概率统计讲义提纲1

概率统计讲义提纲第一章一、排列组合3.组合：注：0!=1.(1)(2)(1)r nA n n n n r =---+ !rr n n A C r =!()!!n n r r =-二、随机事件及其概率1、概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.2、随机现象是通过随机试验来研究的. 3．样本空间、样本点4、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件5、事件之间的关系及运算律含义：A 发生，则B 一定发生含义：A ,B 至少一个发生，or A 发生或B 发生 含义：A ,B 同时发生，or A 发生且B 发生A ,B 互不相容 (互斥)，含义：A ,B 不同时发生 A 的逆事件或对立事件，含义：A 发生，但B 不发生:,.A B A B A B A B ⋅==(4) 德摩根律 （对偶律）例1、用A 、B 、C 表示如下事件1）A 、B 、C 至少有一个发生 A B C2）A 、B 、C 恰有一个发生 3）A 、B 、C 至多有两个发生 ABC A B C =A B ⊂A B=A B ⋃A B⋂A A B ⋂=∅A A S A A ==∅ 且AB A AB AB -=-=ABC ABC A BC例2、一个工人生产了3个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品，i =1,2,3，试用i A （i =1,2,3）表示下列事件：6.频数与频率：在相同的条件下，进行了 n 次试验：7. 概率的统计定义：大量重复同一试验时事件A 发生频率的稳定值。

8. 概率的公理化定义：:)(,,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设⋅P A A P A E S E (1):,()0;对于每一个事件有A P A ≥非负性(2):,()1;S P S =对于必然事件有规范性12(3):,,,,,1,2,, 设是两两互不相容的事件,即对于则有i j A A i j A A i j ≠=∅= 可列可加性1212()()()P A A P A P A =++11()(B );只有第一个零件是合格品22()(B );三个零件中只有一个零件是合格品33(),(B );第一个是合格品但后两个零件中至少有一个次品();4(4)B 三个零件中最多有两个合格品55()(B ).三个零件都是次品11231();B A A A =21231231232();B A A A A A A A A A = 31233()();B A A A = 41234(),B A A A =4123;B A A A = 或51235(),B A A A =5123.B A A A = 或9. 概率的性质： 有限可加性特别，若AB =Φ（互不相容），则()()()P A B P A P B ⋃=+ （3） （减法公式） 特别若B A ⊂，则()()(),()P A BP A P B P B P A-=-≤且对三个事件， 例3、解：（1）（2） P(BA )P(B )P(A )=- （3）).()()()(,)()6(AB P B P A P B A P B A -+= 有对于任意两事件加法公式10()().P ∅=12(2),,,,n A A A 若是两两互不相容的事件则有).()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= ()()().P A B P AP AB -=-(5),()1().A A P A P A =-设是的对立事件则 (4),() 1.对于任一事件A P A ≤123()P A A A 123122313123()()()()()()().P A P A P A P A A P A A P A A P A A A =++---+113211238A,B ,P(B A ).()A B ;()A B;()P(AB ).⊂=设事件的概率分别为和求在下列三种情况下的值与互斥12P(BA )P(B ).==111236.=-=P(BA )P(B A )=-P(B )P(AB )=-113288.=-=概率统计讲义提纲第一章三、古典概型样本点有限（n 个）：等可能性：古典概率： ()=k P A n例1. 甲、乙两人连续赌四次，每次双方赢的机会均相同，求乙连续赢 4 次的概率？解：A ——乙连赢4次k=1所以 P (A )=1/16例2. 有100件同类型同批次的产品，按性能分成两类：甲40件，乙60件。

现从中抽取三次，每次任取一件，求取出的三件中有甲两件，乙一件的概率？ 考虑两种情形： i ）有放回抽样 ii ）不放回抽样 解：A ——取出的三件中甲两件，乙一件 i ）有放回抽样：用可重复排列求解ii ）不放回抽样（解法一）：用选排列求解12{,,,}n S e e e = 121({})({})({})n P e P e P e n==== 4216n ==3100n =3404060k =⨯⨯⨯2334060()100P A ⋅⋅∴=36125=0.288=1009998n =⋅⋅3403960k =⨯⨯⨯3403960()1009998P A ⋅⋅⋅∴=⋅⋅156539=0.289=不放回抽样（解法二）一次一件不放回，相当于一次取三件，用组合求解例3、放球问题（放球模型）将 n 个不同编号的球随机放入 N (N ≥n ) 个盒子中，每球以相同的概率放入盒子，盒子容量不限，令：A 1——某指定的 n 个盒子中各有一球； A 2——恰有 n 个盒子中各有一球； A 3——至少有两球在同一个盒子中； 求：P (A i )，i = 1,2,3。

解：可能数（所有可能放法数）n N A 1——某指定的 n 个盒子中各有一球；A 2——恰有 n 个盒子中各有一球；A 3——至少有两球在同一个盒子中；应用：生日问题有 n 个人，设每个人的生日是 365 天的任何一天是等可能的。

( n < 365 ) 试求：事件 “至少有两人同天生日” 的概率。

分析：一年365天，即365个盒子，一个盒子对应一天， “至少两人同天生日”——“至少两球在同一盒子中”n = 人数< 365。

若n = 55，则p = 0.9921406031003!()3!C C P A C ⋅⋅=⋅2140603100C C C ⋅=1!k n =1!()nn P A N∴=2!n N k C n =⋅nNA =2()n NnA P A N=∴32A A =33()1()P A P A ∴=-21()P A =-1nNnA N =-365N =例 4. （抽签问题）设袋中有 a 只白球，b 只红球，形状相同，从袋中将球随机地一只只摸出来，求第 i 次摸到白球的概率。

解：A i ——第 i 次摸到白球。

E ——摸球（不放回），即对a+b 个球做全排列。

可见结果与抽签顺序无关。

<古典概型注意事项>（1）“等可能性”——大多对应着“任取”、“随机选取”、“质地均匀”、“形状相同”等描述；（2）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不 要重复计数，也不要遗漏，例如：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的概率是多少？ 正确的做法是：或者（3）许多问题提法不同，但可归结为一类模型；（4）应用概率的加法公式、减法公式或逆事件概率公式，有时可简化计算。

()!n a b =+1(1)!a k C ab =⋅+-(1)!()()!i a a b P A a b ⋅+-=+a a b =+1,2,i a b=+11()()();P A P A =-2()()()()();P A B P A P B P AB =+- (3)()()()().P AB P A B P A P AB =-=-练习1 从一批由37件正品,3件次品组成的产品中任取3件产品, 求 （1）3件中恰有一件次品(A 1)的概率; （2）3件全是次品(A 2)的概率; （3）3件全是正品(A 3)的概率;（4）3件中至少有1件次品(A 4)的概率; （5）3件中至少有2件次品(A 5)的概率. 解：练习2、某城市有50％住户订日报,有65％住户订晚报,有85％住户至少订这两种报纸中的一种,求同时订两种报纸的住户的概率. 解：设 A ：住户订日报P (A )= 50％B ：住户订晚报P (B )= 65％住户至少订这两种报纸中的一种，即: P (A ∪B )= 85％ 住户同时订两种报纸为AB ，即求：P (AB ) 所以由 可得练习3、盒中有 6 张面值相同的债券,其中有两张中奖债券，现从中任取两次，每次取一张，考虑两种取法: (1) 有放回 (2) 不放回求：两种抽样方式下取到的两张都是中奖的债券的概率？ 解：(1) 有放回地抽取 设A ：取到的两张都是中奖券n: 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是从 6 张中取一张，第二次再从盒1()=12337340C C P A C 2()=33340C P A C ()=3373340C P A C =-3374340()1C P A C ()21333735334040C C C P A C C =+()()()()P A B P A P B P AB =+- ()()()()30%P AB P A P B P A B =+-=中取，仍是有 6 张券可供抽取，故有： k ：中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,第二次取仍有 2 张可供抽取，故有： 因此， （2）不放回地抽取设A ：取到的两张都是中奖券n ： k ： 所以或用组合进行计算：“不放回抽取两次，每次取一张” 相当于 “一次抽取两张”。

作业：习题一4. 设事件A,B,C 同时发生时，事件D 一定发生，试证：证明：由于事件A,B,C 同时发生时，事件D 一定发生，故ABC D ⊂。

由单调性，116636()P P ⋅=种11224P P ()⋅=种()k P A n =410.111369===116530P P ⋅=11212P P ⋅=()k P A n =210.0673015===22261006715C P(A ).C ===()()()()2P D P A P B P C ≥++-()P D ()P ABC ≥()()[()]P AB P C P AB C =+-⋃()()1P AB P C ≥+-()()()()1P A P B P A B P C =+-⋃+-()()()2P A P B P C ≥++-四、条件概率：1.条件概率定义：——已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率注：条件概率满足 （1）非负性（2）规范性 （3）可列可加性：若12n B ,B ,B , 两两互不相容，则 2.常用性质：3.条件概率的计算（1）用定义：（作为条件的事件B 发生的概率做分母）（2）B A B 中属于的样本点个数中的样本点个数（把B 看做缩减后的样本空间）例1、盒中一等品3只，二等品1只，不放回任取两次，每次一件，求下列概率： 1）第二次取到一等品.2）第一次取到一等品，且第二次也取到一等品. 3）第一次取到一等品的条件下，第二次也取到一等品. 解：设：A i ——第i 次取到一等品，i =1,2.则所求为：1) P (A 2) 2) P (A 1A 2) 3) P (A 2|A 1)1）由抽签的公平性，知第二次与第一次取到一等品的概率一样，2） 或 3）方法一（按定义计算） 方法二（在缩减的样本空间1A 中计算）()0P B A ≥()1P S A =11()()i i i i P B A P B A ∞∞===∑ (1)()0P B ∅=(2)()1()P A B P A B =-121212(3)()()()()P A A B P A B P A B P A A B =+- ()P A B =23()4P A ∴=231224()C P A A C =12=1132121143()C C P A A C C =12=12211()(|)()P A A P A A P A =122334==212(|)3P A A =例2、按设计要求，某建筑物使用超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.7，若该建筑已经使用了50年，求它在10年内倒塌的概率。