21753-=a a a ，求数列的通项公式.
15. 已知数列{log 2(a n -1) }(n ∈N *) 为等差数列, 且a 1=3, a 3=9, 求数列{a n }的通项公式.
16. 已知等差数列{a n }中, a 1=a, 公差d=1, 若b n =122+-n n a a
(n ∈N *), 试判断数列{b n }
是否为等差数列, 并证明你的结论.
【强化训练】
1. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n+1-a n =a n+1a n , 那么a 31等于( ) A. 583-
B. 592-
C. 301-
D. 60
2-
2. 已知数列{a n }中, a 3=2, a 5=1, 若⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+n a 11是等差数列, 则a 11等于( ) A. 0 B.
61 C. 31 D. 2
1 3. 若lg 2, lg(2x -1), lg(2x +3) 成等差数列, 则x 的值为( )
A. 1
B. 0或32
C. 32
D. log 25
4. 已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数, 数列{a n }是等差数列, a 3> 0, 则f(a 1) +f(a 3) + f(a 5)的值( )
A. 恒为正数
B. 恒为负数
C. 恒为0
D. 可正可负
5. 如果有穷数列a 1, a 2, …, a m (m 为正整数) 满足条件: a 1=a m , a 2=a m-1, …, a m =a 1, 则称其为“对称” 数列. 例如, 数列1, 2, 5, 2, 1与数列8, 4, 2, 4, 8都是“对称” 数列. 已知在21项的“对称” 数列{c n }中, c 11, c 12, …, c 21是 以1为首项, 2为公差的等差数列, 则c 2= .
6. 数列{a n }是公差为正数的等差数列, a 1=f(x-1), a 2=0, a 3=f(x+1), 其中f(x) =x 2-4x+2, 则数列{a n }的通项公式a n = .
7. 在数列{a n }中, a 1=3, 且对任意大于1的正整数n, 点
()
1-n n a a ，在直线x-y-3=0上, 则a n = .
8. 已知无穷等差数列{a n }中, 首项a 1=3, 公差d=-5, 依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n }.
(1) 求b 1和b 2;
(2) 求{b n}的通项公式;
(3) {b n}中的第503项是{a n}中的第几项?。