第9讲 二次函数综合探究(教师版)
3 二次函数 数根，其中 为常数 A.
有最大值为 ，若关于 的方程
，则 的取值范围是（ ）．
B.
C.
最多有三个不相等的实 D.
答案 A
解析 点， 所以当
的图象如图，当 时，关于 的方程
时，直线 与
的图象有 个或 个交
最多有三个不相等的实数根．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 函数综合 > 题型：动直线（线段）与定抛物线交点问题
内时，此时，对称轴一定在
的右边，函数方能在
这个区域取得最大值，
，即
，
第二种情况：
当对称轴在
内时，对称轴一定是在区间
的中点的右边，因为如果在中点的
左边的话，就是在 的地方取得最大值，即：
，即
（此处若 取 的话，函数就在 和 的地方都取得最大值）．
综合上所述
．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数增减性
的
C.
D.
答案 D
解析 由题意可知：
， ；由二次函数解析式可知：该二次函数的图象开口向下，对称轴
为 ，顶点坐标为 ．①当
时，二次函数的值 随 的增大而增大，所
以当
时 取最小值，即
，整理得
，解得
（舍去）或
当 时 取最大值，即
，整理得，解得 舍去)或
（舍
去），因此该情况不符合题意．②当
时，二次函数图象在 上 值随 的
二、二次函数方程不等式进阶
经典例题 例题3
1 已知实数 ， 是方程
（ ）．
A.
B.
的两个根，则实数 ， ， ， 的大小关系可能是
C.
D.
答案 D
解析 ∵
，
，
，
又∵
，
，
，
若
， ，根据图像可得
．
故选 ．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数与方程、不等式 > 题型：二次函数与一元二次方程的关 系
时， 恒成立，
∴大致图象如下，由图象可知，
当
时，
当 时，
∴
．
， ，
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数增减性
例题2
1 已知
是关于 的二次函数，当 的取值范围在
大值，则实数 的取值范围是（ ）.
A.
B.
C.
时， 在 时取得最 D.
答案 D
解析 第一种情况：
当二次函数的对称轴不在
2 在平面直角坐标系中，函数
的图像为 ， 关于原点对称的图像为 ，则直线
（ 为常数）与 、 的交点共有（ ）
A. 个
B. 个或 个或 个
C. 个或 个或 个
D. 个或 个或 个或 个
答案 C 解析 此题无解析
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 函数综合 > 题型：动直线（线段）与定抛物线交点问题
此时 若
， ，即
，解得 ，
此时点 的坐标为 ．
若
，即
，解得
，
此时点 的坐标为
．
②如图，当点 在 轴上时，设点 的坐标为 ，
，由题可知点 在点 左边，则
此时 若
， ，即
，解得
，
此时点 的坐标为
．
若
，即
，解得
，
此时点 的坐标为 ． 综上所述，符合条件的点 的坐标为 ，
，
．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数与几何综合 > 题型：二次函数与相似三角形结合
，
解得
，
∵
和 都不满足
的范围，
∴ 值不存在．
③
时， 取得最大值，
，
解得
．
综上所述，
或 时，二次函数有最大值 ．
故答案为： 或 ．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值
3 二次函数
在
时， 恒成立，则实数 的取值范围为
．
答案
解析
，∴抛物线开口向下，
∵在
例题6
如图，矩形
的两边在坐标轴上，点 的坐标为
，抛物线
点，且与 轴的一个交点为
，点 是线段 上的动点，设
过点 ， 两 ．
解析 （1） 略． （2） 略． （3） 略． （4） 略． （5） 略． （6） 略．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值
2当
时，二次函数
有最大值 ，则实数 的值为
．
答案
或
解析 二次函数对称轴为直线
，
①
时，
取得最大值，
，
解得
，
②
时，
取得最大值，例题5 Nhomakorabea如图，抛物线与 轴交于
、
两点，与 轴交于点
，设抛物线的顶点为 ．
（1） 求该抛物线的解析式与顶点 的坐标．
（2） 试判断
的形状，并说明理由．
（3） 探究坐标轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与
出 点坐标；若不存在，请说明理由．
相似？若存在，求
答案 （1）
．
（2）
为直角三角形，证明见解析．
2 已知函数
是
．
，当
时，函数的最大值是 ，则实数 的取值范围
答案
解析
函数
，当
当 时，函数取得最大值，此时 ，
．
时，函数的最大值是 ，
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值
3 二次函数 值为（ ）． A.
，当 B.
且
， 的最小值为 ，最大值为 ，则
第9讲 二次函数综合探究
一、二次函数的最值进阶
经典例题 例题1
1 已知二次函数
，则
（1） 若 为任意实数，求函数
的最小值
．
（2） 若
，求
的最大值、最小值
．
（3） 若
，求
的最大值、最小值
．
（4） 若
，求
的最大值、最小值
．
（5） 若
，求
的最小值、最大值
．
（6） 若 为整数，求函数
的最小值
．
答案 （1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6）
三、二次函数与几何综合进阶
经典例题 例题4
如图，抛物线解析式为
．
y x
O
（1） 点 为抛物线的顶点，在抛物线上找点 使得
，求出所有的点 ．
（2） 在抛物线的对称轴上找一点 ，使得
最大，求 点坐标．
y
x
O
答案 （1）
，
，
，
．
（2）
．
解析 （1） 双轨平行线， ， ， ， ，
，
．
（2） 略．
，
，
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数与几何综合 > 题型：二次函数与将军饮马
（3） 存在，符合条件的点 的坐标为 ，
，
．
解析 （1） 设抛物线的解析式为
把
、
、
， 代入得，
，解得，
，
∴抛物线的解析式为
．
（2）
为直角三角形．理由如下．
由勾股定理可得
，
；
，
；
，
，
∵
，
∴
为直角三角形．
（3） 在
中，
，
，
，
则有
，
又∵
，
∴
，
∴
，
．
①如图，当点 在 轴上时，设点 的坐标为
，
，由题可知点 在点 下方，则
值的增大而增大，在 上 的值随 的值的增大而增小，所以当 时取得最大值，即
，则
；当
，即
时，在
处取得最小值，即
，整理得
，解得
（舍去）或
，此时
符合题意；当
，即
时，在 处取得最小值，
即
，将
代入整理得
，解得
，不符合题意舍去．综上
所述，
的值为 ．
故本题正确答案为 ．
标注 【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值
扬州市初中数学名师工作室交流课件：探索二次函数综合题解题技巧-(共28张PPT)【可编辑全文】
求抛物线和直线BC的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上
的一个动点，求使△BPC为直角三角 形的点P的坐标.
解:设P（-1，t）,结合B(-3,0),C（0，3），
得BC2=OB2+OC2＝18,
PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,
探究平行四边形：①以已知边为平行四
边形的某条边，画出所有的符合条件的 图形后，利用平行四边形的对边相等进 行计算；②以已知边为平行四边形的对 角线，画出所有的符合条件的图形后， 利用平行四边形对角线互相平分的性质 进行计算；③若平行四边形的各顶点位 置不确定，需分情况讨论，常以已知的 一边作为一边或对角线分情况讨论.
（1）求抛物线的解析式并写出 其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛 物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此 时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时， 求四边形PABC面积的最大值及此 时点P的坐标．
方法指导：
1.三角形面积最值.分规则与不规则。有 底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平 行属于规则，直接用面积公式求解。没 有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴 属于不规则，用割补法。
类型四 特殊四边形的探究问题
例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、
C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达
式；
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存
在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平
简单概括就是规则与不规则线段的 表示：规则：横平竖直。横平就是 右减左，竖直就是上减下，不能确 定点的左右上下位置就加绝对值。 不规则：两点间距离公式
(教学设计)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题教学设计
教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。
九年级数学上册《探索二次函数的性质》教案、教学设计
3.拓展提高题：针对学有余力的同学，可以尝试完成课本第XX页的拓展题11-15题，深入研究二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
4.数学写作：请同学们结合本节课所学，撰写一篇关于二次函数性质与应用的小论文，要求观点明确、论据充分，字数在500字左右。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生勇于尝试、善于发现、敢于创新，为未来的发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和一次函数的性质有了初步的了解。在此基础上，学习二次函数的性质，他们需要将已学的知识进行拓展和深化。然而，学生在面对二次函数图像的变换、最值问题的求解等方面可能存在困难。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：求解给定二次函数的顶点、对称轴、开口方向等。
2.应用题目：利用二次函数的性质解决实际问题，如最大（小）值问题、曲线交点问题等。
3.拓展题目：研究二次函数图像的变换规律，以及在实际问题中的应用。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生一起回顾本节课所学的内容，总结二次函数的定义、性质、图像变换规律以及最值问题的求解方法。同时，我会强调数形结合的数学思想在解决二次函数问题中的重要性。
3.对于拓展提高题，同学们可以自主选择题目进行研究和探讨，培养自己的创新意识和解决问题的能力。
4.数学写作要注重逻辑性和条理性，通过论文撰写，提高自己的数学表达和归纳总结能力。
5.小组讨论要积极参与，分享自己的学习心得和经验，互相学习，共同进步。
北师大版九年级下册数学《二次函数》说课教学课件说课
教材延伸
已知函数y=（m2-1）x2+（m-1）x+3，
（1）当m为何值时，此函数是二次函数？
（2）当m为何值时，此函数是一次函数？
解：（1）当m2-1≠0，即m≠±1时，
此函数是二次函数。
（2）当m2-1=0时，且m-1≠0，即m=-1时，此函数是一次函数。
随堂检测
C
2、在一定条件下，若物体运动的路程
与x轴的交点是： ,
y= − +
与x轴的交点是： ,
= − +
与x轴没有交点
+ =
−,
解得： =
= −
− + =
解得： =
− + =
没有实数根
总结归纳
二次函数 = + + 的图像与x轴交点的横坐标就是一元
就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变
量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园
共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多
少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么
请你写出y与x之间的关系式.
课堂探究
（1）自变量：橙子树的棵树或增加的棵树，橙子树间的距离、橙子
少？你能表示这个矩形的面积与边长的关系吗？
解:设其中一边长为x cm,面积为y，
则y=-x2+20x
当y=100时, 即-x2+20x=100
解得 x1=x2=10.
同理当y=-x2+20x=75时,
解得x1=5,x2=15.
这个矩形的面积y与其一边长x的关系为y=-x2+20x.
《二次函数》教案(优秀7篇)
《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。
3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题09 面积比例问题(教师版含解析)
知识导航除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：(1)计算；(2)转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】(1)可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．(2)考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS⨯⨯， 3396442BCD AOCSS =⨯=⨯=， 此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题． 策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．CBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB=，若要APAT 取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=， 故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值， 过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可． 但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ例一、已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；(2)如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)223y x x =--+；顶点坐标为(-1,4)． (2)根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B (-3,0)、C (0,3)， ∴D 点坐标为(-1,2)． 例二、如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】(1)解析式：223y x x =-++(2)显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E (0，5)，(为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2) 过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2． 直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+， 解得：11x =，22x =．故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+， 解得11m =，22m =，故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．1．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ．顶点为点D ． (1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S ∆∆=，求直线CE 的解析式；(3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； (4)已知点45(0,)8H ，(2,0)G ，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，利用待定系数法解决问题即可．(2)求出点E 的坐标即可解决问题．(3)分点P 在x 轴的上方或下方，点P 的纵坐标为1或1-，利用待定系数法求解即可．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．求出直线HB 的解析式，可得点F 的坐标，设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ．证明KF KM =，利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，∴可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，把(0,3)C 代入，可得1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++．(2)如图1中，连接AC ，BC ．:3:5ACE CEB S S ∆∆=，:3:5AE EB ∴=，4AB =，33482AE ∴=⨯=，0.5OE ∴=，设直线CE 的解析式为y kx b =+，则有30.50b k b =⎧⎨+=⎩，解得63k b =-⎧⎨=⎩，∴直线EC 的解析式为63y x =-+．(3)由题意(0,3)C ，(1,4)D ．观察图像可知CD 只能说平行四边形的边，不可能是对角线，当四边形11PQ CD ，四边形22P Q CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1， 当1y =时，2231x x -++=， 解得13x =±，1(13P ∴1)，2(13P ，1)，当四边形33PQ DC ，四边形44P Q DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1-，当1y =-时，2231x x -++=-， 解得15x =±，1(15P ∴+，1)-，2(15P -，1)-，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(13+，1)或(13-，1)或(15-，1)-或(15+，1)-．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．45(0,)8H ，(3,0)B ， ∴直线BH 的解析式为154588y x =-+， 1x =时，154y =， 15(1,)4F ∴， 设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ． 2215(1)()4KF x y =-+-2223(1)4y x x x =-++=--+， 2(1)4x y ∴-=-， 222151717174()()||4244KF y y y y y ∴=-+--+=-， 17||4KM y =-， KF KM ∴=，KG KF KG KM ∴+=+，根据垂线段最短可知，当G ，K ，M 共线，且垂直直线174y =时，GK KM +的值最小，最小值为174， 此时(2,3)K ．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．2．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点(E m ，0)(03)m <<，过点E 作直线l x ⊥轴，交抛物线于点M ．(1)求抛物线的解析式及C 点坐标；(2)当1m =时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；(3)如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设AEM ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2S ，若122S S =，求m 的值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，则可以分CD AD =或AC AD =两种情况，分别求解即可； (3)112M S AE y =⨯⨯，22M S ON x =⋅，即可求解． 【解答】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为223y x x =-++， 当0x =时，3y =，故点(0,3)C ；(2)当1m =时，点(1,0)E ，设点D 的坐标为(1,)a ，由点A 、C 、D 的坐标得，22(01)(30)10AC =++-=，同理可得：24AD a =+，21(3)CD a =+-， ①当CD AD =时，即2241(3)a a +=+-，解得1a =； ②当AC AD =时，同理可得6a =±(舍去负值)； 故点D 的坐标为(1,1)或(1,6)；(3)(,0)E m ，则设点2(,23)M m m m -++，设直线BM 的表达式为y sx t =+，则22303m m sm t s t ⎧-++=+⎨=+⎩，解得133s m t m =--⎧⎨=+⎩，故直线BM 的表达式为(1)33y m x m =--++，当0x =时，33y m =+，故点(0,33)N m +，则33ON m =+； 2111(1)(23)22M S AE y m m m =⨯⨯=⨯+⨯-++，22112(33)(1)(23)2M S ON x m m S m m m =⋅=+⨯==⨯+⨯-++，解得27m =-1-(舍去负值)， 故72m =．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴正半轴于点C ，M 为BC 中点，点P 为抛物线上一动点，已知点A 坐标(1,0)-，且24OB OC OA ==． (1)求抛物线的解析式；(2)当PCM POM ∆≅∆时，求PM 的长； (3)当45ABC BCP S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】(1)先求出点B ，点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)由全等三角形的性质可得PO PC =，可得点M 在CO 的垂直平分线上，即可求解； (3)分两种情况讨论，利用面积关系可求解． 【解答】解：(1)(1,0)A -，1OA ∴=，又24OB OC OA ==， 2OC ∴=，4OB =，(4,0)B ∴，(0,2)C ，点B ，点C ，点A 在抛物线上， ∴216400c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，、∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； (2)连接OM ，M 为BC 中点，(2,1)M ∴，PCM POM ∆≅∆， CM OM ∴=，PC PO =，MP ∴是OC 的垂直平分线，//PM x ∴轴，∴点P 的纵坐标为1，当1y =时，代入213222y x x =-++，解得：3172x ±=， ∴317(,1)2P +或317(,1)2-， 1712PM -∴=或1712+； (3)152ABC S AB OC ∆=⨯⨯=，45ABC BCP S S ∆∆=，4BCP S ∆∴=，(4,0)B ，(0,2)C ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，当点P 在BC 上方时，如图2，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，设点213(,2)22P p p p -++，则点1(,2)2E p p -+，2122PE p p ∴=-+，21144(2)22p p ∴=⨯⨯-+，2p ∴=，∴点(2,3)P ；当点P 在BC 下方时，如图3，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，2122PE p p ∴=-， 21144(2)22p p ∴=⨯⨯-，222p ∴=±，∴点(222,12)P +--或(222,12)--+；综上，点P 的坐标为：(2,3)或(222,12)+--或(222,12)--+．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和点(0,3)C ，抛物线与x 轴的正半轴交于点B ，点D 是抛物线上的一点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，连接OD ，BD ，若点D 是抛物线的顶点，求此时OBD ∆的面积；(3)如图3，连接OD ，BD ，CD ，CB ，设OCD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，是否存在点D ，使12S S =，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法即可求解解析式． (2)求出定点坐标，即可求出三角形的面积．(3)假设存在，先求出直线BC 的解析式，设点出点P 的坐标，利用坐标表示出1S 面积，利用铅垂高表示2S 的面积，最后利用面积相等即可求解．【解答】解：(1)将点(1,0)-、(0,3)代入2y x bx c =-++． ∴013b c c =--+⎧⎨=⎩．解得：23b c =⎧⎨=⎩．∴抛物线的表达式：223y x x =-++．(2)2223(1)4y x x x =-++=--+． (1,4)D ∴令0y =，2230x x -++=． 11x =-，23x =．(1,0)A ∴-、(3,0)B ．OBD ∴∆的面积为：13462⨯⨯=．(3)设点2(,23)D m m m -++OCD ∴∆的面积为1S 为：133||||22m m ⨯⨯=．设直线BC 的解析式为：y kx b =+． 将(3,0)B 、(0,3)C 代入． ∴303k b b +=⎧⎨=⎩．∴13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+．作//DE y 轴，交BC 于点E ．(,3)E m m ∴-+．2|3|DE m m ∴=-+．∴根据铅垂高定义，BCD ∆的面积为2S 为：22133|3||3|22m m m m ⨯⨯-+=-+． 12S S =．∴233|||3|22m m m =-+． 解得：2m =或4． (2,3)D ∴或(4,5)D -．【点评】本题考查待定系数法求解析式，以及三角形面积与函数之间的关联，比较综合，属于压轴题． 5．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与直线3y x =+相交于点A 和点B ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．抛物线的顶点为P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)现将抛物线向右平移m 个单位，当抛物线与ABP ∆有且只有一个公共点时，求m 的值；(3)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得2ABQ ABP S S ∆∆=，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)直线3y x =+中，分别令0x =和0y =可得点A 和B 的坐标，将点A 和B 的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；(2)由图象可知，当抛物线经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A 、B 的坐标，即可求得m 的值；(3)先计算ABP ∆的面积，根据2ABQ ABP S S ∆∆=，可得ABQ ∆的面积，分两种情况：点Q 在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论． 【解答】解：(1)当0x =时，3y =， (0,3)B ∴，当0y =时，30x +=， 3x ∴=-，(3,0)A ∴-，把(3,0)A -和(0,3)B 代入二次函数2y x bx c =-++中得： 9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴这个二次函数的解析式为：223y x x =--+；(2)2223(1)4y x x x =--+=-++， (1,4)P ∴-，将抛物线向右平移m 个单位，P 对应点为(1,4)m -+，∴平移后的抛物线解析式为2(1)4y x m =-+-+，把(0,3)B 代入得，23(1)4m ==--+， 解得12m =，20m =(舍去)， 把(3,0)A -代入得20(2)4m =---+， 解得34m =-，40m =(舍去)， 故m 的值为2或4-；(3)()()111431341333222ABP APD AOB PDOB S S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯=梯形，26ABQ ABP S S ∆∆∴==，设点Q 的坐标为2(,23)a a a --+， 分两种情况：①如图1，当Q 在对称轴的左侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，21(323)(3)62ABQ S a a a a a ∆∴=+++--++=，解得：14a =-，21a =(舍)， (4,5)Q ∴--；②如图2，当Q 在对称的右侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，同理可得1a =， (1,0)Q ∴，综上，点Q 的坐标为(4,5)--或(1,0)．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点是解题的关键．6．如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ． (1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，若35PBC ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--，即44a -=，解得1a =-，可得结论．(2)过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，则5CN =，由35PBC ABC S S ∆∆=知335CM CN ==，故点(0,7)M ，进而求解．(3)由题意得出三角形BOC 为等腰直角三角形，然后分MN EM =，MN NE =，NE EM =三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解答】解：(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--， 即44a -=，解得1a =-，故抛物线的表达式为234y x x =-++①；(2)由抛物线的表达式知，点(0,4)C ，如图，过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，设直线m 、n 分别交y 轴于点M 、(0,1)N -，则5CN =， 由35PBC ABC S S ∆∆=，ABC BCM S S ∆∆=，PBC CMB S S ∆∆=， 35BCM BCN S S ∆∆∴=， 335CM CN ∴==， 故点(0,7)M -，由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为4y x =-+， 而//m BC ，则直线m 的表达式为7y x =-+②， 联立①②并解得1x =或3， 故点P 的坐标为(1,6)或(3,4)．(3)(0,4)C ，(4,0)B ，90COB ∠=︒， OBC ∴∆为等腰直角三角形， 抛物线234y x x =-++的对称轴为32x =， ∴点E 的横坐标为32， 又点E 在直线BC 上， ∴点E 的纵坐标为52，3(2E ∴，5)2， 设3(2M ，)(m N n ，234)n n -++， ①如图2中，当MN EM =，90EMN ∠=︒，由~NME COB ∆∆，则2532234m n m n n ⎧-=-⎪⎨⎪=-++⎩，解得34n m =⎧⎨=⎩或10n m =-⎧⎨=⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2，4)，②当ME EN =，当90MEN ∠=︒时，则253225342m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 解得：515315m n ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或515315m n ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2515)+．③当MN EN =，90MNE ∠=︒时， 此时MNE ∆与COB ∆相似，此时的点M 与点E 关于①的结果3(2，4)对称， 设3(2M ，)m ， 则5442m -=-， 解得112m =， 3(2M ∴，11)2， 此时点M 的坐标为3(2，11)2．故在射线ED 上存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似，点M 的坐标为：3(2，4)，3(2515+或3(2，11)2． 【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．。
九年级数学下册 2.1 二次函数教案 (新版)北师大版
课题：2.1 二次函数教学目标：1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点：重点：理解二次函数的概念．难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，创景导入1、温故知新（多媒体出示复习回顾问题）①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？处理方式：先由学生独立思考，然后找学生口答上述问题，师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”．【教师板书课题：2.1 二次函数】设计意图：复习旧知识，为学习新知识奠定基础，设问质疑引出新知识，使学生产生强烈的求知欲望，充分调动了学生的学习积极性和主动性．二、合作探究，获取新知活动内容1：（多媒体出示）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题：找学生口答，然后师生共同补充；处理完这三个问题后，教师可继续提问：在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园的总产量最多？并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想，用自己的方法去解决问题，对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写，进而验证自己的猜想.设计意图：让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异，以及在解决最大值问题中的作用．活动内容2：（多媒体出示）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.处理方式：先让学生自主独立探求，尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；⑵利息＝本金×利率×期数（时间）．设计意图：让学生通过解决实际生活中的数学问题，进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程．三、归纳总结，生成新知活动内容1：二次函数定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b , c 是常数，0a ≠)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) ．其中x 是自变量，a 为二次项系数，2ax 叫做二次项，b 为一次项系数，bx 叫做一次项，c 为常数项．活动内容2：概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ，b ，c 是常数)当a ，b ，c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？2、下列函数中，哪些是二次函数？ 2(1)y x =； 21(2)y x= ； 2(3)21y x x =-- ； (4)(1)y x x ＝－ ； 2(5)(1)(1)(1)y x x x ＝－－＋－ 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：2(1)1y x ＝＋ ； 2(2)3712y x x ＝＋－； (3)2(1)y x x ＝－4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？处理方式：先让学生自主独立思考，尝试解答，然后找学生口答；师生共同纠错．设计意图：进一步加深对二次函数概念的理解与认识，学会运用概念解决一些简单的数学问题．同时对二次函数的特征及注意事项进行强调：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自 变量x 的整式；（2）a ，b ，c 为常数，且0a ≠；（3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量x 的取值范围是任意实数．活动内容3：应用提升例 已知函数22(2)21m y m x x -=++-是二次函数，求m 的值．处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后找学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1．函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 2．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．22(3)S x π=+B ．9S x π=+C ．22(3)S x π=+ D ．24129S x x π=++ 3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．4．下列函数中，二次函数是（ ）A ．261y x =+B ．61y x =+C ．61y x =+D ．261y x=+ 5．若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）基础作业：课本 P30 习题2.1 第1题，第3题，第4题．拓展作业：助学P210 自主评价第1——6题．板书设计：百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
九年级数学初三下册：难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】教案 教学设计
难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错4】3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．三、与面积相关的问题4．如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 的值为( )A ．1 B.12 C.43 D.455．★如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．◆类型二 抛物线与特殊四边形的综合6．抛物线y ＝－x 2＋6x －9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是( )A ．(－6，0)B ．(6，0)C ．(－9，0)D ．(9，0)7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A ，B ，C 三点的拋物线的函数关系式是________________．8．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)上，则a 的值为________．9．正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O ，P ，A 三点坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．参考答案与解析1．解：(1)由题意得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，b 2＝2，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)存在．∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称，∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点C 的坐标为(3，0)．∵y ＝x 2－4x ＋3，∴点B 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎨⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴直线BC 与直线x ＝2的交点坐标为(2，1)，即点P 的坐标为(2，1)．2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的函数关系式为y ＝x 2－2x －3. (2)当点P 在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时点P 的横坐标为－b2a＝1，故点P 的坐标为(1，0)．(3)点M 的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)． 解析：抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝1.设点M 的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则 MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(m ＋3)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝12＋32＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，解得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，解得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ，y ＝x －2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3，∴点B 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(－1，－3)．(2)证明：分别过A ，C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D ，E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，CE ＝3，∴BE ＝CE ，∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．(3)解：假设存在满足条件的点N ，设点N 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x)，∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|.由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝3 2.∵MN ⊥x 轴，∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MNAB＝ON BC 或MN BC ＝ON AB .①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x||－x ＋2|＝13|x|.∵当x ＝0时，M ，O ，N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x＝73，此时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0；②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x||－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时点N 的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N 点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0或(－1，0)或(5，0)．4．D 解析：∵y ＝－x 2＋4x －k ＝－(x －2)2＋4－k ，∴顶点D 的坐标为(2，4－k)，点C 的坐标为(0，－k)，∴OC ＝k.∵△ABC 的面积为12AB ·OC ＝12AB ·k ，△ABD 的面积为12AB ·(4－k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，∴k ＝14(4－k)，解得k ＝45.故选D.5．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝3.(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F.则S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4.S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x.则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x－4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.6．D 解析：令x ＝0，得y ＝－9，∴点B 的坐标为(0，－9)．∵y ＝－x 2＋6x －9＝－(x －3)2，∴点A 的坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝3.∵点C 在抛物线上，且四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，即BC ∥x 轴，∴点C 的坐标为(6，－9)，∴BC ＝6，∴AD ＝6，∴点D 的坐标为(9，0)．故选D.7．y ＝－512x 2－12x ＋203解析：依题意得A 点的坐标为(－4，2)，B 点的坐标为(－2，6)，C 点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎨⎧16a －4b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝6，4a ＋2b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－512，b ＝－12，c ＝203.∴抛物线的函数关系式为y ＝－512x 2－12x ＋203.8．－23解析：连接OB.∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴∠BOC ＝45°，OB ＝1×2＝ 2.过点B 作BD ⊥x 轴于点D.∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝12OB ＝22，∴OD ＝OB 2－BD 2＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22.∵点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)上，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝－22，解得a＝－23.9．解：(1)以O 点为原点，线段OA 所在的直线为x 轴，线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，∴点O 的坐标为(0，0)，点A 的坐标为(4，0)，点P 的坐标为(2，2)．②设抛物线l 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由抛物线l 经过O ，P ，A 三点，得⎩⎨⎧0＝c ，0＝16a ＋4b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝0.∴抛物线l 的解析式为y ＝－12x 2＋2x. (2)∵点E 是正方形内的抛物线l 上的动点，∴设点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m 2＋2m (0＜m＜4)，∴S△OAE ＋S△OCE＝12OA·yE＋12OC·xE＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12m2＋2m＋12×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.。
难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题(解析版)
难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题【考点导航】目录【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1)．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，点F(-6，3)在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】(1)A(-2，-1)，B(2，3)；抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2(2)存在，点E的坐标E(6，-1)或E(10，-13)(3)-2≤x≤2，当t=2时，S的最大值为16【分析】(1)将抛物线C 1改为顶点式可得A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入y 2=ax 2+x +c ，求得y 2=-14(x -2)2+3，即可求出B (2，3)；(2)易得直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE⊥AB ，E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 ，不符合题意；(3)由y 1≤y 2，得-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，易求直线AF 的解析式：y =-x -3，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，S 1=12t 2+4t +6，设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=2-12t 2，所以S =S 1+S 2=4t +8，即当t =2时，S 的最大值为16．【详解】(1)抛物线C 1：y 1=14x 2+x =14(x +2)2-1∴A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入抛物线C 2：y 2=ax 2+x +c ，得：4a -2+c =-136a +6+c =-1 ，解得：a =-14c =2 ，∴y 2=-14x 2+x +2=-14(x -2)2+3，∴B (2，3)；(2)设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则-2k +b =-12k +b =3 ，解得：k =1b =1∴直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，k BE ·k AB =-1，∴k BE =-1，故可设直线BE 解析式为y =-x +b ，将B 点坐标代入，得：3=-2+b ，解得：b =5，直线BE 解析式为y =-x +5．联立y =-x +5y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=2y 1=3 ，x 2=6y 2=-1，∴E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，同理得AE 解析式：y =-x -3．联立y =-x -3y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=-2y 1=-1 ，x 2=10y 2=-13，∴E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 由AE ⊥BE 得k BE ·k AE =-1，即-14m 2+m -1m -2⋅-14m 2+m +1m +2=-1，整理，得：(m +2)(m -2)[(m -2)(m -6)+16]=0，∴m +2=0或m -2=0或(m -2)(m -6)+16=0(无解)，∴解得m =2或-2(不符合题意舍去)，∴点E 的坐标E (6，-1)或E (10，-13)；(3)∵y 1≤y 2，∴-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，设直线AF 的解析式为y =mx +n ，则-2m +n =1-6m +n =3 ，解得：m =-1n =-3∴直线AF 的解析式：y =-x -3，如图，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则Q -14t 2-t -3，14t 2+t ，∴S 1=12QM •y F -y A =12t 2+4t +6．设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=12PN •|x A -x B |=2-12t 2，∴S =S 1+S 2=4t +8，∴当t =2时，S 的最大值为16．【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)新定义：我们把抛物线y =ax 2+bx +c (其中ab ≠0)与抛物线y =bx 2+ax +c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“关联抛物线”为：y =3x 2+2x +1．已知抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2．(1)写出C 2的解析式(用含a 的式子表示)及顶点坐标；(2)若a >0，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线C 1，C 2于点M ，N ．①当MN =6a 时，求点P 的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0 ，顶点为-2，-3 (2)①P -1,0 或2,0 ；②a =2-2或a =2．【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3 ，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2，根据题意可得，C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3(2)解：①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3∴MN =4ap 2+ap +4a -3-ap 2+4ap +4a -3=3ap 2-3ap∵MN =6a∴3ap 2-3ap =6a∵a ≠0∴p 2-p =±2当p 2-p =2时，解得p 1=-1，p 2=2当p 2-p =-2时，方程无解∴P -1,0 或2,0②∵C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3 ，对称轴为x =-2∵a >0，∴a -2>-2当-2 -a -4 ≥a -2--2 时，即a ≤1时，函数的最大值为a a -4+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a a -2 2=2a∵a ≠0∴a -2=±2解得a 1=2-2,a 2=2+2(a ≤1，舍去)∴a =2-2当-2 -a -4 <a -2--2 时，且a -4<-2即1<a <2时，函数的最大值为a a -2+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3=2a∵a ≠0∴a =±2解得a 1=2,a 2=-2(1<a <2，舍去)∴a =2当a -4≥-2时，即a ≥2时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为a a -2+2 2-3=a 3-3，最小值为a a -4+2 2-3=a a -2 2-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3-3-a a -2 2+3=2a即a 3-a a -2 2-2a =0∵a ≠0即a 2-a -2 2-2=0解得a =32(a ≥2舍去)综上所述，a =2-2或a =2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】1(2023·贵州遵义·统考三模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5．(1)函数y =-2x 2+2x +1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．(2)已知二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4(其中a ≠0且a ≠1且a ≠12)，其友好同轴二次函数记为C 2．①若函数C 1的图象与函数C 2的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标)，求线段AB 的长；②当-3≤x ≤0时，函数C 2的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线x =12，y =3x 2-3x +1(2)①4；②-1或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数C 2，联立函数C 1，C 2，解方程可求出点A ,B 的坐标，由此即可得；②分a <1且a ≠0且a ≠12、a >1两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：函数y =-2x 2+2x +1=-2x -12 2+32的对称轴为直线x =12，因为1--2 =3，所以设函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x -12 2+m =3x 2-3x +34+m ，所以34+m =1，解得m =14，所以函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x 2-3x +1，故答案为：直线x =12，y =3x 2-3x +1．(2)解：①二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4=a x +2 2+4-4a ，则设C 2:y =1-a x +2 2+b =1-a x 2+41-a x +4-4a +b ，所以4-4a +b =4，解得b =4a ，所以C 2:y =1-a x 2+41-a x +4，联立y =ax 2+4ax +4y =1-a x 2+41-a x +4 得：2a -1 x 2+42a -1 x =0，解得x =0或x =-4，当x =0时，y =4；当x =-4时，y =16a -16a +4=4，所以A -4,4 ,B 0,4 ，所以AB =0--4 =4；②函数C 2:y =1-a x 2+41-a x +4=1-a x +2 2+4a 的对称轴为直线x =-2，(Ⅰ)当a <1且a ≠0且a ≠12时，抛物线的开口向上，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而减小；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而增大，则当x =-2时，y 取得最小值，最小值为4a ，当x =0时，y 取得最大值，最大值为4，所以4-4a =8，解得a =-1，符合题设；(Ⅱ)当a >1时，抛物线开口向下，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而增大；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而减小，则当x =-2时，y 取得最大值，最大值为4a ，当x =0时，y 取得最小值，最小值为4，所以4a -4=8，解得a =3，符合题设；综上，a 的值为-1或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其“友好对称二次函数”L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为0<m <2 ，它们关于L 1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C ，CB ．①若a =3，且四边形BB C C 为正方形，求m 的值；②若m =1，且四边形BB C C 邻边之比为1:2，直接写出a 的值．【答案】(1)y =43x 2，y =23x 2+2x -5；(2)①②③；(3)①m 的值为11-1015；②a 的值为-16或76或13或23【分析】(1)根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同，据此求解即可；(2)根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；(3)①根据题意可得：二次函数L 1：y =3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =-2x 2+8x +1，点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据四边形BB C C 为正方形，得出方程求解即可；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据题意：四边形BB C C 的邻边之比为1：2，得出BC =2BB 或BB =2BC ，求解即可得．【详解】解：(1)∵a =1--13 =43，∴函数y =-13x 2的“友好对称二次函数”为y =43x 2；a =1-13=23，原函数的对称轴为：x =-12×13=-32，∴-b 2×23=-32，∴b =2，c =-5，∴函数y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为y =23x 2+2x -5，,故答案为：y =43x 2；y =23x 2+2x -5；(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵1÷2=12，∴二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =1-a x 2-21-a x +3，③正确；若y =12x 2+x +1，则其“友好对称二次函数”为y =12x 2+x +1，此时这两条抛物线与x 轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；(3)二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a=2，其“友好对称二次函数”L 2：y =1-a x 2-41-a x +1．①∵a =3，∴二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =1-a x 2-41-a x +1=-2x 2+8x +1，∴点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，∴点B 的坐标为4-m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为4-m ,-2m 2+8m +1 ，∴BC =-2m 2+8m +1-3m 2-12m +1 =-5m 2+20m ，BB =4-m -m =4-2m ，∵四边形BB C C 为正方形，∴BC =BB ，即-5m 2+20m =4-2m ，解得：m 1=11-1015，m 2=11+1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11-1015；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，∴点B 的坐标为3,-3a +1 ，点C 的坐标为3,3a -2 ，∴BC =3a -2--3a +1 =6a -3 ，BB =3-1=2，∵四边形BB C C 的邻边之比为1：2，∴BC =2BB 或BB =2BC ，即6a -3 =2×2或2=26a -3 ，解得：a 1=-16，a 2=76，a 3=13，a 4=23，∴a 的值为-16或76或13或23．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y =-x 2+bx -3经过点-1,0 ，则b =，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 ，以y 轴上的点M 0,m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．(2)已知抛物线y =-x 2-2x +5关于点0,m 的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 ．①若抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点0,k +12 的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点0,k +22 的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；⋯；关于点0,k +n 2 的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ，⋯(n 为正整数)．求A n A n -1的长(用含n 的式子表示)．【答案】(1)-4；-2,1 ；y =x 2-4x +5；(2)m ≤5(3)①a =3b =-3 ；衍生中心的坐标为0,6 ；②4n -2【分析】(1)把-1,0 代入y =-x 2+bx -3即可求出b =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于0,1 的对称点，从而可写出原抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y =-x 2-2x +5的顶点是-1,6 ，从而求出-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，得y '=x -1 2+2m -6，根据两抛物线有交点，可以确定方程-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，继而求得m 的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 以及抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出B 1B 2，B 2B 3⋯ B n B n +1分别是AA 1A 2，△AA 2A 3⋯△AA n A n +1的中位线，继而可得A 1A 2=2B 1B 2，A 2A 3=2B 2B 3，⋯A n A n +1=2B n B n +1，再根据点的坐标即可求得A n A n -1的长，即可求解．【详解】(1)解：把-1,0代入y =-x 2+bx -3，得b =-4，∴y =-x 2-4x -3=-x +2 2+1，∴顶点坐标是-2,1 ，∵-2,1 关于0,1 的对称点2,1 ，∴成中心对称的抛物线表达式是：y =x -2 2+1，即y =x 2-4x +5，故答案为：-4，-2,1 ，y =x 2-4x +5；(2)∵y =-x 2-2x +5=-x +1 2+6，∴顶点是-1,6∵-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，∴y '=x -1 2+2m -6，∵两抛物线有交点，∴-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，∴x 2=5-m 有解，∴5-m ≥0，∴m ≤5；(3)①∵y =ax 2+2ax -b =a x +1 2-a -b ，∴顶点-1,-a -b ，代入y =bx2-2bx+a2得：b+2b+a2=-a-b①∵y =bx2-2bx+a2=b x-12+a2-b，∴顶点1,a2-b，代入y=ax2+2ax-b得：a+2a-b=a2-b②由① ②得a2+a+4b=0 a2-3a=0，∵a≠0，b≠0，∴a=3b=-3 ，∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是0，6；②如图，设AA1，AA2⋯AA n，AA n+1与y轴分别相于B1，B2⋯ B n，B n+1，则A,A1，A,A2，⋯A,A n，A,A n+1分别关于B1，B2⋯B n，B n+1中心对称，∴B1B2，B2B3⋯ B n B n+1分别是△AA1A2，△AA2A3⋯△AA n A n+1的中位线，∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，⋯A n A n+1=2B n B n+1，∵B n0，k+n2，B n-10，k+n-12，∴A n A n-1=2B n B n-1=2k+n2-k-n-12=4n-2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n为正整数)，直接写出A n A n+1的长(用含n的式子表示)．【答案】(1)b=-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)m≤5；(3)4n+2【分析】(1)利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点(0，-3)，求出点(-2，1)和(0，-3)关于(0，1)的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；(2)求出抛物线的顶点坐标(-1，6)，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；(3)求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴(0，-3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，∵点(0，5)在新抛物线上，∴5=a(0-2)2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5，故答案为-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)∵抛物线y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m ≤5；(3)抛物线y =ax 2+2ax -b 的顶点坐标为(-1，-a -b )，∵点(-1，-a -b )关于点(0，k +n 2)的对称点为(1，a +b +2k +2n 2)，∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a +b +2k +2n 2)，同理：A n +1(1，a +b +2k +2(n +1)2)∴A n A n +1=a +b +2k +2(n +1)2-(a +b +2k +2n 2)=4n +2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【答案】(1)1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32(2)①a =23；②34<a ≤1或-14≤a <-15【分析】(1)根据顶点式y =a x -h 2+k 的顶点坐标为h ，k ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；(2)①写出点B 的坐标，再由对称轴求出点B ，然后结合正方形的性质列出方程求a ；②先由对称性分析得到封闭区域内在x 轴上整点的个数，然后针对抛物线L 开口的不同进行分类讨论．【详解】(1)解：由y =x -1 2-2知顶点坐标为1，-2 ，由y =-x -1 2+2知顶点坐标为1，2 ，∴抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为y =12x -1 2-32；故答案为：1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32．(2)①当x =1时，y =1-3a ，∴B 1，1-3a ，∴C 1，3a -1 ，∴BC =1-3a -3a -1 =2-6a ，∵抛物线L 的对称轴为直线x =--4a 2a=2，∴点B 3，1-3a ，∴BB =3-1=2，∵四边形BB C C 是正方形，∴BC =BB ，即2-6a =2，解得：a =0(舍)或a =23．②抛物线L 的对称轴为直线x =2，顶点坐标为2，1-4a ，∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称，∴整点数也是关于x 轴对称出现的，∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个，L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i )当a >0时，∵L 开口向上，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x =1时，-2≤1-3a <-1，当x =2时，-3≤1-4a <-2，解得：34<a ≤1；(ii )当a <0时，∵L 开口向下，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x =2时，1<1-4a ≤2，当x =-1时，5a +1<0，解得：-14≤a <-15，综上所述：34<a ≤1或-14≤a <-15．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3 O 4,0 C 3,1 A 2,0 D1,-3 ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【答案】(1)①2,0；②见解析；(2)①-3≤x ≤-1；②±1；③y =18x 2【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m ，-m 2 ，则图象L ′的顶点为P 3m ,m 2 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，再由抛物线M 与L 有唯一交点，分两种情况：当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时符不符合题意；当a ≠-1时，有Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，根据当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m 取任意实数时，上述等式成立，从而得到36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，即可求解．【详解】(1)解：①∵点B-1,3与点B 5,-3关于点A中心对称，∴点A的坐标为-1+52,-3+32，即A2,0 ，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：(2)解：①当m=-1时，抛物线L为y=x2+2x，对称轴为x=-1，∴它的“孔像抛物线”L 的解析式为y=-x+2x+4，对称轴为x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②L：y=x2-2mx=x-m2-m2，设顶点为P m，-m2，过点P作PM⊥x轴于点M，“孔像抛物线”L 的顶点为P ，过点P 作P M ⊥x轴于点M ，由题意得：△PMA≌△P M A，∴M 3m,0，∴P 3m,m2，∵抛物线L及“孔像抛物线”L 与直线y=m有且只有三个交点，∴-m 2=m 或m 2=m ，解得m =m =±10，当m =0时，y =x 2与y =-x 2只有一个交点，不合题意，舍去，∴m =±1．③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，∴设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，∴a x 2+b x +c =-x 2+6mx -8m 2，整理得：a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，∵抛物线M 与L 有唯一交点，当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当a ≠-1时，Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，即b 2-12b m +36m 2-4a +1 ⋅8m 2-4c a +1 =0，整理得：36-32a +1 m 2-12b m +b 2-4c a +1 =0，∵当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m 取任意实数时，上述等式成立，∴36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，解得：a =18b =0c =0，∴该函数解析式为y =18x 2．故答案为：y =18x 2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x =a 成轴对称，当x ≤a 时，取顶点x =a 左侧的抛物线的部分；当x ≥a 时，取顶点在x =a 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x =a 的一对伴随抛物线．例如：抛物线y =(x +1)2x ≤0 与抛物线y =(x -1)2x ≥0 就是关于直线x =0(y 轴)的一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【答案】(1)y=(x-4)2+3x≥1.5(2)①m=2；②14-52或14+52；③m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【分析】(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；③当B点在x轴下方时，抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，求出此时m的取值范围便可．【详解】(1)∵抛物线y=(x+1)2+3(x≤1.5)的顶点坐标(-1,3)，∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)2+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx2-2m2x+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m2+2，∴m=0(舍去)，m=2，∴m=2；②如图1和图2，∵∠AOB =90°，∴点B 在x 轴上，∴点B 的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y =mx 2-2m 2x +2中，得16m -8m 2+2=0，解得，m =2+52或2-52，∵y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为：x =--2m 22m=m ，即抛物线y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为2+52或2-52，则抛物线y =mx 2-2m 2x +2关于直线x =4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：4+4-2+52 =14-52，或4+4-2-52 =14+52，∴ “伴随抛物线”的顶点横坐标为14-52或14+52；③如图3和图4，∵点C 、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，A (0,2)，抛物线y =mx 2-2m 2x +2及其关于直线x =4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，∴点B 在x 轴下方，设B (4,n )，则n <0，把B (4,n )代入y =mx 2-2m 2x +2中，得n =16m -8m 2+2，∴n =16m -8m 2+2<0，∴由二次函数n =16m -8m 2+2图象可知，当m <0时，若n <0，则m <2-52；当m >0时，若n <0，则m >2+52．又∵m ≠4，∴m >2+52且m ≠4，故m <2-52或m >2+52且m ≠4．当点B 在线段AC 上时，16m -8m 2+2=2，解得m =2，此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，当点B 在AC 的上方，抛物线的顶点在AC 与OD 之间时，符合题意，则有16m-8m2+2>2-m3+2>0，解得，0<m<32，综上所述，满足条件的m的值为m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【答案】(1)-2，-4；(2)ak=-2；(3)成立，理由见解析；(4)-18或-9或-6【分析】(1)先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)同(1)的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；(3)分a<0，a>0两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，根据题意得出k s:k t=1:2，从而得出s:t=1:2，根据题中s,t的范围得出s,t的值，再得出k的值，然后由ak=-2即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+1中，令x=0，则y=1，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-12,1 2，D12,12或B12,12，D-12,12，∴将12,1 2代入抛物线y=ax2+1中，得1 4a+1=12，解得：a=-2；∵抛物线y=12x2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=12x2+k中，得1 2×k24+k=k2，解得：k1=0(不合题意，舍去)；k2=-4，∴k=-4；故答案为：-2，-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=ax2+k中，得a×k24+k=k2，解得：ak=-2，k2=0(不合题意，舍去)；∴ak=-2；(3)a，k数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，正方形ABCD，又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD=k，BD⊥AC，∴点D的坐标为h+k2,k 2，∵点D在抛物线y=a x-h2+k a≠0，∴k 2=a h+k2-h2+k，解得-k2=ak24，∴ak=-2；当a>0时，同理可得ak=-2．∴若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，a，k数量关系仍为ak=-2；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，∵系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，∴k n≥0，∵美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t的内接正方形的面积之比为1：4，∴k s:k t=1:2，∵s,k s，t,k t在直线y=16x上，∴s:t=1:2，∵s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6，∴s=1t=2或s=2t=4或s=3t=6，∴k s=16k t=13或k s=13k t=23或k s=12k t=1，∵ak=-2，∴a s=-12a t=-6或a s=-6a t=-3或a s=-4a t=-2，∴a s+a t=-18或-9或-6．【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n =-x 2-nx +1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1,P 2,P 3,⋯,P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1,C 2,C 3,⋯,C n ，其横坐标分别为-k -1,-k -2,-k -3,⋯,-k -n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y =1分别交“系列平移抛物线”于点A 1,A 2,A 3,⋯,A n 连接C n A n ,C n -1A n -1，判断C n A n ,C n -1A n -1是否平行？并说明理由．【答案】(1)①②③；(2)①P n -n 2,n 24+1 ，y =x 2+1，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③C n A n 与C n -1A n -1不平行,理由见解析【分析】(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，③当y =1时，则-x 2-x +1=1，可得x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，可得x =0或x =-2；-x 2-3x +1=1，可得x =0或x =-3；所以相邻两点之间的距离都是1，(2)①y n =-x 2-nx +1的顶点为-n 2，n 2+44，可得y =x 2+1；②横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，⋯，-k -n (k 为正整数)，当x =-k -n 时，y =-k 2-nk +1，纵坐标分别为-k 2-k +1，-k 2-2k +1，-k 2-3k +1，⋯，-k 2-nk +1，相邻两点间距离分别为1+k 2；③由题可知C n (-k -n ,-k 2-nk +1)，C n -1(-k -n +1,-k 2-nk +k +1)，A n (-n ,1)，A n -1(-n +1,1)．比较∠DA n C n ≠∠EA n -1C n -1，即可得出结论C n A n 与C n -1A n -1不平行．.【详解】解：解：(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；①正确；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，由x =-12向左移动12得到x =-1，再向左移动12得到x =-32，②正确；③当y =1时，则-x 2-x +1=1，∴x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，。
人教初中数学九上第22章二次函数综合问题市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
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5
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第一关
• 1.根据条件，求二次函数关系式 • （1）已知抛物线通过点（2,6），（-1,0）
（3,0） ； • （2）已知抛物线的顶点为（1,-2）且过点
（3,2）.
第二关
• 2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴 交
• C点，点A的坐标为（2，0），点1 C的坐标为 • （0，3）它的对称轴是直线x= 2 • 求抛物线所对应的函数关系式
二次函数的综合问题 （一）求二次函数的关系式
办法回想
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6
• 用待定系数法求二次函数关系式的办法
• 1.普通式：已知三个点的
• 2.顶点式：已知顶点坐标或对称轴或最值
y a(x -15 h)2 k
-10
-5
• 3.交点式：已知抛物线与X轴的两个交点 -2
y a(x x1)(x x2 )
第三关
我来当家做主！！！
请各位小老师编一道题目
题设：
结论：二次函数关系式 y x2 2x 3
小结
• 二次函数关系式的拟定 • 1.分析题意，选择适宜的形式（普通式，顶
点式，交点式） • 2.找出已知点，代入求值 • 3.写出二次函数关系式
作业
我是小小命题家
• 每位同窗自己编3道形式不同而所求二次函数关系式