概率论2-5

其中 α = min( g ( −∞ ), g ( +∞ )), β = max( g ( −∞ ), g ( +∞ )), h( y ) 是 g ( x ) 的反函数 .
例5 设随机变量 X ~ N ( µ, σ 2 ) , 试证明 X 的线
性函数 Y = aX + b (a ≠ 0) 也服从正态分布 .
三、小结
1. 离散型随机变量的函数的分布
若 Y = g ( X ) 且 X 的分布律为 :
X pk
x1 p1
x2 p2
L L
xk pk
L L
则 Y = g ( X )的分布律为
Y = g( X ) pk g ( x1 ) p1 g ( x2 ) L g ( xk ) L p2
L
pk
L
2. 连续型随机变量的函数的分布 方法1 方法
v 所以反函数为 θ = h(v ) = arcsin , A 1 h′(v ) = , 2 2 A −v
π π 又由 Θ ~ U ( − , ), 知Θ的概率密度为 2 2
π π 1 , − <θ< , f (θ ) = π 2 2 0, 其他 .
由定理得 V = A sin Θ 的概率密度为 1 1 , − A < v < A, ⋅ 2 2 φ(v ) = π A − v 0, 其他 .
ye − y , y > 0, = 2 0, y ≤ 0.
定 理 设随 变量 X 的 机 具有 概率 密度 f X (x), 其中−∞< x < +∞, 又 设函 g(x)处处 导 且恒 数 可 , 有 g′(x) > 0(或恒 g′(x) < 0), 则称Y = g( X )是 有 连续 型 随机 变量, 其 概率 度为 密 f X [h( y)] h′( y) , α < y < β, fY ( y) = 0, 其 . 他
解 先求Y=2X+8 的分布函数 F ( y). 第一步 先求 Y
FY ( y ) = P{Y ≤ y } = P {2 X + 8 ≤ y }
y−8 } = ∫ f X ( x)d x = P{ X ≤ −∞ 2
由分布函数求概率密度. 第二步 由分布函数求概率密度
y−8 2
′ fY ( y ) = F y ( y )
证明 X 的概率密度为
( x − µ )2 − 2σ 2
1 f X ( x) = e 2 πσ
,−∞ < x < +∞ .
设 y = g( x ) = ax + b,
y−b 1 , 知 h′( y ) = ≠ 0. 得 x = h( y ) = a a
f X [h( y )] h′( y ) ,α < y < β , 由公式 fY ( y ) = 0, 其它. 得 Y = aX + b 的概率密度为
第五节 随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结
一、离散型随机变量的函数的分布
设 f ( x ) 是定义在随机变量 X 的一切可能值 x 的集合上的函数 , 若随机变量 Y 随着 X 取值 x 的值而取 y = f ( x ) 的值 , 则称随机变量 Y 为随机 变量 X 的函数 , 记作 Y = f ( X ).
, − ∞ < y < ∞.
例6 设电压 V = A sin Θ , 其中 A 是一个已知的正 π π 常数, 相角 Θ 是一个随机变量 , 且有Θ ~ U ( − , ), 2 2 试求电压 V 的概率密度 . π π 解 因为 v = g (θ ) = A sin θ 在( − , )上恒有 2 2 g′(θ ) = A cos θ > 0,
=∫
y
−∞
f X ( x)d x − ∫
− y
−∞
f X ( x ) d x.
再由分布函数求概率密度. 再由分布函数求概率密度
fY ( y ) = FY′ ( y ) = f X ( y )( y )′ − f X ( − y )( − y )′
=
1 2 y
⋅( y) ⋅e
3
−(
y )2
+ 0⋅
1 2 y
= [∫
Hale Waihona Puke y−8 2−∞f X ( x ) d x ]′
y−8 y−8 ′ )( ), = fX ( 2 2
所以
y−8 1 y − 8 1 )⋅ , 0 < < 4, ( fY ( y ) = 8 2 2 2 0, 其他 . y−8 , 8 < y < 16, = 32 0, 其他 .
例4 设随机变量 X 的概率密度为
x < 0, 0, f X ( x) = 3 − x2 x e , x ≥ 0. 2 求随机变量 Y = X 的概率密度.
解 先求随机变量 Y = X 2 分布函数 ,
FY ( y ) = P{Y ≤ y }= P { X 2 ≤ y }
= P{− y ≤ X ≤ y} = FX ( y ) − FX (− y )
离散型随机变量的函数的分布
如果 X 是离散型随机变量 , 其函数 Y = g ( X ) 也是离散型随机变量 .若 X 的分布律为
X pk
x1 p1
x2 p2
L L
xk pk
L L
则 Y = g( X )的分布律为
Y = g( X ) pk
g( x1 ) p1
g ( x2 ) L g ( xk ) L p2 L pk L
1 y−b fY ( y ) = f X ( ), a a
(
− ∞ < y < ∞.
得 Y = aX + b ~ N ( aµ + b, ( aσ )2 )
1 1 e = a 2 πσ
y −b − µ )2 − a 2 2σ
=
1 a σ 2π
e
[ y − ( b + aµ )]2 − 2 ( aσ )2
若 g ( xk ) 中有值相同的, 应将相应的 pk 合并.
例2 设
X
−1
1
2
pk
1 6
2 6
3 6
求 Y = X 2 − 5 的分布律 .
解 Y 的分布律为
Y
p
−4 1 2
−1 1 2
二、连续型随机变量的函数的分布
例3
设随机变量 X 的概率密度为
x , 0 < x < 4, f X ( x) = 8 0, 其他 . 求随机变量 Y = 2 X + 8 的概率密度 .
问题
量 如何根据已知的随机变 X 的 分布求得随机变量Y = f ( X)的分布?
例1 设 X 的分布律为
X
p
2
−1 0 1 2 1 1 1 1 4 4 4 4
求 Y = X 的分布律 . 解 Y 的可能值为 0, 1, 4. Y 0 1 4 Y 的分布律为 1 1 1 p 4 2 4
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法. 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法
FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y }
=∫
g ( x )≤ y
f X ( x ) d x , ( −∞ < x < +∞ ),
再对 FY ( y ) 求导得到 Y 的密度函数 fY ( y ).
方法2 方法
f X [h( y )] h′( y ) , α < y < β , fY ( y ) = 0, 其他 .
注意条件. 注意条件