类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦ (1)21(1n pa q p p -=++++…211)11n n q qpa p p p --⎛⎫+=+⋅+ ⎪--⎝⎭。

思路2（构造法）：设()1n n ap a μμ++=+，即()1p qμ-=得1q p μ=-，数列{}na μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n nq q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n n q q a a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭。

例1 已知数列{}na 满足123nn aa -=+且11a =，求数列{}na 的通项公式。

解：方法1（递推法）：()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……1223(122n -=++++…211332)12232112n n n --+⎛⎫+=+⋅+=- ⎪--⎝⎭。

方法2（构造法）：设()12n na a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3na +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n na -++=⋅=，即123n na +=-。

类型二：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (11)1()n i a f n -==+∑。

思路2（叠加法）：1(1)nn a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n ni a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。

例2 已知11a =，1nn a a n -=+，求na 。

解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)nn n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= (1)[23a =+++ (1)(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。

方法2（叠加法）：1nn a an--=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n aa n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i aa n=-=∑，121(1)2n nni i n n aa n n ==+=+==∑∑。

类型三：1()n n a f n a +=⋅思路1（递推法）：123(1)(1)(2)(1)(2)(3)n n n n a f n a f n f n a f n f n f n a ---=-⋅=-⋅-⋅=-⋅-⋅-⋅=…(1)(2)(3)f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

思路2（叠乘法）：1(1)nn af n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a--=-、23(3)n n af n a--=-、…、21(1)af a=，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)naf f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)naf f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。

例3 已知11a =，111nn n aa n --=+，求na 。

解：方法1（递推法）：1231121231111n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==⋅=⋅⋅=+++-…2(1)n n =+。

方法2（叠乘法）：111nn an a n --=+，依次类推有：122n n a n a n---=、2331n n an an ---=-、…、3224aa=、2113aa=，将各式叠乘并整理得112311nan n n an n n ---=⋅⋅⋅+- (21)43⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+。

类型四：11n n n a pa qa +-=+思路（特征根法）：为了方便，我们先假定1a m =、2a n =。

递推式对应的特征方程为2x px q =+，当特征方程有两个相等实根时，()12n n p a cn d -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭(c 、d 为待定系数，可利用1a m =、2a n=求得)；当特征方程有两个不等实根时1x 、2x 时，1112n n na ex fx --=+(e 、f 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程的根为虚根时数列{}na 的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-,求na 。

解：递推式对应的特征方程为26x x =-+即260x x +-=，解得12x =、23x =-。

设1112n n na ex fx --=+，而12a =、23a =，即2233e f e f +=⎧⎨-=⎩，解得9515e f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11912(3)55n n na--=⋅+⋅-。

类型五：1n n n a pa rq +=+ （0p q ≠≠）思路（构造法）：11n nn a pa rq --=+，设11n n nn a a q qμλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q pq rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩。

那么n nar qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，pq 为公比的等比数列。

例5 已知11a =，112n n n a a --=-+，求na 。

解：设1122n n n n a a μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()121122n n λμλ-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1213λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，123n na⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以111236-=为首项，12为公比的等比数列，即11112362n n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，213n n a +∴=。

类型六：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）思路（转化法）：1(1)nn a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n nn naa f n pp p ---=+，我们令n nnab p=，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例6 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求na 。

解：142n n n a a -=+，式子两边同时除以4n得111442nn n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令4nn n a b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n bb ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n bb ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********nnnnnn nn i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1441422n n nn nn n a b ⎡⎤⎛⎫∴=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

类型七：1r n n a pa += （0n a >）思路（转化法）：对递推式两边取对数得1log log log mn mnma r a p +=+，我们令log n m nb a =，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7 已知110a =，21n n a a +=，求na 。

解：对递推式21n na a +=左右两边分别取对数得1lg 2lg n n a a +=，令lg n n ab =，则12n n b b +=，即数列{}nb 是以1lg101b ==为首项，2为公比的等比数列，即12n n b -=，因而得121010n n b na-==。

思路（转化法）：对递推式两边取倒数得11n n npa da c a ++=⋅，那么111n n d p a c a c+=⋅+，令1nnba =，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知14a =，1221n n n a aa +⋅=+，求na 。

解：对递推式左右两边取倒数得12112n n na a a ++=即111112n na a +=⋅+，令1nnb a =则1112n n bb +=+。

设()112n n bb μμ++=+，即2μ=-，∴数列{}2nb -是以17244-=-为首项、12为公比的等比数列，则1722n n b +-=-，即21272n n n b ++-=，12227n n n a ++∴=-。

思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为ax bx cx d+=+即2()0cx d a x b +--=。

当特征方程有两个相等实根12x xδ==时，数列1na δ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭即12n a da c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪-⎩⎭为等差数列，我们可设11122n n a d a d a a c cλ+=+----（λ为待定系数，可利用1a 、2a 求得）；当特征方程有两个不等实根1x 、2x时，数列12nn a x a x⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以1112a xa x --为首项的等比数列，我们可设1111212n n na xa x axa x μ-⎛⎫--=⋅ ⎪--⎝⎭（μ为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列{}na 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知112a =， 11432n n n a a a --+=+（2n ≥），求na 。

解：当2n ≥时，递推式对应的特征方程为432x x x +=+即2230x x --=，解得11x =-、23x =。

数列13nna a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1112212a x ax-==---为首项的等比数列，设()1113n n n a a μ-+=-⋅-，由112a =得22a=则3μ-=-，3μ∴=，即()11133n n n a a -+=-⋅-，从而13131n n n a --=+，11,1231,231n nn n a n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪+⎩。