概率统计经典讲义

则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
1 e-t2 2dt(x)
n
n
- 2
定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方 差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布.
n
Xi n 近似
i1
~ N(0,1)
n
1 n
ni1
Xi
X
近似
~
/ n / n
N(0,1)
近似
X ~ N(,2/n)
定理2（Liapunov中心极限定理）
观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它 的标准化的随机变量
200
P {0 X i k } i1
P{
n
0 np
X i np
i1
n p (1 p )
n p (1 p )
k np } n p (1 p )
n
P { 1 0
X i 10
i1
k 10 }
9 .5
9 .5
9 .5
(k 10 ) ( 10 )
9 .5
9 .5
求最小的k,使
n
n
Xi i
Zn i1
i1
Bn
近似
~ N(0,1)
n
n
近 似
n
X iB nZ n i ~ N ( i,B n 2)
i 1
i 1
i 1
即，无论各个r.v.Xi (i=1,2, …)服从什么分 布，只要满足定理2的条件，当n很大时，
它们的和就近似地服从正态分布.
定理3 (De Moive－ Laplace定理)
0.2
0.2
1 P{ X 14 0} 1 (0) 0.2
1 0.5 0.5
例２ 某单位有200部电话分机,每部电话约有5% 的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线 通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多 少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需 要使用外线时可以打通?
设随机变量 Y n 服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
limP{ Ynnp x} x
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
2
定理3表明，当n很大，0<p<1是一个定 值时（或者说，np(1-p)也不太小时），服从 二项分布的r.v.Yn近似服从正态分布:
N(np,np(1-p))
证： 因为Yn~b(n,p)，故有： Yn=X1+X2+…+Xn
其中Xi ~ b(1,p) (i=1,2, …,n)，且相互独立. 而E(Xi)=p, D(Xi) =p(1-p)(i=1,2, …,n).
于是由Levy－Lindberg定理有: limP{ Yn np x} n np(1p)
lim P
1 n
每箱产品的平均强度为 n i1 X i X
X =
X14=X14
2
0.2
近 似
~ N(0,1)
n 100
(1) P{X 14.5} P{X 14 14.514}
0.2
0.2
P{X 14 2.5}1 P{X 14 2.5}
0.2
0.2
1(2.5) 10.9930 0.0062
(2) P{ X 14} P{ X 14 14 14}
n
n
X k E( X k )
Z n k1
k 1 n
D( X k )
k 1
的分布函数的极限.
n
n
X k E( X k )
考虑 Z n k 1
k 1 n
D( X k )
k 1
的分布函数的极限.
可以证明，若满足一定的条件，则上述极 限分布是标准正态分布.
这就是下面要介绍的
中心极限定理
二、三个常用的中心极限定理
险人每年需交付保险费160元. 若一年内发生重大 人身事故,其本人或家属可获2万元赔金. 己知该 市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005. 现有5000人参加此项保险.求保险公司一年内从此 项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的
P{每部电话需要使用外线时可以打通}≥90%
求最小的k,使P{X1+X2++X200 ≤k}≥90% 求最小的k,使
(k10)(10)0.9
9.5
9.5
( 10)0求解(k10)0.9
9.5
9.5
查附表二 k101.282 k13.95 9.5
∴该单位总机至少需要安装14条外线.
例３ 某市保险公司开办一年人身保险业务.被保
§2 中心极限定理
一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随
机因素所产生的总的影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
解:
令 X i 1 0 ,,
第 i部 电 话 使 用 外 线 通 话 ; 第 i部 电 话 未 使 用 外 线 通 话 .
则 Xi ∼ b(1, 5%)，且X1,X2 , ,X200相互独立.
设该单位总机安装k条外线,则:
P{每部电话需要使用外线时可以打通} =P{使用外线的电话数目≤k} =P{X1+X2++X200 ≤k}
设X1,X2, …是相互独立的r.v.序列，且
E(Xi)=μi ，D(Xi)= σi2，i n
2 i
i1
若存在δ >0，使得
1
B n 2
n
E{Xi i
i1
2} 0(n )
则
n
n
Xi i
x
limP{ i1
i1 x}
n
Bn
-
1 e-t2 2dt
2
定理2表明，当n充分大时，
在概率论中，习惯于把和的分布收敛 于正态分布这一类定理都叫做中心极限定 理.
我们只讨论几种简单情形.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设X1,X2, …是独立同分布的r.v.序列， 且
E(Xi)=，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…
n
n k1Xknpx x np(1p)
1 t2 e2dt
2
例1 设一批产品的强度服从期望为14,方差为4 的分布.每箱中装有这种产品100件.求: (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率; (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率.
解: n=100,设Xi是第i件产品的强度. E(Xi)=14, D(Xi)=4, i=1,2, ,100.