概率论

1.1.1 确定性现象在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象．确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象．例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；⋯⋯确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识．如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力⋯⋯这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果．对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点：(1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一；(2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的．换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变．1.1.2 随机现象随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象．例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；⋯⋯随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上．1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验：从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法．1.1.4 统计规律性(2)--其他实验我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子．1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1．2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线．1.1.5 统计规律性(3)--规律描述从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科．既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点：(1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的；(2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的．一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小．通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．统计规律性的这两点基本特点，是人们认知和学习概率论与数理统计的起点，也是从确定性思维转换到随机性思维的关键点．打个比方，确定性规律就像物理学中的宏观物体，它只有粒子性，无波动性；而统计规律就像微观粒子（如光子），它既有波动性也有粒子性．此比喻可能有失严谨，但可以较形象地描述统计规律与确定性规律的区别．1.1.6 概率的初步认知我们已经知道，在相同条件下大量重复观察时，随机现象会呈现出统计规律性，即频率的稳定性．频率的稳定性客观地刻画了随机现象存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小．在概率统计中，概率就是用来刻画每个结果出现可能性大小的数量指标，它介于0∼1之间．通俗地讲，概率就是随机现象中每个结果发生的内在固定比例．既然概率刻画了每个结果出现的可能性大小，而该可能性大小是由频率的稳定性来体现，故概率的度量工具就是频率．这就好比物体的长度，它的度量工具的尺．对于测量长度的尺，它越精细，则测量就越精确；对于度量概率的工具\space频率，它重复观察（或实验）的次数越多，则度量结果就越精确．概率这个概念的出现，说明了统计规律性可以通过数量关系来描述，因此，我们对随机现象的研究就转化为对某种（统计规律性的）数量关系的研究．通过以上的分析，我们对随机现象有了基本的认知：概率与数理统计就是针对这个基本模型，运用数学这个强有力的工具，发展成为了理论性强与应用性广泛的一门学科．1.1.7 随机试验(1)--定义为了叙述方便，我们常把对某种现象的一次观察、测量，或一次科学实验，统称为一个试验；而对随机现象所进行的试验称为随机试验．例如，观察某射击手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验；⋯⋯随机试验具有以下共同特征：(1)可重复性试验在相同的条件下可以重复进行；(2)可观察性每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；(3)不确定性每次试验都只出现一个结果，但具体出现哪个结果无法确定．在概率论与数理统计中，所涉及的都是随机试验，故常常简称为试验，记为E．1.1.8 随机试验(2)--说明随机试验可以从以下几个方面来理解．1. 为什么要定义随机试验这么一个概念？答人们为了研究某随机现象，就得对该随机现象进行相关实践活动，这些活动可能是观察，或测量，或记录，或在实验室里进行科学实验．虽然这些行为是不相同的实践活动，但它们的目的都是：都要研究随机现象的统计规律性．于是，人们根据活动目的的同一性来统一定义这些行为，称为随机试验．2. 随机试验只是现实中随机现象的模型化处理，即把随机现象进行简单化或理想化．而其简化的依据往往就是人们过去累积的经验，或是公认的道理．例如，抛一枚硬币的试验，我们只认为它只会出现两种结果：要么正面朝上，要么反面朝上．可实际上，抛出的硬币在掉下来时，不一定是正面朝上或反面朝上，有可能是滚掉不见了，也可能笔直地站立着．然而经验告诉我们，硬币发生滚掉或笔直站着的情况微乎其微，以至于我们可以忽略不计，于是我们只考虑正面朝上或反面朝上这两种情况．当只考虑正面朝上或反面朝上时，我们就已经把现实情况给简单化和理想化了，即进行了某种模型化处理．3. 由2的分析可知，当我们把随机现象进行模型化处理时，在简化的过程中就已经明确了试验的所有可能结果，并且每个结果都是单一的，不可再分解的．4.为了研究方便，有时需要把几次试验作为一个整体合起来看成是一次随机试验．例如，可以把连续掷3次骰子看成是一次试验．1.1.9 样本空间(1)--定义在1.1.8节已经分析出，当提到某随机试验E时，我们已经明确了E的所有可能结果．于是，我们把随机试验E的所有可能结果称为样本空间，样本空间中每一个元素，即每一个可能结果，称为样本点．样本点常记为ω，样本空间常记为Ω(或S)．对于具体的试验E，样本点常表述为ω=(*)，其中*为每一个结果的表述，然后，样本空间可以描述为Ω={ω}(列举或描述所有的ω)．例如，在抛掷一枚硬币的试验中，只有两种结果：出现正面，出现反面．则样本空间有两种结果：一种是出现正面，另一种是出现反面．于是样本点和样本空间可如下表达．ω1=(正面)，ω2=(反面)；Ω={正面，反面}={ω1,ω2}．1.1.10 样本空间(2)－例例如，\space在抛掷一枚骰子的试验中，有6个样本点：ω1=(1点)，ω2=(2点)，ω3=(3点)，ω4=(4点)，ω5=(5点)，ω6=(6点)．样本空间可简记为Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}．(2)观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：ωi=(i次呼叫)(i=0,1,2,⋯)．则样本空间可简记为Ω={ωi:i=0,1,2,⋯}．(3)在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不可数)：t小时(0≤t<+∞)．则样本空间可简记为Ω={t∣0≤t<+∞}．(4)设随机试验为从装有三个白球(记号为1,2,3)与两个黑球(记号为4,5)的袋中任取两球．①若观察取出的两个球的颜色，则样本点为e00=(两个白球)，e11=(两个黑球)，e01=(一白一黑)，于是样本空间为Ω={e00,e11,e01}．②若观察取出的两个球的号码，则样本点为eij=(取出第i号与第j号球)，1≤i<j\le5$< span=""></j\le5$<>(由于两球号码不同，故可假定i<j$< span=""></j$<>)，且样本空间共有C52=10个样本点，于是样本空间为Ω={eij\space∣1≤i<j\le5\}$< span=""></j\le5\}$<>．注①例(3)中，我们无法一一列举试验的所有可能结果，但是可以知道这些试验结果的范围，故用这个范围作为该试验的所有可能结果．②例(4)表明，同一个随机试验，样本点与样本空间是根据试验的目的来确定的．1.1.11 随机事件(1)--定义在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某种特征的情况．例如，①在相同的条件下抛掷同一枚骰子，有时我们仅关注出现的点数是大还是小；②观察某城市某个月内交通事故发生的次数，往往还特别关注出现死亡事故的次数；③对某只灯泡做实验，观察其使用寿命，试验者往往只关注寿命是否达到合格规定的寿命时间（如寿命达到1500小时算合格）；⋯⋯在概率论中，称具有某种特征的试验结果为随机事件．跟样本点一样，随机事件在随机试验中可能发生也可能不发生．1.1.12 随机事件(2)--特殊事件为了的更好地研究随机事件，还需要把随机事件的特殊情况与极端情况都有所定义．特殊情况：只含有一个样本点的随机事件称为基本事件．相对于基本事件，称含有多个样本点的随机事件为复合事件．极端情况：(1)在试验中必然发生的事件称为必然事件；(2)在试验中一定不发生的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件都是随机事件的极端情况，都是可以事先预知的(故也称为确定性事件)，因而已不属于随机事件，但为了方便起见，常常将它们作为极端事件合并到随机事件中．在概率统计中，常把随机事件简称为事件，事件通常记为A,B,C,⋯，A1,A2,⋯．如，记A表示事件“*”，或记事件A为“*”，或记事件“*”为A”，或记事件A={*}，其中*为事件A的特征描述．1.1.13 随机事件(3)－例1例1.1-1在抛掷一枚骰子的试验中，我们知道6个样本点为ω1=(1点)，ω2=(2点)，ω3=(3点)，ω4=(4点)，ω5=(5点)，ω6=(6点)；样本空间为Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}．(1)(基本事件)若记A={出现3点}，则A={ω3}，即A为一个基本事件．所有的基本事件为{ωi}(i=1,2,⋯,6)．(2)(复合事件)记B为事件“出现偶数点”，则B={ω2,ω4,ω6}，即B为一个复合事件．同样地，还可以定义其它复合事件，如C={出现的点数大于4}，等等．(3)(必然事件)若记事件D={出现的点数小于7}，显然事件D在每次试验中必然发生，故D为一个必然事件．还可以有其它的必然事件，如“出现的点数为整数”，“出现的点数大于零”，等等．(4)(不可能事件)如记Q={出现的点数为0}，显然，事件Q在每次试验中一定不发生，故Q为一个不可能事件．其它的不可能事件有“出现的点数为7”，“出现的点数大于10”，等等．■注事件的记法一般有两种：①B为事件“出现偶数点”；②B={出现偶数点}．1.1.14 本章小结对于随机现象，我们有了一个基本的认知：进一步，为了研究随机现象，我们对其进行模型化为随机试验，并以随机试验为平台定义了样本空间、随机事件等重要的概念．于是，对随机现象的基本认知可以进一步提升到如下的模型：至此，我们已经清楚的看出，随机现象的研究就转化为对样本空间及随机事件的研究，最终目的就是求随机事件的概率．为了更好的求解事件的概率，需要把随机事件及概率进行数学抽象化处理，以便于运用强大的数学工具来分析研究．本卷主要探讨样本空间的集合化处理，以及概率的公理化定义（数学抽象化），然后运用这些数学工具来处理随机事件之间的关系和运算，及其概率计算．⋯⋯。