考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。

（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。

（二）事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。

2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。

3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。

（三）事件的关系1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A⊂ B。

若A⊂ B且B⊂ A，称两事件相等，记A= B。

2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。

3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。

【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。

（2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。

（四）事件运算的性质1、（1）AB⊂ A(或B)⊂ A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A；2、（1）A⋃ A= A,A⋂ A= A；（2）A⋂ (B⋃ C)= (A⋂ B)⋃ (A⋂ C),A⋃ (B⋂ C)= (A⋃ B)⋂ (A⋃ C)；3、（1）A= (A- B)⋃ A；（2）(A- B)⋂ A= A- B；（3）A+ B= (A- B)⋃ AB⋃ (B- A)。

4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A⋂ A= φ 。

二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(∙)称为所对应事件的概率：♠ ♦1、对事件A ，有P (A )≥ 0（非负性）。

2、P (∧)= 1（归一性）。

∞∞3、设A 1,A 2,L ,A n ,L 为不相容的随机事件，则有P (U A n )=∑ P (A n )（可列可加性）。

（二）概率的基本性质 1、P (φ)= 0。

n =1n =1nn2、设A 1,A 2,L ,A n 为互不相容的有限个随机事件列，则P (U A k )=∑ P (A k )。

k =1k =13、P (A )= 1- P (A )。

4、（减法公式）P (A - B )= P (A )- P (AB )。

（三）概率基本公式 1、加法公式（1）P (A + B )= P (A )+ P (B )- P (AB )。

（2）P (A + B + C )= P (A )+ P (B )+ P (C )- P (AB )- P (AC )- P (BC )+ P (ABC )。

2、条件概率公式：设A ,B 是两个事件，且P (A )> 0，则P (B |A )=P (AB )。

P (A )3、乘法公式（1）设P (A )> 0，则P (AB )= P (A )P (B |A )。

（2）P (A 1A 2L A n )= P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3 |A 1A 2)L P (A n |A 1A 2L A n -1)。

三、事件的独立性1、两个事件的独立—设A ,B 是两个事件，若P (AB )= P (A )P (B )，称事件A ,B 相互独立。

♣P (AB )=P (A )P (B );2、三个事件的独立—设A ,B ,C 是三个事件，若♠P(AC )=P (A )P (C ); ♠P (BC )=P (B )P (C ); ♠♥P (ABC )=P (A )P (B )P (C ),，称事件A ,B ,C 相互独立。

【注解】（1）A ,B 相互独立的充分必要条件是A ,B、A ,B 、A ,B 任何一对相互独立。

（2）设P (A ) = 0或P (A )= 1，则A 与任何事件B 独立。

（3）设P(A)> 0,P(B)> 0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。

四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,A n满足：（1）A i A j= φ(i,j= 1,2,L,n,i≠ j)；n（2）U A i = ∧ ，则称事件组A1,A2,L,A n为一个完备事件组。

i=12、全概率公式：设A1, A2,L,A n 是一个完备事件组，且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n)，B为事件，则nP(B)= ∑ P(A i)P(B|A i)。

i=13、贝叶斯公式：设A1,A2,L,A n为一个完备事件组，且P(A i)> 0(i= 1,2,L,n)，B为任一随机事件，P(B)> 0，则P(A|B)= P(Ai)P(B|Ai)。

i P(B)例题选讲一、填空题1、设P(A)= 0.4,P(A⋃ B)= 0.7，（1）若A,B不相容，则P(B)=；（2）若A,B相互独立，则P(B) =。

2、设P(A)= P(B)= P(C)=。

1,P(AB)= P(AC) = P(BC)=14 6，则事件A,B,C全不发生的概率为3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：ABC= φ,P(A)= P(B)= P(C)< 1，且有P(A+ B+ C)=9，2 16则P(A)=。

4、设事件A,B满足P(AB)= P(AB)，且P(A)= p，则P(B)=。

5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与A不发生B 9发生的概率相等，则P(A) =。

二、选择题：1、设A,B是两个随机事件，且0< P(A)< 1,P(B)> 0,P(B|A)= P(B|A)，则[ ](A)P(A|B)= P(A|B)；(B)P(A|B)≠ P(A|B)；(C)P(AB)= P(A)P(B)；(D)P(AB)≠ P(A)P(B)。

2、设事件A,B满足0< P(A)< 1,0< P(B)< 1，且P(A|B)+ P(A| B)= 1，则[ ](A)事件A,B对立；(B)事件A,B相互独立；(C)事件A,B不相互独立；(D)事件A,B不相容。

三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。

2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。

3、设事件A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19，求事件A 27发生的概率p。

4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。

第二章一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量—设∧为随机试验E的样本空间，ξ为定义在∧上的函数，对任意的ω ∈∧ ，总存在唯一确定的ξ (ω)与之对应，称ξ 为随机变量，若ξ 的可能取值为有限个或可列个，称ξ 为离散型随机变量，若ξ 在某可区间上连续取值，称ξ 为连续型随机变量。

2、分布函数—设ξ 为一个随机变量，称函数F(x)= P{ξ ≤ x}(-∞ < x< +∞)为随机变量ξ 的分布函数。

【注解1】分布函数的四个特征为（1）0≤ F(x)≤ 1。

（2）F(x)单调不减。

（3）F(x)右连续。

（4）F(-∞) = 0,F(+∞)= 1。

【注解2】分布函数的性质（1）P{X< a}= F(a- 0)。

（2）P{X= a}= F(a)- F(a- 0)。

（3）P{a< x≤ b}= F(b)- F(a)。

（4）P{a< X< b}= F(b- 0)- F(a)。

3、离散型随机变量的分布律—称P{X= x i}= p i(1≤ i≤ n)称为随机变量X的分布律。

【注解】（1）p i≥ 0(1≤ i≤ n)。

（2）p1 + p2 +L+ p n = 1。

n ♦ ♠ ♦ x 4、连续型随机变量的密度函数—设X 的分布函数为F (x )，若存在非负可积函数f (x )，使得xF (x )=⎰-∞f (t )dt ，称f (x )为X 的密度函数。

+∞【注解】（1）f (x )≥0。

（2）⎰-∞f (x )dx =1。

二、常见随机变量及其分布 （一）离散型1、二项分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k }= C k p k (1- p )n -k(0≤ k ≤ n )，称随机变量X 服从二项分布，记为X ~ B (n , p )。

2、Poisson 分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k }= λe -λ (k = 0,1,2,L ) ，称随机变量X 服从泊松分k !布，记为X ~π (λ)。

3、几何分布—若随机变量X 的分布律为P {X = k } = p (1 - p )k -1(k = 1,2,L ) ，称随机变量X 服从几何分布，记为X ~G (p )。

（二）连续型♣ 1, a ≤ x ≤ b1、均匀分布—若随机变量ξ的密度函数为f (x )=♠b -a♠♥0,其他，称随机变量ξ 服从均匀分布，记为♣0,x <0ξ ~U (a ,b )，其分布函数为F (x )= ♠ x- a ,a ≤ x < b 。

♠b -a ♠♥1,x ≥b2、正态分布—若随机变量ξ 的密度函数为f (x ) =1e2πσ(x -μ )22σ 2(-∞ < x < +∞)，称随机变量ξ 服从正态分布，记为ξ ~N (μ,σ 2)，特别地，若μ = 0,σ = 1，称随机变量服从标准正态分布，记为ξ ~N (0,1)，其密度2为ϕ(x ) = 1 e -2 (-∞ < x < +∞)，其分布函数为2πxΦ(x )=⎰-∞ϕ(t )dt 。

♣λe -λx x ≥3、指数分布—若随机变量ξ 的密度为f (x )= ♦ , 0(λ > 0)，称随机变量ξ 服从指数分布，记为♥0,x <0k-⎰ ♣0,x <0ξ ~E (λ)，其分布函数为F (x )= ♦♥1-e-λx。

, x ≥ 0【注解】（1）Φ(0)= 1,Φ(-a )= 1- Φ(a )。

2（2）若ξ ~N (μ,σ 2)，则P {ξ ≤ μ}= P {ξ > μ}= 1。

2（3）若ξ ~N (μ,σ 2)，则ξ - μ~N (0,1)。

σ（4）若ξ ~N (μ,σ 2)，则P {a < ξ ≤ b }= F (b )- F (a )= Φ(b - μ )- Φ(a - μ )。