【启慧学案】高中数学必修4苏教版配套课件：1.1.2 弧 度 制
高一数学苏教版必修4教师用书：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.1.角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2π rad＝360°180°＝πradπ rad＝180°角度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2角度120°135°150°180°270°360°弧度2π33π45π6π3π22π正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)3π5＝35×180°＝108°；(2)－π6＝－16×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×π180＝－23π；(4)210°＝210×π180＝7π6.【★答案★】(1)108°(2)－30°(3)－2π3(4)7π6教材整理3扇形的弧长公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.1.弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72.扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6， 面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【★答案★】 π6 π12[小组合作型]角度制与弧度制的互化(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化. 【自主解答】 (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.[再练一题]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9rad＝－2π9×180°π＝－40°.用弧度制表示角的集合阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：48582006】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合. 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2.如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，所以阴影部分内的角的集合为[探究共研型]扇形的弧长及面积问题探究1公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角.探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明.【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积.【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【★答案★】 (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad2.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________. 【解析】 S ＝12lr ＝12r 2·α＝12×4×2＝4. 【★答案★】 43.圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.【解析】 设圆最初半径为r 1，圆心角为α1，弧长为l ，圆变化后的半径为r 2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1，∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【★答案★】 134.用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______. 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【★答案★】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5.设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.【导学号：48582007】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限. (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。
苏教版 高中数学必修四全册课件优秀课件(任意角等33个)1
零角
负角
零
负实数
2、求弧长：
l R
例1（1）把67°30′化成弧度。
3 （ 2） 把 5
rad化成角度.
1 例2：利用弧度制来推导扇形面积公式S= R, 2
其中 是扇形的弧长，R是圆的半径．
R O S
练习：
1、利用弧度制证明下列公式
( 1 )l Leabharlann R2 (2 )S1 R 2
作业：
P 习题 8-9 11
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过
数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)
1、注册资本并不需要一次缴清 我国目前实行注册资本认缴制，认缴制的意思就是：注册资本不用在一开始就全部缴纳完成，而是只要在承诺的时限内(一般为10-20年)缴完 即可，这极大的降低了公司注册时的资金压力。
猜卷子，轻狂书生被批评为文锋还不如小童生老道，大受打击，化悲痛为酒量，自己喝，并且满席的逼人喝。满席的被他带动起来，都致力于 进行“自己喝与劝人喝”的行为，端着酒榼，大言不惭道：“怕什么？这又不是烈酒，是淡酒！童子都饮得！”于是小童生和宝音都躲不过去。 明柯好歹良心发现，替宝音挡一挡狼爪：“这小子酒量不行。”宝音深受启发，正准备装醉，“卟嗵”，那边已倒下一个。刘晨寂来酒不拒， 饮下三杯，轰然倒地，醉死如一截木头，任谁推都不动，好如一截木头。而蝶宵华饮过三杯，宽了外衣，剩个碧蓝精绣薄绸子的中衣，中衣领 口扣子还解开一颗，肉香四溢，媚眼流盼，气场全开。来给宝音灌酒的无聊人士，先被刘晨寂的倒下，吸引了注意力，之后就流着哈喇子跟其 他人一样聚到蝶宵华脚边了，像被肉摊上香气吸引来的苍蝇，任摊主左挥右驱，百赶不去。——摊主就是那自封护花有责，不胜群蝇之扰的七 王爷。宝音居此宴会，芒刺在股，坐立不安。男人就喜欢这种调调？见识了！反正以后她打死都不要来了。小童生免过被灌酒的劫难，又来同 宝音攀谈，宝音也理解他：毕竟席上看来，只有宝音一人跟他年龄相近嘛！雄性动物的本能，年长的都爱欺负弱小的，小童生估计平时被欺负 惨了，遇见宝音，如茫茫大海中攀住一根浮木。可宝音小身体里装着个老灵魂，纵然心怀宽广母爱泛滥，也不见得此时此地愿与他交谈——她 还怕多说多错呢！第八十三章 自毁入宫路（2）小童生殷勤的喋喋不休，拷问至祖籍家人。她微笑敬他一杯酒，自己只抿了一口，轰然倒地， 百问不答，效刘晨寂状。闭上了眼睛，宝音看不到刘晨寂此时的危险，否则，未必敢学他。轻狂书生从蝶宵华身边被挤了出来，转头忽见刘晨 寂俯在桌上，肌肤如玉、布衣国色，顿生歹念，踉跄过去，待趁醉把手搭在他肩上，吃顿豆腐，忽觉天旋地转，似乎是酒力涌上来，禄山之爪 再也搭不下去，跑出去吐了，吐至一半，忽忆及一事，心头凛然：城东某富翁，听说也是此道馋痨，贪吃不顾形像的人，某日召刘大夫视疾， 见色起意，病榻边就要毛手毛脚，忽的病势大危，昏迷了三天三夜，几乎没能抢救得转来，人都说他自作孽。除此人之外，还有某无赖儿，想 用计谋，逼刘大夫就范，谋划到一半，家遭祝融，流落街头，这也是自作孽。再加上他今儿喝到吐„„想对刘大夫不轨的人，似乎很容易自作 孽，不可活呢？宝音在屋里，装醉都装得腰酸背痛，不断腹诽此宴之不可理喻，不知什么时候才能结束。还有，如果是她安排的宴会啊，看到 有客人醉倒，立刻就安排扶下去，软褥上卧着，奉碗醒酒汤了！何至于就让客人趴到现在？想啥就来啥，还真有个粗喉咙道：“把醉了的兄弟 都抱到那边躺着吧！老
高中数学 1.1.2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 1.1。
2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1)角度制初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的3601为1度角,记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度记作1 rad. (3)弧度数 如下图1，的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即rl=1。
图1 图2在图2中，圆心角∠AOC 所对的的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22==rrr l如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是rrr l π2==2π.如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是rrr l π4==4π，即这个角的弧度数是—4π。
一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零。
2。
弧长公式与 扇形面积公式（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=｜α|·r,其中α是角的弧度数.（2)扇形面积公式S=21lr=21α·r 2. 3。
高中数学 1.1.2弧制课件 苏教版必修4
链 接
的弧长l和面积S分别(fēnbié)为：
弧长l＝______，扇形的面积S＝______＝______.
|α|r
第七页，共25页。
栏 目 链 接
第八页，共25页。
知识点1 角度制与弧度(húdù)制的换算
角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互
相联系、辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记
2．正角、零角、负角的弧度(húdù)数．
栏 目
链
(1)正角的弧度(húdù)数是一正个数________；
接
(2)零角的弧度(húdù)数是零________；
(3)负角的弧度(húdù)数是一负个数________．
第五页，共25页。
二、角度(jiǎodù)制与弧度制的互化
角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周
目 链 接
点
N
π 走的弧度数：－ 3 ×12＝－4π.
第二十页，共25页。
题型3 角度(jiǎodù)与弧度的互化
例3 把67°30′化成(huà chénɡ)弧度．
分析：角度制与弧度制的换算是度与弧度两种单位之间的换算，
故需先在角度制内将分化为度．
栏 目
解析：∵67°30′＝6712°，
链 接
∴67°30′＝1π80 rad×6712＝38π rad.
(yuánzhōu)，其长为2πr，所以周角的弧度数是2π，但周角
又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，
栏
π
目
故 得 ： 1° ＝ __1_8_0____ ， 1
rad ＝ ________≈__5__7_.3__°_ ＝
链 接
苏教版必修4高中数学1.1.2《弧度制》ppt课件2
分析：利用终边相同的角先表示出 与 的关系，然 后求解。
典型例题
解析：由已知有 7 2k ，
∴ 6 2k，∴ k 。
3
∵ ，∴当 k=1、2、3、4、5时， 即为所求。
评注：在一定的约束条件下，求与角 终边相同的 角，一般地，首先将这样的角表示为 的形式，然 后在约束条件下确定 值，进而求适合条件的角。
合 5
36
课堂小结
1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
课堂练习
若 α＝－3，则角 α 的终边在第___三_____象限． 解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
若四边形的四个内角之比分别为1：3：5：6 ，则这四个内角的弧度数依次为 1；：3：5：6，
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
想一想
建立起两种以上的测量方法使三角函数更 趋于简单化 在实际计算过程中怎样通过两种测量方法 的转化来实现问题简单化呢
知识点2：
1.定义： 我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数 为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度 数的绝对值：
l ︱α︱= r
知识点3：
其中： l —— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径
这种用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做弧度制 。
数学苏教版必修4学案：第1章 1.1 1.1.2 弧度制
1．1.2弧度制预习课本P7～10，思考并完成下列问题1．如何用角度制、弧度制来分别度量角？2．如何将角从弧度化为角度，从角度化为弧度？3．在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是什么？[新知初探]1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝l r.[点睛](1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写．(2)不能忽略角的正、负．2．角度与弧度的换算(1)换算公式(2)一些特殊角的度数与弧度的换算3．扇形的弧长与面积公式[点睛](1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S可以“知二求二”．(2)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式有很多优越性，但要注意角必须化为弧度后再计算．[小试身手]1．弧度和角度互化：(1)－2π3＝________；(2)－270°＝________.★答案★：(1)－120°(2)－3π22．半径为1 cm，圆心角为5π6的弧长为________ cm.★答案★：5π63．若α＝－4，则α所在的象限为________． ★答案★：第二象限4．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式为________． ★答案★：－4π＋π6角度与弧度的互化[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad. (2)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad. (3)2 rad ＝2×180π°＝360°π≈114.59°.(4)－2π9 rad ＝－2π9×180π°＝－40°.(1)关系式π＝180°是关键，角度数乘以π180即为弧度数，弧度数乘以180°π即为角度数．(2)角的正、负不随互化而改变． 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.解：(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2rad. (2)π10 rad ＝π10×180°π＝18°. (3)－4π3 rad ＝－4π3×180°π＝－240°. (4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad. 用弧度制表示角的集合[典例] (1)(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. [解] (1)∵－1 480°＝－1 480π180 rad＝－74π9 rad ＝－10π＋16π9.∴－1 480°＝－10π＋16π9. (2)由(1)可知α＝16π9. ∵β与α终边相同， ∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z. 又∵β∈[－4π，0]， ∴－4π≤2k π＋16π9≤0，k ∈Z ， 即－269≤k ≤－89，k ∈Z ，故k ＝－1或k ＝－2， 当k ＝－1时，β＝－2π9； 当k ＝－2时，β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9.(1)表示角的集合，要注意统一单位，不能既含有角度又含有弧度；(2)用弧度制表示与α角终边相同的角记为2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，条件k ∈Z 不能少．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z)；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k∈Z)．所以阴影部分内的角的集合为 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z .(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z)；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . 所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＜α＜π3＋2k π，或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长公式及面积公式1．已知扇形的半径为2 cm ，圆心角为80°，求扇形的弧长和面积． 解：已知扇形的圆心角α＝80°＝4π9，半径r ＝2 cm ，则弧长l ＝α·r ＝4π9×2＝8π9(cm)，所以面积S ＝12lr ＝12×8π9×2＝8π9(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4， ①12l ·r ＝1， ②由①②，得r ＝1，∴l ＝4－2r ＝2，θ＝lr ＝2. 故所求扇形的半径为1 cm 、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.(1)使用面积公式或弧长公式，首先应尽可能将角化为弧度．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，往往需要通过列方程(组)求解．层级一 学业水平达标1．将5π12化为角度是________．解析：5π12＝5π12×180°π＝75°. ★答案★：75°2．－2 0154π是第________象限角．解析：－2015π4＝－504π＋π4，故－2015π4与π4是终边相同的角，即－2015π4是第一象限角． ★答案★：一3．－330°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式，则α＝________. 解析：－330°＝－330×π180＝－11π6＝－2π＋π6，故α＝π6.★答案★：π64．半径为π cm ，圆心角为120°的弧长为________ cm. 解析：弧长l ＝2π3×π＝2π23 cm.★答案★：2π235．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析：因为－11π4＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－3π4，所以θ＝－3π4. ★答案★：－3π46．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为__________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z)．★答案★：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z}7．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k ·π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为____________．解析：因为k ·π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .★答案★：N ⊆M8．下列命题中，正确的序号是________． ①1弧度是长度为半径的弧；②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大； ③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角； ④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 ； ⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，所以②不正确；因为弧长l ＝α·r ，所以当α＝1时，l ＝r (半径)．所以④不正确．★答案★：③9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解：(1)如题图①，以OA 为终边的角为5π12＋2k π，k ∈Z ，以OB 为终边的角为－π6＋2k π，k ∈Z ，所以阴影部分的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，以OA 为终边的角为π6＋2k π，k ∈Z ，以OB 为终边的角为7π6＋2k π，k ∈Z ，故阴影部分的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|π6＋2k π≤α≤π2＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|7π6＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．已知α是第三象限的角，指出α2所在的象限；若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取值区间．解：依题意，2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)， ①k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，若k 为偶数，则α2是第二象限的角；若k 为奇数，则α2是第四象限的角．②因为|α＋2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π，2k π＋3π2∩[－6,2]， 结合数轴不难知道，α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2. 层级二 应试能力达标1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 解析：由题意r ＝1sin 1，故l ＝2×1sin 1＝2sin 1. ★答案★：2sin 12．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]． ★答案★：[－4，－π]∪[0，π]3．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：与α终边相同的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π(k ∈Z)，化简得：－136＜k ＜116(k ∈Z)．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.★答案★：－11π3，－5π3，π3，7π34．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．解析：如图，设扇形内切圆的半径为r ，由扇形的圆心角为π3，知扇形的半径为3r ，故内切圆的面积与扇形面积之比为πr 2：12×π3×9r 2＝2∶3.★答案★：2∶35．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为________． 解析：由题意，这条弦所对的圆心角为π3，故圆周角为π6.★答案★：π66.如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则阴影部分的面积是________．解析：因为120°＝2π3，所以S 扇形OAB ＝12×2π3×62＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×(2×6cos 30°)×3＝9 3.所以S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ★答案★：12π－9 37．若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．解：因为θ＝6π7＋2k π(k ∈Z)，所以θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z)． 依题意0≤2π7＋2k π3<2π(k ∈Z)，解得－37≤k <187(k ∈Z)， 所以k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.8.如图，P ，Q 是以O 为圆心，4为半径长的圆周上的动点，现点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒转π6弧度，(1)求P ，Q 第一次相遇时所用的时间； (2)求P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长． 解：(1)设点P 与Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4. 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.(2)点P 走过的弧长为π3×4×4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－π6×4×4＝8π3.。
2019-2020学年苏教版必修4 1.1.2 弧度制 课件(38张)
第1章 三角函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( × ) (2)弧长为 π，半径为 2 的扇形的圆心角是直角．( √ ) 解析：(1)错误.1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心 角． (2)正确．若弧长为 π，半径为 2，则|α|＝π2，故其圆心角是直 角．
第1章 三角函数
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第1章 三角函数
②终边与25π角相同的角为 θ＝25π＋2kπ(k∈Z)， 当 k＝0 时，θ＝25π； 当 k＝1 时，θ＝125π， 所以在[0，4π]中与25π角终边相同的角为25π，125π.
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第1章 三角函数
弧长与扇形面积公式的应用 已知一扇形的圆心角是 α，半径是 r. (1)若 α＝60°，r＝10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值 c(c>0)，则当 α 为多少弧度时，该 扇形的面积最大？
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第1章 三角函数
“度”与“弧度”的区别与联系 (1)定义不同
区 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略， 别 而角度制是以“度”为单位，单位不能省略
(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制
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第1章 三角函数
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 联 一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两 系 者的比值有关
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第1章 三角函数
3．一钟表的分针长为 5 cm，经过 40 分钟后，分针外端点转 过的弧长是________cm. 解析：经过 40 分钟，分针转过的角是 α＝－4×π3＝－43π，则 l＝|α|r＝5×43π＝230π(cm)． 答案：230π
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225 π 5π ＝ × ＝ . 2 180 8
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题型4
弧长公式和扇形面积公式
例4 直径为1.4 m的飞轮，每小时按逆时针方向旋转24 000转，求： (1)飞轮每秒转过的弧度数； (2)轮周上的一点P每秒钟经过的弧长．
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分析：先考虑飞轮每秒钟转多少转，再注意到每转的弧度数为 2 π. 解析：(1)飞轮每秒钟转过的弧度数为 24 000 40 ×2π＝ π(rad)； 3 600 3 (2)轮周上一点 P 每秒转过的弧长为
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各自走过的弧度．
π π 解析： 设第三次相遇时运动时间为 x 秒， 则 ×x＋ ×x＝6π， 3 6 ∴x＝12. π ∴点 M 走的弧度数： ×12＝2π. 6 点 N 走的弧度数：－ π ×12＝－4π. 3
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题型3
角度与弧度的互化
例3 把67°30′化成弧度．
分析：角度制与弧度制的换算是度与弧度两种单位之间的换算， 故需先在角度制内将分化为度．
便地进行角度与弧度的换算；一些特殊角的弧度数，要 求熟记，可通过下图记忆一些角的弧度数与角度数之间 的关系．
今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角 度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单 位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现
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k· 360°＋或者2kπ－60°一类的写法．
1 1 |α|·r2 l·r 2 |α|r ，扇形的面积S＝______ 弧长l＝______ ＝2 ______.
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知识点1
角度制与弧度制的换算
角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它 们是互相联系、辩证统一的；角度与弧度的换算，关键
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要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方
第1章
三角函数
1．1 任意角、弧度 1．1.2 弧 度 制
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1．理解并掌握弧度制的定义． 2．掌握弧度与角度的换算方法．
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一、弧度制的烦恼 1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 1.1弧度 的角． 做________
2．正角、零角、负角的弧度数．
正数 ； (1)正角的弧度数是一个________
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零 (2)零角的弧度数是________ ；
负数 ． (3)负角的弧度数是一个________
二、角度制与弧度制的互化 角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周， 其长为2πr，所以周角的弧度数是 2π，但周角又等于360°， 所以360°＝2π，所以180°＝π，
π 180 ° 180 57.3° 故得：1°＝________ ，1 rad＝________≈________＝ π
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57°18′ ________. 附：完成常用角的弧度角度换算表： 提示
三、弧长公式与扇形面积公式 1．角度制：半径为 r，圆心角为n°的扇形中，圆心角 所对的弧长l和面积S分别为： nπr2 nπr 弧长l＝________ 360 180 ，扇形的面积S＝________. 2 ．弧度制：半径为 r ，圆心角为 α rad 的扇形中，圆 心角所对的弧长l和面积S分别为：
解析：用角度和弧度的定义判断． 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧 度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半 径的比值有关，所以 D 是假命题．其他均为真命题． 答案：D
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变 式 训 练
2．单位圆上两个动点 M、N，同时从 P(1,0)点出发，沿圆周运 π 动，M 点按逆时针方向以 弧度/秒的角速度旋转，N 点按顺时针方 6 π 目 向以 弧度/秒的角速度旋转，试求它们出发后第三次相遇的时间和 链 3
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变 式 训 练
1．下列说法中正确的是( )
A．1 弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 C．圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度来表示的角都是正角
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答案：A
题型2
弧度数 )
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例2下列命题中，假命题是(
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆 的半径长短有关
1 解析：∵67°30′＝67 °， 2
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∴67°30′＝
π 1 3 rad×67 ＝ π rad. 180 2 8
方法指导：同学们在进行角度与弧度互化时要抓住 180 °＝π rad 这个关键．
变 式 训 练
225 ° 4 4 解析：(1) π rad＝ ×180°＝144°；(2)112°30′＝ 5 5 2
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实 数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数 也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它
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对应(如下图所示)．
知识点2
＝|α|· r 及扇形的面积公式 S＝ 2 1 lr＝ |α|r2，要特别注意公式中各个字母的含义：|α|是扇形所在 2 栏 圆心角的弧度数的绝对值，l 是弧长，r 是所在圆的半径． 运用弧长公式时圆心角 α 的单位必须是弧度．今后用弧度制表 示角时， “弧度”二字或“ rad ”通常略去不写，而只写该角所对应 π π 的弧度数．例如：sin 就表示 rad 的角的正弦．但用角度制表 3 3 示角时，即用“度”为单位度量角时， “度”(即“°”)不能省去．
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题型1
弧度制
例1下列各命题中，真命题是(
)
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A．一弧度是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是 角的一种度量单位
解析：根据弧度制的概念判断． 本题考查弧度制下角的度量单位及一弧度的概念． 根据一弧度的定义，我们把长度等于半径长的弧所对的圆 栏 心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知 D 为真命题． 答案：D