【数学】2017-2018年陕西省宝鸡市金台区高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
【真题】18年陕西省宝鸡市金台区高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）3．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣46．（5分）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150种B．180种C．240种D．540种7．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=1，点P是斜边上的一个三等分点，则=（）A．0 B．1 C．D．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a 的取值范围为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=lnx在区间（0，3）上任取一个实数x0，则使得f （x0）≥0的概率为．14．（5分）函数f（x）=cos2x﹣cosx的最小值为．15．（5分）若数列{a n}是正项数列，且，则=．16．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若，则=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，bc=6，求△ABC的周长．18．（12分）某校举办“中国诗词大赛”活动，某班派出甲乙两名选手同时参加比赛．大赛设有15个诗词填空题，其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个．每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答，3个全答对选手得3分，答对2个选手得2分，答对1个选手得1分，一个都没答对选手得0分．已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5，4，3，乙能答对的题目个数依此为4，5，4，假设每人各题答对与否互不影响，甲乙两人答对与否也互不影响．求：（Ⅰ）甲乙两人同时得到3分的概率；（Ⅱ）甲乙两人得分之和ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．20．（12分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（﹣3，﹣2），（﹣2，0），（4，﹣4），（，）．（Ⅰ）求C1，C2的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N且满足⊥？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ 与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2017-2018学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：==+i，∴复数=﹣i在复平面对应的点位于第三象限．故选：C．2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）【解答】解：集合A={x|x＜2}，由x∈R，2x＞0，可得B={y|y=2x﹣1}={y|y＞﹣1}，则A∩B={m|﹣1＜m＜2}=（﹣1，2）．故选：D．3．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其表面积包括底面半圆的面积，轴截面面积和半个圆锥的侧面积，由半圆锥的底面半径为1，高为2，可得母线长为故S=+×2×2+=，故选：B．5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣4【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣．由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=1﹣2×0=1．故选：B．6．（5分）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150种B．180种C．240种D．540种【解答】解：根据题意，分2步分析：①、先将5人分成3组，有1、2、2和1、1、3两种分组方法，若分成1、2、2的三组，有=15种方法，若分成1、1、3的三组，有=10种方法，则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应3种题型，有A33=6种情况，则不同分派方法种数有（15+10）×6=150种；故选：A．7．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【解答】解：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人．对比选项，选项C正确．故选：C．8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5=0⇔（x﹣3）2+y2=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=9①又双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇔bx±ay=0，∴=2 ②连接①②得，可得c=3，所以双曲线的离心率为：=．故选：C．10．（5分）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=1，点P是斜边上的一个三等分点，则=（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=1，点P是斜边上的一个三等分点，则•+•=•（+）=（+）（+）=（+）（+）=（+）+）=2+2+•=×1+×1+0=1；故选：B．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，∴AB2+BC2=AC2，PA2+AB2=PB2，PA2+AC2=PC2，∴AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC，∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，，0），C（0，，0），P（0，0，1），=（，，0），=（0，，﹣1），设异面直线PC与AB所成角为θ，则cosθ=||=||=，∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a 的取值范围为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．D．【解答】由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，=g（0）=0．即g（x）最小值对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，=f（1）=﹣1，∴f（x）最大值∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，=f（1）=﹣a﹣1≤0，∴f（x）最大值得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=lnx在区间（0，3）上任取一个实数x0，则使得f（x0）≥0的概率为．【解答】解：已知区间（0，3）长度为3，满足f（x0）≥0，lnx0≥0，解得1≤x0＜3，对应区间长度为2，由几何概型公式可得，使f（x0）≥0成立的概率是．故答案为：14．（5分）函数f（x）=cos2x﹣cosx的最小值为．【解答】解：f（x）=cos2x﹣cosx，=2cos2x﹣cosx﹣1，=，当cosx=时，，故答案为：15．（5分）若数列{a n}是正项数列，且，则=2n2+2n．【解答】解：令n=1，得=2，∴a 1=4.，当n≥2时，=（n﹣1）2+（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+n）﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，∴a n=4n2，n=1时，a1适合a n．∴a n=4n2，∴=4n，∴则=4（1+2+3+…+n）=4×=2n2+2n．故答案为：2n2+2n．16．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若，则=2．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0），准线为l：x=﹣，点A∈l，设A（﹣，a），B（m，n），则∵=3，∴=，∴m=∴n=±∴|BF|==，∴=3×=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，bc=6，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵，∴，∴s，，又∵A∈（0，π），∴（2），即（b+c）2﹣3bc=7，又∵bc=6，∴b+c=5，．18．（12分）某校举办“中国诗词大赛”活动，某班派出甲乙两名选手同时参加比赛．大赛设有15个诗词填空题，其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个．每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答，3个全答对选手得3分，答对2个选手得2分，答对1个选手得1分，一个都没答对选手得0分．已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5，4，3，乙能答对的题目个数依此为4，5，4，假设每人各题答对与否互不影响，甲乙两人答对与否也互不影响．求：（Ⅰ）甲乙两人同时得到3分的概率；（Ⅱ）甲乙两人得分之和ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A i为甲得分为i分（i=1，2，3），事件B i为乙得分为i分（i=1，2，3），则，，，，，；又甲、乙两人同时得3分为事件A3•B3，则；（5分）（Ⅱ）甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为2，3，4，5，6；则，，，，；（10分）所以ξ的分布列为（11分）所以ξ的数学期望为．（12分）19．（12分）如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，∵AC⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，∴，，．设平面A 1BD的法向量，由，取z=，得，设平面DCF的法向量，由，取z=，得．设二面角A1﹣BD﹣C1为θ，则．20．（12分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（﹣3，﹣2），（﹣2，0），（4，﹣4），（，）．（Ⅰ）求C1，C2的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N且满足⊥？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线C2的标准方程为y2=2px（p≠0），则有，据此验证四个点知（﹣3﹣2），（4，﹣4），在抛物线上，易得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x设椭圆（a＞b＞0，把点，（﹣2，0），（，）．代入可得a=2，b=1所以椭圆C1的标准方程为；（Ⅱ）由椭圆的对称性可设C2的焦点为F（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1；直线l交椭圆C1于点M（1，），N（1，﹣），•≠0，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），并设M（（x1，y1），N（x2，y2）由，消去y得，（1+k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，于是，…①，由得x 1x2+y1y2=0…②将①代入②式，得，解得k=±2所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x﹣y+2=0或2x+y+2=0．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax2+lnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=﹣ax2+lnx，得f′（x）=﹣2ax+=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得=﹣＜0，=＞0，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=﹣ax2+lnx+a=a（1﹣x2）+lnx＞0，满足题意；当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）max=f（1）=﹣a，﹣a＞﹣a不成立；当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，此时=，由，得1+ln2a＜2a，令g（a）=1+ln2a﹣2a，则g′（a）=，则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，∴0＜a＜．综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ 与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆C1：ρ=4cosθ 化为ρ2=4ρcosθ，∴圆C1的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0．直线l的直角坐标方程y=x．由，解得或．∴A（0，0），B（2，2）．从而圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即x2+y2=2x+2y．将其化为极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．（Ⅱ）∵，∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+2+=2+2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x ＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣≤x≤4时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
陕西省宝鸡市金台区高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=( )A．{x|x＞1} B．{x|x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜1}2．投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为( )A．B．C．D．3．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=( )A．3 B．2 C．5 D．4．阅读程序框图，若输出的，则输入的x的值可能为( )A．﹣1 B．0 C．5 D．15．在等差数列{a n}中，2a3+a9=3，则数列{a n}的前9项和等于( )A．9 B．6 C．3 D．126．设函数，f（﹣6）+f（log214）=( )A．9 B．10 C．11 D．127．设曲线y=ax+ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=x，则a=( )A．0 B．1 C．2 D．38．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是( )A．B．C．D．19．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=( )A．B．﹣C．D．﹣10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心，则的最小值为( )A．10 B．C．D．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为( )A．+1 B．2 C．2﹣1 D．+112．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是( )A．3f（2）＜2f（3） B．3f（3）＞4f（4） C．3f（4）＜4f（3） D．f（2）＜2f（1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，且与共线，则x的值为__________．14．已知变量x，y满足，则z=x+y+5的最大值为__________．15．的展开式中x3的系数为﹣84，则a=__________．（用数字填写答案）16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n+3=3a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．18．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21．已知函数，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分，多答按所答第一题评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B=( )A．{x|x＞1} B．{x|x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A={x|﹣1＜x＜3}，由B中不等式变形得：lnx＞0=ln1，即x＞1，∴B={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜3}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为( )A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】投掷两枚骰子属于古典概型，共有36种情况，列出符合条件的基本事件，带入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：投掷两枚骰子，出现的点数共有6×6=36中情况，且他们出现的机会均等．点数之和是8共有5种情况，即（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）．∴P（点数之和是8）=．故选A．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．3．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=( )A．3 B．2 C．5 D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．4．阅读程序框图，若输出的，则输入的x的值可能为( )A．﹣1 B．0 C．5 D．1【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将y=代入可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵y=，∴当x≤2时，sin（x）=，解得x=1，当x＞2时，2x=，无解．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，2a3+a9=3，则数列{a n}的前9项和等于( )A．9 B．6 C．3 D．12【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a3+a9=3，∴2（a1+2d）+（a1+8d）=3，∴3a1+12d=3，∴a1+4d=1，∴数列{a n}的前9项和：S9==9（a1+4d）=9．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．6．设函数，f（﹣6）+f（log214）=( )A．9 B．10 C．11 D．12【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由已知中函数，将x=﹣6和x=log214，代入可得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣6）=1+3=4，f（log214）=7，∴f（﹣6）+f（log214）=11，故选：C【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，要注意分析自变量值与1的关系．7．设曲线y=ax+ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=x，则a=( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a+1=1，即可得到a的值．【解答】解：y=ax+ln（x+1）的导数为y′=a+，在点（0，0）处的切线斜率为a+1=1，解得a=0，故选A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．8．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是( )A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），则sin（2α﹣）=( )A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣，﹣1），∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，故选：D．【点评】本题考查求三角函数值，涉及三角函数的定义和特殊角的三角函数，属基础题．10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心，则的最小值为( )A．10 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆．【分析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2=0上，所以﹣2a﹣2b+2=0，即1=a+b，=（）（a+b）=5++≥5+2（a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为( )A．+1 B．2 C．2﹣1 D．+1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|PF|=p．设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出|MF′|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|==p，根据双曲线的定义，得2a=|MF′|﹣|MF|=p﹣p，可得a=（）p．因此，该双曲线的离心率e===．故选：A．【点评】本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．12．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是( )A．3f（2）＜2f（3） B．3f（3）＞4f（4） C．3f（4）＜4f（3） D．f（2）＜2f（1）【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用．【分析】由题意构造g（x）=xf（x），求出g′（x），化简已知的式子后，结合题意判断出g′（x）的符号，可得g（x）在（0，+∞）上的单调性，由函数的单调性可得答案．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），因为定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），所以x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，由得，则，则当∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＜0，即g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上递减，则g（3）＞g（4），即3f（3）＞4f（4），故选：B．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，以及构造函数法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，且与共线，则x的值为﹣2．【考点】向量的物理背景与概念．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出x的值．【解答】解：∵向量，∴﹣=（2﹣x，2），又与共线，∴（2﹣x）×（﹣1）﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．14．已知变量x，y满足，则z=x+y+5的最大值为8．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=x+y+5为y=﹣x+z﹣5，由图可知，当直线y=﹣x+z﹣5过点A（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．的展开式中x3的系数为﹣84，则a=﹣1．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数等于﹣84，求得实数a的值．【解答】解：的展开式的通项公式为 T r+1=•a9﹣2r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，r=3，故展开式中x3的系数为•a3=﹣84，求得a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n+3=3a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=3n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；整体思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】通过2a n+1=2S n+1﹣2S n整理得a n+1=3a n，进而可知数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论．【解答】解：∵2S n+3=3a n（n∈N*），∴2S n+1+3=3a n+1（n∈N*），两式相减得：2a n+1=3a n+1﹣3a n，整理得：a n+1=3a n，又∵2S1+3=3a1，即a1=3，∴数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n=3n，故答案为：3n．【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据表格，十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，通过平均数和方差可得结论；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率，写出分布列，算出期望即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X 0 1 2P．【点评】本题主要考查茎叶图，等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望，是一个统计的综合题，但题目运算比较简单，没有易错点，是一个送分题目．18．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（I）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；（II）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b 的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b 的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（I）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积S=，可得ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（II）由题意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得a=．所以△ABC的面积S=．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，其中正弦定理及余弦定理很好的解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根据线面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，从而得出PA⊥BD；（Ⅱ）首先以DA，DB，DP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设PD=AD=1，从而可确定图形上各点的坐标，设平面PCD的法向量为，由即可求得法向量，设直线PB与平面PCD所成角为θ，则根据sinθ=即可求得sinθ．【解答】解：（I）PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD；∴PD⊥BD，即BD⊥PD；又BD⊥AD，AD∩PD=D；∴BD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD；∴PA⊥BD；（II）分别以DA，DB，DP三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PD=AD=1，则：D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）；∴，，；设平面PCD的法向量为，则：，取y=1，∴；记直线PB与平面PCD所成角为θ，sinθ==；∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】考查线面垂直的性质及判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，平面法向量的概念及求法，以及线面角和直线方向向量和平面法向量的夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．21．已知函数，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【专题】计算题；函数思想；方程思想；导数的综合应用．【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）…①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；∴函数f（x）在当内单调递增，在内单调递减；…（II）当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）不可能有两个零点；…当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当内单调递增，在内单调递减，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；…则f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）…【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点的求法，考查分析问题解决问题的能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分，多答按所答第一题评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，即可化为普通方程，将代入=0可得极坐标方程．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用化为普通方程，与直线方程联立可得交点坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程=0，将代入=0得=0．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为普通方程为x2+y2﹣4x=0．联立解得：或，∴l与C交点的极坐标分别为：，．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得 x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017-2018学年(全国Ⅱ版)高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
2017-2018学年高三上学期期中考试数学（理）试题 第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C ．32D ．23-2.设i 为虚数单位，复数i z i +=-1)2(，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知向量(11)a =- ，，(12)b =- ，，则(2)a b a +⋅＝（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、24、已知命题1123x xp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：，；命题200010q x R x x ∃∈--=：，；则下列命题为真命题的是（ ）A 、p q ∧B 、p q ∨⌝C 、p q ⌝∧D 、p q ⌝∧⌝ 5、已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan(2)4πα+＝（ ） A 、195- B 、519- C 、 3117- D 、1731-6、已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线交椭圆C于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则椭圆C 的方程为（ ）A 、22132x y +=B 、 2213x y +=C 、221128x y +=D 、221124x y += 7、若1a b >>，01c <<，则（ ）A 、c c a b <B 、 c c ab ba <C 、log log b a a c b c <D 、log log a b c c <8、《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A 、310π B 、320π C 、3110π- D 、3120π- 9、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且sin sin 3sin B A a cC a b-+=+，若将函数()2sin(2)f x x B =+的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（ ）A 、22sin(2)3x π+B 、22cos(2)3x π+ C 、2sin 2x D 、2cos 2x 10、已知函数321()3f x x bx cx bc =-+++在1x =处有极值43-，则b ＝（ ）A 、1-B 、1C 、11-或D 、13-或 11、一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A 、5178 B 、51716 C 、5158 D 、5151612、设函数4310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，，,若关于x 的方程2()(2)()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A 、(232232)---，B 、3(232]2-， C 、3[)2+∞， D 、(232+)-∞， 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13．已知)1,2(),,1(-==b m a ，若a 在b 上投影为553-，则____=m 14．函数⎪⎩⎪⎨⎧<++=+>++=0,0,10,1)(22x c x bx x a x x x x f 为奇函数，则_______=++c b a15．已知0)1011sin(2)512sin(=-++θπθπ，则_______)52tan(=+θπ16．已知m m x x f (|2|)(-=为常数)，对任意R x ∈,均有)()3(x f x f -=+恒成立.下列说法：①)(x f 的周期为6；②若b b x x f x g (|2|)()(-+=为常数）的图像关于直线1=x 对称，则1=b ；③若220+<<βα且)3()(+=βαf f ，则必有;3231212<+≤-βα ④已知定义在R 上的函数)(x F 对任意x 均有)()(x F x F -=成立，且当]3,0[∈x 时，);()(x f x F =又函数()(2c x x h +-=c 为常数），若存在1x ,2x ]3,1[-∈使得1|)()(|21<-x h x F 成立，则c 的取值范围是).13,1(-其中说法正确的是_________（填写所有正确结论的编号）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知S n ＝na 1＋(n －1) a 2＋…＋2a n －1＋a n . (1)若{}a n 是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{}a n 是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .18．(本小题满分12分)某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表： (1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率； (2)若甲获得奖励为X 元，求X 的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图15所示，PA 与四边形ABCD 所在平面垂直，且PA ＝BC ＝CD ＝BD ，AB ＝AD ，PD ⊥DC .(1)求证：AB ⊥BC ；(2)若PA ＝3，E 为PC 的中点，设直线PD 与平面BDE 所成角为θ，求sin θ.理财金额 1万元 2万元 3万元 乙理财相应金额的概率 13 1313 丙理财相应金额的概率12131620．(本小题满分12)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶点与右焦点的距离为31-，短轴长为2 2.（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为32,4求直线AB 的方程。
宝鸡市金台区2017届高三上学期期中教学质量检测数学理试题 含答案
学必求其心得，业必贵于专精2017届高三教学质量检测题（卷)理科数学2016。
11本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：样本数据12,,,nx x x 的标准差 锥体体积公式(n s x =+-Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式Sh V =24R S π=，334R V π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
设复数z 满足(1)123+i z =i -（i 为虚数单位）,则复数z 对应的点位于复平面内( ）A.第一象限 B 。
第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限2.设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--=> ,则S T =（ ）A 。
[]2,3B 。
(][),23,-∞+∞C 。
[)3,+∞ D.(][)0,23,+∞3。
若a ，b 满足||1a =,||=2b ,且()a b a +⊥,则a 与b 的夹角为( ）A.6π B 。
3π C.23π D.56π4.用数字1,2,3,4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ )A 。
24B 。
48 C.60 D 。
72 5。
已知b 是实数,则“2b =”是“直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+="相切的（ ）A 。
充要条件B 。
充分不必要条件C 。
必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件6。
设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ )A.2S =，即5个数据的方差为2 B 。
2S =，即5个数据的标准差为2C 。
陕西省宝鸡中学17年-18年学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
陕西省宝鸡中学高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题6分,共60分.1.已知全集为自然数集N ，集合{}13579A =，，，，，{}036912B =，，，，，则N A C B =（ ）A ．{}157，，B ．{}357，，C ．{}139，，D ．{}123，，2.已知幂函数的图象过点()42，，则其解析式为（ ）A ．2y x =+B ．2y x = C．y =．3y x =3.下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．2y x =C ．245y x x =-+D ．2y x =4.函数()()0.5log 43f x x =-，则()0f x >的的取值范围是（ ）A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D ．()3,11,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.设集合{}|04A x x =≤≤，{}|02B y y =≤≤则下列对应f 中不能．．构成A 到B 的映射的是（ ）A ．1:2f x y x →= B ．:2f x y x →=+C. :f x y →=．:2f x y x →=-6.已知函数()12log ,03,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则()()4f f 的值为（ ）A ．19-B ．-9 C.19D ．9 7.若二次函数()()22f x x b x =+-在[]13,2a a -上是偶函数，则,a b 的值分别是（ ）A ．2,1B ．1,2 C.0,2 D ．0,18.设2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C.c a b >> D ．b c a >>9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上单调递增，则（ ）A ．()()()134f f f -<<B ．()()()431f f f <<-C.()()()341f f f <<- D ．()()()143f f f -<<10.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=，[]2,12=，[]2,23-=-，这个[]x 函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[]2log 1+[][][]222log 2log 3log 64+++…的值为（ ）A ．21B ．76 C.264 D ．624第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若1a >，0n >，那么当x 足够大时，一定要x a n x log a x （填,,,≥>≤<）．12.已知()538f x x ax bx =++-，若()210f -=，则()2f = ．13.函数()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．14.下列几个命题①函数y =是偶函数，但不是奇函数.②若方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <. ③函数()y f x =的值域是[]2,2-，则函数()1y f x =+的值域是[]3,1-. ④一条曲线23y x =-和直线()y a a R =∈的公共点的个数是m 个，则m 的值不可能是1.⑤函数()y f x =，x R ∈的图像与直线x a =可能有两个不同的交点. 其中正确的序号有 ．三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）计算：()()310log 22310.027217lg 4lg 34lg 6lg 0.023---++-++-的值. 16.（本小题满分14分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x -=.（1）求出x R ∈时，()f x 的解析式，并画出函数()f x 的图象（在如图的坐标系中）； （2）写出的()f x 单调区间及值域（不要求写出过程）.17.（本小题满分14分）已知集合133|32,,22A y y x x ⎧⎫⎡⎤==-∈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}|11B x m x m =-≤≤+. （1）若2m =，求A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.18.（本小题满分14分）设函数()()20a x f x a x+=>. （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x +=>，)x ∈+∞上的单调性，并用单调性的定义证明.19.（本小题满分14分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b ；（2）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求k 的范围.试卷答案一、选择题1-5:ABBAB 6-10:CBADC二、填空题11.log x n x a a x >> 12.-26 13.3a ≤- 14.②④三、解答题15.解：原式10102512lg32lg 2lg3lg 22122lg3lg 2lg3lg 22333=-++-++-+=-++-++-+= 16.解：（1）设0x <，则0x ->，当0x ≥时，()2x f x -=，()2x f x -=∴， 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x =-∴，∴当0x ≤时，()()2x f x f x =-=，图像如图所示()()()2020x x x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩∴.（2）根据图象可得，增区间(),0-∞，减区间()0,+∞，（或增区间(],0-∞，减区间[)0,+∞，值域为(]0,1）17.解：（1）当2m =时，[]0,4A =，[]1,3B =-，[]0,3A B =.（2）①若B =∅，则11m m +<-，即0m <.②若A B ⊆，则01014m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，即01m ≤≤.综合知1m ≤.18.解：（1）()f x 的定义域()(),00,-∞+∞，()()()22a x a x f x f x x x+-+-==-=-- ()f x ∴为奇函数；)12,,x x a ⎡∈+∞⎣，且12x x <，120x x -<，1210a x x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x >∴函数()y f x =在),a ⎡+∞⎣上的单调递增.19.解：（1）()()()2221110g x ax ax b a x b a a =-++=-++->，当0a >时，()g x在[]2.3上递增，故()()3421g g =⎧⎪⎨=⎪⎩，即96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，10a b =⎧⎨=⎩. （2）方程()2213021x x f k⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭可化为：()()2212321120x x k k --+-++=，210x -≠，令21x t -=，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠，()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭，有三个不同的实数解，由21x t =-的图象知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根12,t t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()223120t t k t k ϕ=-+++=，则()()()()201201123120k k k ϕϕ=+>⎧⎪⎨=-+++<⎪⎩或()()()()20120112312023012k k k k ϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+++=⎨⎪+⎪<<⎩ 0k >∴.。
陕西省2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版(解析版)
陕西省2018届高三上学期期中考试数学（理）试题 第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每题给出的四个选项中,只有一项正确1.已知全集为U =R ， {}0,1,2,3A =，{}2,x B y y x A ==∈，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,3B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}1,2 2. 已知1sin()44x π+=，则sin 2x 的值为（ ） A.12 B. 14- C. 18D. 78- 3.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥“”，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=“使”，若命题p q “且”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A.{21}a a a ≤-=或B.{1}a a ≥C. {212}a a a ≤-≤≤或D. {21}a a -≤≤ 4.由1=xy ,x y =,3=x 所围成的封闭区域的面积为( )A. 3ln 2B. 3ln 2+C. 3ln 4-D. 3ln 24- 5.1220(1(1))x x dx ---⎰的值是（ ）A ．143π- B ． 14-π C ．123π- D ．12π- 6.已知函数2()2sin ()3cos 21,4f x x x x Rπ=+--∈，若函数()()h x f x α=+的图像关于点(,0)3π-对称，且(0,)απ∈，则α= （ ）A ．3π B.4π C.2π D.8π7.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则k 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞ B.3[1,)2 C. [1,2) D.3[,2)28.已知函数()sin 3cos (0),()()062f x x x f f ππωωω=+>+=，且()f x 在区间(,)62ππ上单调递减，则ω=（ ）A.3B.2C.6D.59．函数3lg ||x y x =的图象大致是（ ）10. 已知函数)1ln()(2++-=x b x x f 在),0[+∞上单调递减，则b 的取值范围（ ）A. ),0[+∞B. ),21[+∞-C.]0,(-∞D. ]21,(--∞ 11. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：(1)函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称；(2)对)43()43(,x f x f R x +=-∈∀成立 (3)当]43,23(--∈x 时，)13(log )(2+-=x x f ，则)2011(f =（ ）A.-5B.-4C.-3D.-212. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的函数，其图像关于坐标原点对称，且当)0,(-∞∈x 时，不等式0)()(<'+x f x x f 恒成立，若)2(22.02.0f a =，)2(ln 2ln f b =，)41(log )41(log 22f c =，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a >>B.a b c >>C.b a c >>D.b c a >>第II 卷 （非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置 13.已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 在1x =处的切线方程为__________. 14. 若α为锐角,且53)6cos(=+πα,则cos α=___________. 15.若函数2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是___________.16.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则① 2是函数()f x 的一个周期；②函数()f x 在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0； ④1x =是函数()f x 的一个对称轴； ⑤当x ∈(3,4)时，f(x)＝(12)x －3.其中所有正确命题的序号是______________．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. （本题10分）设命题:p 函数)16alg()(f 2++=x ax x 的值域为R ；命题:39x x q a -<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18.（本题12分）求函数2()32sincos f x a x x =-- 的最小值.19.（本题12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足向量(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==-∥. （I ）求角A 的大小； （II ）若25a =，求ABC ∆面积的最大值.]32,6[,1sin cos )(2ππ-∈++=x x a x x f20.（本题12分）设函数2()sin()2cos 1(0)62xf x x πωωω=--+>，直线3y =与函数()f x 的图象相邻两交点的距离为π （1）求ω的值（2）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若点(,0)2B是函数()y f x =图象的一个对称中心，求sin cos A C +的取值范围21.（本题12分）已知函数()sin cos f x x x x =-． （I ）讨论()f x 在(02)π，上的单调性；（II ）若关于x 的方程2()20f x x x m π-+-=在(02)π，有两个根，求实数m 的取值范围.（III ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <.22.（本题12分） 已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；陕西省2018届高三上学期期中考试数学（理）试题答案1—12 ADACA CBBDC DC 13.20x y --= 14.33410+ 15. 2ln 22a <- 16.①②④⑤ 17.解：p 真时，（1）0a =合题意. （2）0a >时，21002024a a a ∆=-≥⇒<≤⇒≤≤时，p 为真命题. q 真时，令3(0,)xt =∈+∞， 故2a t t >-在(0,)+∞恒成立14a ⇒>时，q 为真命题. p q ⇒∧为真时，124a <≤.∴p q ∧为假命题时，1(,](2,)4a ∈-∞+∞ .18．解：综上可知：19．（I ）∵(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==-∥,()2cos cos c b A a B ∴-=由正弦定理，得()2sin sin cos sin cos C B A A B -= 整理得()2sin cos sin sin C A A B C =+= 在ABC ∆中，sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵()0,A π∈，故3A π=222min 2min min ()sin 2sin 2(sin )221,sin ,1632119(1),sin ,();2241(2)1,sin ,()2;2(3)1,sin 1,()23f x x a x x a a x x a x f x a a x a f x a a x f x a ππ=-+=-+-⎡⎤⎡⎤∈-∴∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦<-=-=+-≤≤==-+>==-+ 2min91,421()2,1223,1,a a f x a a a a ⎧+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎪⎩（2）由余弦定理，2221cos 22b c a A bc +-==， 又25a =，∴2220220b c bc bc +-=≥-，得20bc ≤，当且仅当b c =时取到“=”. ∴1sin 532S bc A =⋅≤，所以三角形面积的最大值为53 20.解：（1）()3sin()3f x x πω=-……………………2分2T πω=∴= ……………………4分（2）3B π=……………………5分2sin sin sin sin()3sin()36A C A A A ππ+=+-=+……………………………8分 因为锐角三角形 所以022032A A πππ⎧<<⎪⎨⎪<-<⎩ 所以62A ππ<<……………………10分2363A πππ<+<33sin()(,3]62A π+∈……………………12分 21. 解：（Ⅰ）()0(0,)f x x π'>⇒∈，()0(,2)f x x ππ'<⇒∈()f x 的递增区间(0,)π，递减区间(,2)ππ(II) 2()=-2+f x x x m π，设222()=-2+()h x x x m x m πππ=-+-结合图像可知{2(0)0m h m ππ-<=> 解得，20m ππ<<+（III ）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以．22.解（1）函数()f x 定义域为()0,+∞，()()'2211ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+⋅==-， 由()'01fx x =⇒=，当01x <<时，()'0f x >，当1x >时，()'0f x <，则()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值。
陕西省宝鸡市2017届高三教学质量检测(一)数学(理)试题 扫描版含答案
2017年宝鸡市高三质检（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 卷 D A C D B A C B B D C D B 卷 AABDCACDBDCA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 84；14.1(,)2+∞15．tan PBA ∠=34． 16．5 三、解答题：17.解：（Ⅰ）当1n =时，12a =。
当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即*12(2,)nn a n n a -=≥∈N ，……………4分 数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故*2()n n a n =∈N . ………………6分 （Ⅱ）令112n n n n n b a ++==，………………7分 12323412222n nn T +=++++，…………① ①×12，得234112341222222n n n n n T ++=+++++，…………② ①－②，得1133222n n n T ++=-，整理，得332n n n T +=-， ………………9分由于 错误！未找到引用源。
，显然 错误！未找到引用源。
又令32n n n c +=，则14126n n c n c n ++=<+，所以1n n c c +>，故322nn+≤，所以1nT≥.因此错误！未找到引用源。
………………12分18．解析：（Ⅰ）连接错误！未找到引用源。
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的中点，∴错误！未找到引用源。
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数学---陕西省宝鸡市金台区2017届高三上学期期中质量检测试题(理)
陕西省宝鸡市金台区2017届高三上学期期中质量检测试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则A B =I ( )A ．)3,2(-B ．)3,1(-C ．}2{D ．}3,2,1{-2. 若复数2i 1-iz =（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i3. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( ) A ．43 B ．47 C ．45 D ．35 4.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526 D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则11π()24f 的值为( ) A ．26- B ．23- C ．22-D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81 B ．1 C ．2 D ．4 8.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( )A ．451B ．861 C ．1221 D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（,λμ∈∈R R ），则μλ+的取值范围是( ) A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．]2,1( D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( ) A ．32- B ．23- C ．32 D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“2000,||0x x x ∃∈+<R ”，则p ⌝为 .14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BCAD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则CDBD 的值为 . 16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ， 30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将A B C ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'. （Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； （Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数()e 33x f x x a =-+（e 为自然对数的底数，a ∈R ）.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当3ln e a >，且0>x 时，e 3132x x a x x>+-.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆的切线、和割线，弦交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共O PA PB PCDBE（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.参考答案一．选择题：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD二．填空题：13.. 2,0x x x ∀∈+≥R 14. 222+15. 6 16. 26π三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分（II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分 ∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n n n ……………………12分18. 解：（1）当C D '=AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C OD O '==，又C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥…………………2分又C O AB '⊥ ，AB OD O = ，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ， ……………………4分又C O '⊂ 平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂ 平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '==……………………9分而△BDC '中，BD =1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S '=⨯⨯= ……………………10分三棱锥C ABD '-的体积1113326BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯= ．112ABD S =⨯ ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h 解得36=h ．……………………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分 （II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分所以该运动员得1分的概率P =62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm = ，即42(2)2p p =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分（II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分 直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解: 由f (x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －3，x ∈R . ………………………1分令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．………6分 （II ）证明:待证不等式等价于23e 312x x ax >-+………………………………7分 设23()e 312x g x x ax =-+-，x ∈R ， 于是()e 33x g x x a '=-+，x ∈R .由（I ）及3ln ln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当3ln ln 31ea >=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． ………………10分 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即23e 312xx ax >-+，故e 3132x x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB ,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分又 P A 与圆O 切于点A , PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分 （II ）因为P A 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PB F A 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===∴四边形PBF A………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分 2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ,PQ OP ⊥ ,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（Ⅰ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （Ⅱ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a b +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥， 22a b M += ，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分。
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2017-2018学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，3}2．（5分）已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2x B．y=C．y=ln|x|D．y=cosx4．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣47．（5分）已知=（1，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=（）A．3 B．1 C．﹣3或2 D．﹣4或18．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=0.6，b=0.5，c=1.5，那么输出m 的值是（）A．0.5 B．0.6 C．1.5 D．都有可能9．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10．（5分）已知s，则=（）A．B．C．3 D．211．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边c=．15．（5分）已知函数f（x）=，a∈R，若f[f（﹣1）]=1，则a=．16．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若，则=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且{a n﹣1}是等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE∥面APD；（2）求三棱锥P﹣BDE的体积．19．（12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学中至少有一名被抽中的概率：（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：x2=．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx+．（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ 与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2017-2018学年陕西省宝鸡市金台区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，A∩B={1，3}．故选：D．2．（5分）已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：==+i，∴复数=﹣i在复平面对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2x B．y=C．y=ln|x|D．y=cosx【解答】解：A．y=2x为增函数，关于y轴不对称不是偶函数，B．y=是偶函数，则（0，+∞）上是减函数，C．y=ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=lnx是增函数，满足条件．D．y=cosx是偶函数，则（0，+∞）上不单调性，故选：C．4．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其表面积包括底面半圆的面积，轴截面面积和半个圆锥的侧面积，由半圆锥的底面半径为1，高为2，可得母线长为故S=+×2×2+=，故选：B．6．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣4【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣．由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=1﹣2×0=1．故选：B．7．（5分）已知=（1，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=（）A．3 B．1 C．﹣3或2 D．﹣4或1【解答】解：∵=（1，1），=（x，﹣3），∴==（1+x，﹣2），∵⊥，∴=1+x﹣2=0，解得x=1．故选：B．8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=0.6，b=0.5，c=1.5，那么输出m 的值是（）A．0.5 B．0.6 C．1.5 D．都有可能【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最小数，∵输入的a=0.6，b=0.5，c=1.5，∴输出m的值是0.5，故选：A．9．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【解答】解：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人．对比选项，选项C正确．故选：C．10．（5分）已知s，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：由sin2α=2sinαcosα，可得，∴，即tan2α﹣3tanα+1=0．可得．故选：C．11．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1相交，则解得﹣＜k＜∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人，故答案为：1214．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边c=4．【解答】解：∵，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=9+c2﹣2×，整理可得：c2﹣3c﹣4=0，∴解得：c=4或﹣1（舍去）．故答案为：4．15．（5分）已知函数f（x）=，a∈R，若f[f（﹣1）]=1，则a=．【解答】解：∵函数f（x）=，a∈R，∴f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，∵f[f（﹣1）]=1，∴f（f（﹣1））=f（2）=a•22=1，解得a=．故答案为：．16．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若，则=2．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0），准线为l：x=﹣，点A∈l，设A（﹣，a），B（m，n），则∵=3，∴=，∴m=∴n=±∴|BF|==，∴=3×=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且{a n﹣1}是等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵{a n﹣1}是等比数列且a1﹣1=2，a2﹣1=4，…（2分）∴，…（3分）∴，…（5分）∴，…（6分）（2）∵，…（7分）∴…（8分）令T=2+2×22+2×23+…+2×2n，则2T=22+2×23+2×24+…+2×2n+1，两式相减，得…（9分），∴T=2（1﹣2n）+n×2n+1=2+（n﹣1）×2n+1，…（10分）∵，∴．…（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE∥面APD；（2）求三棱锥P﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：取PD中点F，连接AF，EF．…（1分）∵E，F分别是PC，PD的中点∴…（2分）∵AB∥CD，AB=，∴EF∥AB，EF=AB…（3分）∴四边形ABEF 是平行四边形，∴BE∥AF…（4分）又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥面APD；…（6分）（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．所以，V P=V B﹣PDE=V P﹣BDC=V P﹣BDC=S△BDC•PA==…（12分）﹣BDE19．（12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学中至少有一名被抽中的概率：（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：x2=．【解答】解：（1）记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C、D、E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）（D，E）共10个，…（2分）“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）一共7个，…（4分）所以所求事件的概率是P=．…（5分）（2）…（7分）Χ2==6.400＜6.635…（10分）因此，我们没有99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…（12分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，∴k BF1•k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cosθ==，∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心O的坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx+．（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2﹣，∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直，∴2﹣=﹣，∴m=9；（Ⅱ）依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），则g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，∴x≥1时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2即实数m的取值范围是[2，+∞）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ 与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆C1：ρ=4cosθ 化为ρ2=4ρcosθ，∴圆C1的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0．直线l的直角坐标方程y=x．由，解得或．∴A （0，0），B （2，2）．从而圆C 2的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2，即x 2+y 2=2x +2y ． 将其化为极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ． （Ⅱ）∵，∴|MN |max =|C 1C 2|+r 1+r 2=+2+=2+2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|2x +1|﹣|x ﹣4|． （1）解不等式f （x ）＞0；（2）若f （x ）+3|x ﹣4|≥m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）当x ≥4时，f （x ）=2x +1﹣（x ﹣4）=x +5＞0， 得x ＞﹣5，所以x ≥4成立；当﹣≤x ＜4时，f （x ）=2x +1+x ﹣4=3x ﹣3＞0， 得x ＞1，所以1＜x ＜4成立；当x ＜﹣时，f （x ）=﹣x ﹣5＞0，得x ＜﹣5，所以x ＜﹣5成立． 综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜﹣5}； （2）令F （x ）=f （x ）+3|x ﹣4|=|2x +1|+2|x ﹣4| ≥|2x +1﹣（2x ﹣8）|=9， 当﹣≤x ≤4时等号成立． 即有F （x ）的最小值为9， 所以m ≤9．即m 的取值范围为（﹣∞，9]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。