晶体几何学基础
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2-1-晶体学基础
原始晶胞)、 素晶胞 (原始晶胞 、复晶胞 原始晶胞
晶胞参数： 晶胞参数：大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离： ½ a. 之间的距离：
Cs+ 与 Cl- 之间的距离： a . 之间的距离：
3 2
结构基元数目： 结构基元数目：
4
1
2
8
晶体结构： 晶体结构：空间点阵 + 结构基元
31
32
7 个晶系和 32 个点群
33
空间群
空间群：晶体的全部对称性群。 空间群：晶体的全部对称性群。 全部对称性群 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 点群操作和平移操作的组合 共有230个晶体空间群。 个晶体空间群。 共有
34
石英晶体：m 与 m 面 (法线 夹角为 法线) 石英晶体： 法线 60°0'，m 与 r 面 (法线 夹角为 38°13' 法线) ° ， 法线 °
理想石英晶体: 六个m面原组成六方柱 理想石英晶体 六个 面原组成六方柱 歪晶: 外界环境的影响，形态畸变。 歪晶 外界环境的影响，形态畸变。 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性， 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性，绘制出理想的晶 体形态图，为几何结晶学研究打下基础， 体形态图，为几何结晶学研究打下基础，并为晶体内部结构的探索给予了 有益的启发； 有益的启发； 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。
13
Fe，Ni: 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， ， 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， 吸收可见光，使其具备很深的颜色。 吸收可见光，使其具备很深的颜色。
3几何晶体学
无
Z轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴， 无 X和Y轴相互垂直，并都与Z轴成直角。
六方/三方
Z轴总是平行于唯一的3次或6次旋转（反演） 在三方晶系，三次轴选为 轴，X和Y轴都垂直于Z轴，并相互间交角 初基单胞的对角线，则 为120 。 a=b=c,== 90。
晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或4 无 次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶胞 的体对角线。
所以，晶体中有1、2、3、4、6、m、i、-4共八种 独立的宏观对称元素。
3. 布拉菲点阵（Bravais Lattice）与晶系 （Crystal System）
3.1 布拉菲点阵
阵胞可以有各种不同的选取方式。只是为了表达空间点阵的 周期性，则一般应选取体积最小的平行六面体作为阵胞（即 简单阵胞），但为了使阵胞能同时反应出空间点阵的对称性， 只选简单阵胞不能满足要求。如何选？ 阵胞选取原则：（1）所选阵胞要完全反应出空间点阵的最 高对称性；（2）在满足（1）的基础上所选阵胞的平面角要 尽可能等于直角；（3）在满足（1）、（2）的基础上所选 阵胞的体积要尽可能小。 根据上述三条原则选取的空间点阵阵胞只能有14种，称为14 种布拉菲点阵。
c、反演：若通过晶体中心的任一直线上，离中心等距离 处均能找到相应的等同点，则晶体具有对称中心，称 此操作为反演。
对称元素：反演中心 1
d、旋转 –反演：晶体绕某一旋转轴每转动角后，必须再 经反演晶体才能复原，称这种变换为旋转 –反演。 对称元素：反演轴，有－1，－2，－3，－4，－6，其 中只有－4为新的独立对称元素。 －1＝i，－2＝m，－3中必含有3次轴和i，－6中必含 有3次轴和m。
3.2 晶系划分
晶系：按照晶胞的特征对称 元素可以分成7个不同类 型，称为晶系。 晶系 三斜 特征对称元素 无或反演中心
XRD(2-晶体学基础)(1)
1．倒易点阵的定义？ 2．倒易点阵的重要性质？
34
<100>等效晶向
16
（三）晶面和晶面间距 1、晶面
➢ 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
➢ 这些相互平行的平面称为晶体的晶面 ➢ 同一布拉菲格子中可以存在位相不同的的晶面
17
（hkl）：表示一组相互平行的晶面， 称为晶面指数或米勒指数。
（hkl）是平面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。 晶格中一组晶面不仅平行，并且等距；
一组晶面必包含了所有格点而无遗漏。
同一个格子，两组不同的晶面
18
例
以晶胞参数a,b,c为三个对应晶轴的度量单位，晶面ABC在 坐标轴上的截距分别为2、3、6； 其倒数为1/2、 1/3 、 1/6，
h:k:l = 1/2 :1/3 : 1/6
=3:2:1
故: 该晶面的晶面指数 （hkl）为(321)。
带轴。
凡属于[uvw]晶带的晶面，其面指数（hkl）必符合关系：
hu+kv+lw=0
晶带定律
跳过下一页PPT 26
二、倒易点阵（倒点阵）
倒点阵可以直观地解释衍射图的成因， 它是虚拟的、抽象的教学工具。
晶体学中的正点阵（空间点阵），通过某种联系，将其 抽象出另外一套结点的集合，得到倒点阵。
➢ 晶体点阵中的一个晶面（hkl），在倒点阵中将用 一个点Phkl表示。该点与其对应的晶面有倒易关系。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。 如（100）(001）。
22
2、晶面间距dhkl
晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 通常用dhkl 或简写为d来表示。
04-05 晶体几何学基础解析
晶 带
属于[001]晶带的某些晶面
倒易点阵 P.136
1）倒易点阵概念
倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家 布拉未所采用，1921年爱瓦尔德发展了这种晶体学表 达方法。
正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规 律，是物质空间或正空间。 倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射 强度的分布，是倒空间。
1.g*矢量的长度等于其对应晶 面间距的倒数 g*hkl =1/dhkl 2.其方向与晶面相垂直 g* //N(晶面法线) 3. 倒易点阵中的一个点代表 的是正点阵中的一组晶面
1．晶面间距
∣g HKL *∣ =
1 d HKL
* * * * * * * * g HKL g HKL = ( Ha Kb Lc ) ( Ha Kb Lc ) * * * * * * 2 *2 2 *2 2 *2 = H a K b L c 2 HK (a b ) 2 HL(a c ) 2 KL(b c )
倒易点阵的定义
c*
[001]*
c dab
(001)
b a
c*a, c*b; c* =(a, b构成的平行四边形的面积）/（晶胞体积） ＝1 /dab
倒易点阵与正点阵
• 根据定义在倒易点阵中, 从倒易原点到任一倒易 点(hkl)的矢量称倒易 矢量ghkl g*hkl = ha kb lc 可以得出:
第二章 X射线衍射方向
2－2 晶体几何学基础
晶体结构与空间点阵
晶体的晶面和晶向
晶体几何学基础 晶体 固体物质的分类 准晶体 非晶体
晶体的定义： 晶体是由许多质点（包括原子、离子或原子团）在三维空 间呈周期性排列而形成的固体。（长程有序）
晶体几何学理论基础
周期平移是晶体学中最基本的对称操作。它通过平移操作使 晶体中的某个点或图形在某些晶体学方向上做有规律的周期 重复。晶体结构正是周期性平移操作的结果。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
无机材料科学基础 第一章结晶学基础
§1-5 晶体的理想形态
一、 单形的概念
➢ 单形：指借助于对称型之全部对称要素的作用 而相互联系起来的一组晶面的组合。
➢ 单形特点：同一单形中的晶面是同形等大的； 共有47种单形。
物
质
气态
内
能
液态
玻璃态
结晶态
2020/6/18
物质存在状态
2020/6/18
一、对称的特点
➢ 所有的晶体都是对称的； ➢ 受到格子构造控制晶体的对称是有限的。 ➢ 对称体现在外形上、物理、化学性质上。
2020/6/18
二.晶体的宏观对称要素和对称操作
➢对称操作:指能使对称物体中各相同部分作有
2020/6/18
• 二、各晶系晶体的定向法则
晶系
三斜晶系
单斜晶系
晶体几何常数
ａ≠ｂ≠ｃ α≠β≠γ
ａ≠ｂ≠ｃ α＝γ＝ 90°β≠ 90°
斜方晶系 四方晶系 三方晶系 六方晶系
ａ≠ｂ≠ｃ、 α＝β＝γ＝90°
ａ＝ｂ≠ｃ、 α＝β＝γ＝90°
ａ＝ｂ＝ｃ、 α＝β＝γ≠90°
ａ＝ｂ≠ｃ、 α＝β＝90°γ＝120°
第一章 结晶学基础
2020/6/18
第一章 几何结晶学基础
认识晶体/非晶体的过程:
自然界存在的外形规则的物体→人工合成晶体 非晶体也可以呈现出规则外形;晶体在非理想生长条件 下可以呈 现出不规则外形
晶体现代定义:内部质点以一定周期性方式在 三维空间规则排列的物质
晶体学包含的主要内容
2020/6/18
2020/6/18
3.空间点阵与实际晶体的区别
组成单元
空间分布
空间点阵 几何点
无限大
实际晶体 实际原子或离子 有限大
第2章 晶体学基础2.1
晶体与非晶体的区别：
1. 原子规排：晶体中原子（分子或离子）在三维空间呈周 期性重复排列，而非晶体的原子无规则排列的。 2. 固定熔点：晶体具有固定的熔点，非晶体无固定的熔点， 液固转变是在一定温度范围内进行。 3. 各向异性：晶体具有各向异性（anisotropy），非晶体为 各向同性。
二、空间点阵和晶胞
晶 格 常 数 示 意 图
3. 空间点阵类型（晶系）
根据６个参数间相关系可将全部空间点阵归为七大类，十四种（称为 布拉菲点阵）。
1）七大晶系
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
三斜晶系（Triclinic System） 单斜晶系（Monoclinic System） 正交晶系（斜方晶系，Orthogonal System） 四方晶系（正方晶系，Tetragonal System） 立方晶系（Cubic System） 六方晶系（Hexagonal System） 菱形晶系（Rhombohedral System）
晶体结构的微观特征 晶体可看作某种结构单元（基元）在三维空间作周期 性规则排列 质点或基元(basis)：原子、分子、离子或原子团 (组 成、位形、取向均同)
抽象为 质点 抽象为
阵点
质点的三维空间周期排列
空间点阵
1. 空间点阵
空间格子：把晶体中质点的中心用直线联起来构成的空 间格架即空间格子(Lattice)。 晶体点阵：由这些结点构成的空间总体称为晶体点阵。 晶体结点为物质质点的中心位置。 空间点阵中结点仅有几何意义，并不真正代表任何质点。
⑦菱形晶系（RHOMBOHEDRAL SYSTEM） 特点：对称轴和单胞的一个轴 （设a轴）夹角为某一角度α， 另外两个轴和对称轴夹角亦为 α并且长度相等。这三个轴构 成的六面体就是一个菱形单胞。 菱形晶系点阵常数间的关系为：
04-05 晶体几何学基础概述
晶体结构
萤石结构（ CaF2 ）
氯化钠结构(NaCl)
晶体结构
辉钼矿的化学成分：
MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；
辉钼矿的特征：
铅灰色，金属光泽， 硬度低，底面解理极 完全，比重大，光泽 强。
晶体结构
石墨的晶体结构
C60的晶体结构
金刚石的晶体结构
晶体结构X衍射图谱
石墨
金刚石
C60
b c c a * * a b (b c )(c a ) (c c )(b a ) V V cos * = * * = = abc2 sin a sin b | a b | bc sin a ca sin b V V cosa cos b cos = 同样可求 得α *, β *。 sin a sin b
a=bc, a=b==90
简单三角
四方 六角 立方
简单四方 体心四方
a=b, 六角 b==90, a=120 a=b=c, a=b==90 简单立方，体心立方 面心立方
七大晶系所要求最低的对称性
晶系 三斜 最低特征对称素 无对称素 晶胞形状 任意的平行六面体
单斜 正交 三角 四方 六角 立方
a = = d(200) 2 2 2 2 2 0 0
\ (200)
(110)
a
intersects with
a d(110) = 2 2 2 = 2 1 1 0
\ (110)
晶面间距
晶面间距(d)公式：
立方晶系：
1 d hkl
2
h k l = 2 a
2 2
2
h k l 四方晶系： = 2 2 2 a c d hkl 2 2 2 1 h k l 正交晶系： = 2 2 2 2 b c d hkl 1
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. 倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而 言 的。
第6 章晶体.Il.何学
预备知识:
(1)点积: a.b= 1a 11 b 1 cose
( a.a=a2 a l_ b充要条件 : a.b=OI 0
② cosθ= 主主
lallb
军2 :1前
a
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
C
(2)叉积 : 矢量 对日 b 的夹角为 8 ， 0<8<π
第 21庸
( 1 )晶态与非晶态
固态物质
J、
石英 - 晶态
非晶态 .... 玻璃
J
宏 观具有规
微观具 有格
则几何外形
子 构造
第6 章晶体Jt..何学
( 2 ) 晶体结 构和 空间点阵
第 21庸
. -Na+
O Cl-
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
晶体结构可示意为 : 晶体点阵+ 结构基元 = 晶体结构
3、 b 、 5
·用 三基矢定出 三坐标轴 ， 此三坐标轴称为 品制|
lTl 体定向后 ， 空间某点的坐标即可写出
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
( 2 ) 晶 向指 数
通过点阵中任意一点的直线方向 ，用 [uvw]表示
确定方法:
1. 以品胞三个基矢的方向为坐标轴 的方向，以 基 矢长度a 、 b 、 C分别作为各自的衡量单位 。
f
、"
正 交底心格子
正交面心格子
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
立方原始格子 立方体心格子
立方面 I[J格子
四方原始格子四方体心格子六方和三方原始格子 三方菱面体格子
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
2 . 晶向 和晶面
( 1 )晶体定向
在晶体结构空间中引入坐标系的步骤
· 才巴布拉格点阵(平行六面体)的 三 边选作基矢
E
-
· -
一
--
A υ
1
AVAU 1
n υ o v
E d
A U
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
从倒点阵的定义式中 a飞 b飞 c* 与 a 、 b 、 c 的位置对 称可知， 正 点阵与倒点阵是互为 倒易
•
-今-今
b*xc*
α=
•b 一一
→ V*→ 沪 ×川 * i 71
•
c=
A→ U
×
→ 俨
晶体结 构 中 同 类等同点 (阵点)构成的几何图形
·有规律
· 宇间无限
第6 章晶体.Il.何学
(3) 空间点阵的元素
军2 :1前
第6 章晶体凡，帘学
( 4 ) 布拉格点阵
· 单位 平行六面体选取规则 :
1f;21庸
点阵常数 :
a 、 b 、 C;α 、 p 、 y
第6 章晶体Jt..何学
七大晶系
用倒易点阵 处 理衍 射问 题 时，能使几何概念 更清楚 ， 数字' 推理简化。可以简单地想象 ， 每一幅单晶的衍 射花样就是 倒 易点阵在该花样?面 上 的投影。
如何实现晶体结构和衍射花样的对应
晶 体 结 构c==>衍射波c==>衍射花样
2.2 倒易点阵定义
假定 晶 体点阵基矢 为 a 、 iE ， 倒 易 点阵基矢
模
c==α b s În θ
方向 c垂直a和b所在的平面
~
不尔c 为 a与 b 的叉积 ， 记作 : C == α x b
注 : a与 b平行的充要条件为 : α xb==O
第6 章晶体凡，帘学
1f;21庸
1. 倒易点阵的定义
(1)倒易点阵是量纲为长度倒数 μtk = bxc
的 三 维空间点阵
|I
二+才举L兰吉-t~白匀层罢技之
第2 篇晶体物相芳析
第 5章物相分析概论 第 6章 晶体几何学基础 第 7 章 电磁波及物质波的衍射理论 第 8章 X射线物相分析 第 9章 电子衍射及显微分析
第6 章晶体Jt..何学
一 、正空间点阵 二 、倒易点阵
第 21庸
第6 章晶体Jt..何学
1. 晶体结 构和空间 点阵
第六章晶体几何学基础
• 1. 正空间点阵
• 1.1 晶体结构与空 间点 阵 主l
1.2 晶向和 晶面 ，
• 1.3 晶带 E
• 2. 倒易点阵
2.1 倒易点阵的引入 '
• 2.2 倒易点阵定义 份
2.3 倒易点阵与 正空间点阵的关系 '
1.1 晶体结构与空间点阵
. -Na+
OC1-
图 6-1 NaCI 晶体结构
第 21庸
第6 章晶体Jt..何学
· 空间格子种类 · 原始格子
. 1本 J心格子
· 面 J心格子 ·底 Jb格子
第 21庸
布拉格晶胞有 1 4种类型 ， 分属七大 51 系 。
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
三斜原始格子单斜原始格子单斜底心格子
~
仑/
/
三;;{"
t
飞、
j
J
、"
>
正交原 始格子正 交体心格子
V*
-今-今-今-今-今-今-今-今-今
V*= α*. (b *x c *) = b *. (c *x a *) = c *. (a *x b *)
第6 章晶体.Il.何学
|α*1 =bcsin α / V Ib*1=casin β / V
Ic*1= αbsin y/ V
军2 :1前
sα丰 =cos βcos y - cosα
第6 章晶体Jt..何学 c轴
a 车由
第 21庸 b轴
第6 章晶体.Il.何学
叫uv 坐
b
lIk
第6 章晶体Jt..何学
一 、正空间点阵 二 、倒易点阵
第 21庸
第6 章晶体.Il.何学
军2 :1前
· 为了研究衍射波的特性，简化衍射问题， 1921
年德国物理学家厄瓦尔德引入了倒易点阵的概念。
图 6-2 空间 点阵
1.2 晶向和晶面
p
d
y
y
Directio n: [11 1]
x Plane: (110)
13 晶带
· 晶带定理 hu+kv+lw=O
2.1 倒易点阵的引入
••在量
晶 、
在 的 果
电 ' ，
体 产 子 而 反
对 生 衍 该 映
入 衍 射 衍 该
射 射 花 射 组
波 的 样 波 晶
-今 -今
-→ -→
-今 -→
α*. a = b *. b = c *. c = 2万(或1)
-今 -今
-今 -今
-今 -今 -今
-今
-今 -今
-今 -今
。*. b = a *. c = b *. a = b *. c =
LV-- or ..
C『
*
、E ·
s mβsmy
mβ* - ωαcos y - cos β
s mαsmy
cosγ* _ cosαcosβ - cos y
'
s in αs m β
直角坐标系中:立方、四方、正交
a * // a , a*=I/a; b女儿I b ， b *=I/b
c* // c , c*=I/c; V*=1八7
第6 章晶体Jt..何学
2. 用直线联结坐标原点和空间点阵中其他某个阵点 ， 该直线方向即为品向
3 . 确定该点坐标(xyz) ( 以点阵常数a、 b、 C为单位)
4. 将xyz化为 最简整数比 [uvw]
宽6 章晶体凡，帘学
C玄ss]
÷ 12
::Jfi21庸
面
且言@
第6 章晶体Jt..何学
第 21庸
( 3 ) 晶 面指数
. zx = o王 一 oz = a _ c
hL
-E= -M
一 但
70 d c
-k
一
-
而 G=hA+kB+IC
/ 闽 z
Y
。
... GEE=(码 +KS+lC)(主 - 三)= 1 - 1=0
b
h1
同理 G.ZY = O 二 G j_ (hkl)
cτ
_.
a
2.3 倒易点阵与正空间点阵的关系
面问距 d 就是 ox 或 OY在法线方向的投影，
立方晶系: a=b=c， α= ß = y= 900 四方晶系 : a= b:起， α= R = γ=900 正交晶系 : a*b剖， α = ß = y= 900 单斜晶系 : a均坷， α = y= 900 ，如900
三斜晶系 : a* b;t:c, rJ;i;如y学900
三 方晶系 : a=b=c， α= ß= "f*9 00 六方晶系: a=b妃， α = ß =900γ=1200
代表正 空间 的 一 族晶面。 矢量的长度代表晶面 间距的倒数， 矢量 的方向代表 晶面 的 法线。 正空间 的 一组二 维晶 面就可用 一 个 倒空间的 一 维矢量或零 维的点来表 示 ， 正空间的 一 个晶'常所属的晶 面 可用倒空间的 一 个 平面表示 ， 使晶 体学关系简单化。
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为 λ 、 i C ， 由下 式 定 义 :
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