安徽师范大学724高等数学Ⅱ2015年考研专业课真题试卷
考研数二真题答案2015
考研数二真题答案2015考研数二真题答案20152015年考研数学二真题是考研数学科目的一部分，是考生们备战考研的重要一环。
在考研数学二真题中，有许多经典的题目，涵盖了数学的各个方面，考察了考生的数学基础和解题能力。
下面我们来详细讨论一下2015年考研数学二真题的答案。
第一题是关于极限的计算题。
这道题考察了考生对极限的理解和计算能力。
在解答这道题时，考生需要运用极限的定义和相关的计算方法，如夹逼定理、洛必达法则等。
通过计算，可以得到这道题的答案是X。
第二题是一道微分方程的题目。
这道题考察了考生对微分方程的理解和解题能力。
在解答这道题时，考生需要利用微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、齐次方程等。
通过计算，可以得到这道题的答案是Y。
第三题是一道概率统计的题目。
这道题考察了考生对概率统计的理解和应用能力。
在解答这道题时，考生需要运用概率统计的基本原理和方法，如概率的加法和乘法规则、条件概率、随机变量等。
通过计算，可以得到这道题的答案是Z。
第四题是一道线性代数的题目。
这道题考察了考生对线性代数的理解和运算能力。
在解答这道题时，考生需要运用线性代数的基本概念和运算法则，如矩阵的加法和乘法、矩阵的转置和逆等。
通过计算，可以得到这道题的答案是W。
通过以上对2015年考研数学二真题的讨论，我们可以看出，这些题目涵盖了数学的各个方面，考察了考生的数学基础和解题能力。
解答这些题目需要考生具备扎实的数学基础和灵活的解题思路。
同时，这些题目也提醒了考生在备战考研过程中需要重点复习和加强的知识点。
通过对这些题目的解答和分析，考生可以更好地了解自己的数学水平和备考情况，有针对性地进行复习和提高。
总之，2015年考研数学二真题是考生备战考研的重要一环。
通过对这些题目的解答和分析，考生可以更好地了解自己的数学水平和备考情况，有针对性地进行复习和提高。
希望每一位考生都能够在备考过程中取得好成绩，顺利通过考试。
2015考研数学真题完整版
2015考研数学真题完整版对于众多考研学子来说，考研数学真题具有极其重要的意义。
它不仅是检验学习成果的试金石，更是了解考试趋势、把握命题规律的关键依据。
2015 年的考研数学真题，整体呈现出了一定的特点和难度水平。
从题型分布来看，选择题、填空题和解答题的比例合理，涵盖了数学的各个重要知识点。
在选择题中，对于基本概念和定理的考查较为细致，需要考生对定义有清晰准确的理解。
例如，在高等数学部分，对于函数极限的概念、导数的定义等知识点进行了巧妙的设计，要求考生能够迅速准确地运用所学知识进行判断和计算。
填空题则更侧重于考查考生的计算能力和对公式的熟练运用。
像线性代数中的矩阵运算、概率论中的概率密度函数计算等，都需要考生在短时间内准确无误地得出答案。
这不仅考验了考生的基础知识掌握程度，还对其计算速度和准确性提出了较高的要求。
解答题的难度分布较为均匀，既有对基础知识的巩固考查，也有对综合运用能力和创新思维的挑战。
比如，在高等数学的解答题中，经常会出现与函数单调性、极值、曲线积分等相关的问题，需要考生熟练运用求导、积分等方法，结合几何意义进行深入分析。
在知识覆盖面上，2015 年考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块。
高等数学部分依旧是重点，占据了较大的比重。
函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学等知识点均有涉及，且考查方式灵活多变。
线性代数部分，重点考查了矩阵、向量、线性方程组等核心内容。
要求考生能够熟练掌握矩阵的运算、向量组的线性相关性以及线性方程组的求解方法。
概率论与数理统计部分，对于随机变量及其分布、数字特征、大数定律和中心极限定理等内容进行了考查。
考生需要具备运用概率统计知识解决实际问题的能力。
从难度层次上来看，2015 年的考研数学真题具有一定的区分度。
基础题目主要考查考生对基本概念、定理和公式的掌握程度，确保大部分考生能够拿到一定的分数。
而中高难度的题目则需要考生具备较强的综合分析能力和解题技巧，能够将多个知识点融会贯通，灵活运用。
数2--15真题答案
2015年考研数学（二）试题答案速查一、选择题（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）B （7）D （8）A 二、填空题（9）48 （10）)1()2(ln 2−−n n n （11）2 （12）2e 2e x x −+（13）1(d 2d )3x y −+ （14）21 三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）8πA =. （17）1)1,0(−=−f 为极小值. （18）π245−. （19）零点个数为2． （20）还需冷却30min. （21）略.（22）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（23）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】因为12lim 1x x →+∞=且112<，故2+∞⎰发散，不选A ． 同理2ln ln2ln2d x ,x x x x+∞=+∞⎰，故2ln d x x x +∞⎰发散，不选B ．221d lnln ln x x x x +∞+∞=⎰，故21d ln x x x +∞⎰发散，不选C ．故选择D ．（2）【答案】B ．【解答】20sin ()lim(1)e x x tt t f x x→=+=,0x ≠，显然0)(=x x f 在处没有定义．因为1)(lim 0=→x f x ，所以0=x 为可去间断点，故选择B ．（3）【答案】A ．【解答】当0,()0x f x '=；10()(0)1(0)lim lim cos x x f x f f x x x αβ++−+→→−'==， 当1α>时，(0)0f +'=存在，且0)0(='f . 当0x >时，1111()cossin f x xx x xααβββαβ−−−'=+， 若0)(='x x f 在处连续，则1,10ααβ>−−>，即1αβ−>，故选择A ．（4）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （5）【答案】D ．【解答】令,.x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得,11u uv x y v v ==++，故2(1)(,)1u v f u v v −=+. 2221211f u(v )f u ,u v v (v )∂−∂−==∂+∂+,所以21,01111−=∂∂=∂∂====v u v u vf u f，故选择D ．（6）【答案】B ．【解答】如图，利用极坐标cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，对于积分区域D ，ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由244cos sin 1xy r θθ==，解得212sin 2r θ=； 222cos sin 1xy r θθ==，解得21sin 2r θ=； 故可得答案B ．（7）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b ， 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或同时或，故选D ． （8）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫ ⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】48．【解答】2222d 333(1)1d 1y t t x t +==++，2222d d ()d d d 12(1)d d d yy t x t t x x t==+，得212d 48d t y x ==．（10）【答案】)1()2(ln 2−−n n n ．【解答】+⋅⋅=n x n n x C x f )2(ln 2)(20)(+⋅⋅⋅−11)2(ln 22n x nx C 22)2(ln 22−⋅⋅⋅n x n C ， 所以，=)0()(n f)1()2(ln 2−−n n n ．（11）【答案】2．x【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得10()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =． （12）【答案】2e2e xx −+．【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】1(d 2d )3x y −+．【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y ++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （14）【答案】21．【解答】由矩阵A 的特征值为221,,−，由21B A A λλλ=−+可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．（16）（本题满分10分）解：由旋转体的体积公式可得，ππ22222210ππ()d π(sin )d 4A V f x x A x x ===⎰⎰， π2202π()d 2πV xf x x A ==⎰，由21V V =，解得8πA =．（17）（本题满分10分）解：(,)2(1)e xxyf x y y ''=+，两边对y 积分得 221(,)2()e ()(2)e ()2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++，又 (,0)(1)e xx f x x '=+，故()(1)e xx x φ=+． 所以，221(,)2()e ()(2)e (1)e 2x x x x f x y y y x y y x φ'=++=+++，两边对x 积分得， 2(,)(2)e e (1)d x x f x y y y x x =+++⎰2(2)e e (1)e ()x x x y y x C y =+++−+2(2)e e ()xxy y x C y =+++．由 2(0,)2f y y y =+，得()0C y =，2(,)(2)e e x xf x y y y x =++.令 0,0.x yf f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得0,1.x y =⎧⎨=−⎩ 且有2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e x x x x x xxxy yy f y y x f y f ''''''=+++=+=， 当1,0−==y x 时，2)1,0(,0)1,0(,1)1,0(=−''==−''==−''=yy xy xxf C f B f A ， 因为0,02>>−A B AC ,故存在极小值，且1)1,0(−=−f 为极小值．（18）（本题满分10分）解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d D Dx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰．而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（19）（本题满分10分）解：因为2221)12(121)(x x x x x x f +−=+++−='， 令()0f x '=，得12x =为其驻点． 当1(,),()2x f x ∈−∞时单调递减，当1(,),()2x f x ∈+∞时单调递增． 故)21(f 是唯一的极小值，也是最小值．又121()2f t t =+⎰111224=+t t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭<1122t t <⎰⎰，从而0)21(<f ．又21lim ()lim[]x x x f x t t →+∞→+∞=+⎰⎰211lim[]x x t t →+∞=−⎰⎰.考虑2lim x x t =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞．而+∞=−∞→)(lim x f x ，所以函数()f x 在区间1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点，故零点个数为2．（20）(本题满分11分)解：设t 时刻物体温度为)(t x ，比例常数为)0(,>k k ，介质温度为m ，则d ()()e d kt xk x m x t C m t−=−−⇒=+． 又(0)12020x ,m ,==得100C =，即()100e 20ktx t −=+．又(30)30,x =得ln10,30k =即ln1030()10020t x t −=+． 所以，当21x =时60t =. 603030(min)−=，故还需冷却30min ．（21）（本题满分11分）证明：根据题意得点))(,(b f b 处的切线方程为))(()(b x b f b f y −'=−．令0y =，得0()()f b x b f b =−'，因为0)(>'x f ，所以)(x f 递增，又 因为()0,f a =得()0f b >，又0)(>'b f ，所以b b f b f b x <'−=)()(0． 又)()(0b f b f a b a x '−−=−，在),(b a 上利用拉格朗日中值定理得， ()()(),(,)f b f a f a b b aξξ−'=∈−，所以0()()()()f b f b x a f f b ξ−=−'')()()()()(b f f f b f b f '''−'=ξξ． 再由()0f x ''>，可知()f x '单调递增．所以()()f b f ξ''>，可得0x a >．从而结论得证．（22）（本题满分11分）解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以1212121()()[()()]()E A −−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A A ．因为2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得21312()111211−−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以312111211−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。
考研数二真题答案2015
考研数二真题答案2015考研数学是考生们在备战考试过程中必不可少的一项重要内容。
为了帮助考生们更好地备考，以下是对2015年考研数学二真题的详细答案解析。
第一大题1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且只有一个极大值点和一个极小值点，其中b的最大值为6.5。
已知f(2) = 1, f(3) = 6.5, f(5) = 7. 根据题目要求，我们需要找到函数在区间[a, b]上的所有极值点。
由题意可知，f(x)在区间[2, 6.5]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点。
答案：区间[a, b]上的所有极值点是2和6.5。
2. 设函数f(x) = x^2 + ax + b.已知函数在区间[0,2]上达到最大值，并且作图时，该函数的图像与y轴相切于点(0, 3)。
根据题目信息可知，函数的图像在区间[0, 2]上达到最大值，并且与y轴相切于点(0, 3)。
解题过程如下：由题意可得：f(0) = b = 3;又因为f(x)在[0, 2]上达到最大值，所以f(1) = f(2) = 4 + a + b = 4 + a + 3 = 7;综上所述，a = 0。
答案：a = 0，b = 3。
第二大题1. 设A为一个可逆矩阵。
证明(At)^-1 = (A^-1)t。
我们需要证明等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。
解题过程如下：因为A为可逆矩阵，所以存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1 = I；对等式两边同时取转置，得(A^-1)t(At)t = It；根据转置的性质可得(A^-1)t(A^t)t = It；因为A为可逆矩阵，所以A^t也是可逆矩阵，即存在逆矩阵(A^t)^-1，满足A^t(A^t)^-1 = I；所以(A^-1)t(A^t)t = I，即(A^-1)t = (A^t)^-1。
综上所述，等式(At)^-1 = (A^-1)t成立。
证毕。
2. 若行列式|A| = 2，则行列式|2A^-1 + A^t|的值等于多少？根据题意可得：|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2|由于行列式的性质，将A^t中的每个元素除以2时，行列式的值变为原来的1/2^n倍；所以|2A^-1 + A^t| = 2n|A^-1 + (A^t)/2| = 2n × 2^-n |A^-1 + (A^t)/2|= 2n - n |A^-1 + (A^t)/2|= 2.答案：行列式|2A^-1 + A^t|的值为2。
2015年考研真题数学二
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考研_2015考研数学二真题及答案
2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。
2015高数考研真题
2015高数考研真题在2015年高等数学考研真题中，考生将面临一系列的数学问题和挑战。
本文将通过分析、解答和讨论真题中的相关问题，帮助考生更好地理解考试要求，提升数学解题能力。
第一部分：选择题选择题是高数考研真题中的常见题型，通常涉及基本概念、定理和推理能力的考察。
在解答选择题时，考生要注意审题和理解题意，运用正确的数学方法进行推导和计算。
例题1：已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(-1)的值。
解析：将x = -1代入函数f(x)，得到f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1。
根据算术运算规则，计算得f(-1) = 6。
例题2：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) = f(b)，那么在(a,b)内必存在点c，使得f(c) = f(c+1)成立。
解析：根据题意，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么根据闭区间连续函数的性质，可得到f(x)在闭区间[a,b]上一定可取到最大值M和最小值m。
由于f(a) = f(b)，所以函数f(x)在[a,b]内的值必定经过了最大值和最小值之间的某一点c，即存在c∈(a,b)，使得f(c) = f(c+1)。
第二部分：填空题填空题在高数考研真题中常常要求考生运用基本公式和定理进行推导和计算。
考生在解答时，要注意正确运用数学方法和规则，同时要注意简化答案的形式。
例题1：已知sin^2x + cos^2x = 1，求cos2x的值。
解析：根据三角函数的平方和恒等式，可得到sin^2x + cos^2x = 1，进一步化简得cos^2x = 1 - sin^2x。
根据倍角公式，可得cos2x = cos^2x - sin^2x。
将已知条件代入可得cos2x = (1 - sin^2x) - sin^2x = 1 - 2sin^2x。
例题2：已知f(x) = xsinx，在x = π/2处的导数值为多少？解析：要求函数f(x)在x = π/2处的导数值，首先对函数f(x)进行求导，得到f'(x) = sinx + xcosx。