定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用1
定积分的应用
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
2 利用定积分由变化率求总量问题
3 用定积分求经济函数的最大值和最小值
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
5 利用定积分决定广告策略问题
定积分在数学中占主导地位。
同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。
只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
定积分在医学和经济学中的应用
一、定积分在医学的应用
1、采用定积分法求出体积密度的温度指数
定积分法是一种用来衡量体积密度的温度指数的有效方法，它通过推算出物体某一温度下的体积密度，再用这个温度值求出体积密度的温度指数。
2、定积分法求解医学中人体的各种比热容和抵抗力
定积分法可以帮助医学研究人员求解出人体各种比热容和抵抗力，这些数据可以用于研究人体对环境变化的反应。
3、定积分用于细胞学研究
定积分法可以用于细胞学研究，其中，可以推算出细胞的朗道数量。
朗道数量是衡量细胞活动能力的重要标志，对于病理的预测和研究有重要意义。
二、定积分在经济学中的应用
1、获得投资回报率和投资风险的指标
定积分法可以用来衡量一项投资的回报率，以及投资风险的大小。
如果某个项目的回报率较高，可以判定这个投资项目较为稳健，而投资风险较低。
2、分析市场消费者群体行为模式
定积分法可以用来分析市场消费者群体的行为模式，可以推算出消费者群体的消费习惯，再根据消费习惯进行市场细分。
3、定积分法求解企业的长期成长趋势
定积分法可以用来求解企业的长期成长趋势，可以精确进行企业财务成绩的预测，从而为企业管理决策提供依据。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。
在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。
在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。
它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。
通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。
在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。
在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。
在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。
在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。
在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。
定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。
通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。
1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。
在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。
在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。
在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。
定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。
2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。
高数三：函数平均值和定积分的经济学应用
三、平均值在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。
例如：对某一零件的长度进行n 次测量，每次测得的值为。
通常用算术平均值作为这个零件长度的近似值。
然而，有时还需要计算一个连续函数在区间上的一切值的平均值。
我们已经知道，速度为的物体作直线运动，它在时间间隔上所经过的路程为用去除路程s ，即得它在时间间隔上的平均速度，为一般地，设函数在区间上连续，则它在上的平均值，等于它在上的定积分除以区间的长度b-a ，即图 5-34这个公式叫做函数的平均值公式。
它可变形为它的几何解释是：以为底、为曲边的曲边梯形面积，等于高为的同底矩形的面积（见图5-33）图 5-33例6 求从O到T这段时间内自由落体的平均速度。
解：自由速度为。
所以要计算的平均速度（见图5-34）为例7 计算纯电阻电路中正弦交流电在一个周期内功率的平均值。
解设电阻为R，那么电路中R两端的电压为而功率因为交流电的周期为，所以在一个周期上，P的平均值为就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半。
通常交流电器上标明的功率是平均功率。
四、定积分在经济上的应用举例定积分在经济活动中应用很广泛。
如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决。
例8 设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知求从t=1到t=3这两个小时的总产量。
解：因为总产量是它的边际产量的原函数。
所以，从t=1到t=3这两小时的总产量是（千件）例9 已知生产某产品x件的边际收入是( 元/件)求生产此产品1000件时的总收入，平均收入，及生产1000件到2000件时所增加的收入和平均收入。
解：设总收入函数为，总产量为1000件时的总收入R（1000），为平均收入产量从1000件到2000件所增加的收入为，其平均收入为例10 设某产品的总成本C（单位：万元）的边际成本是产量x（单位：百台）的函数，;总收入（单位：万元）的边际收入是产量x的函数，求：1）产量由1百台增加到5百台总成本，总收入各增加多少？2）已知固定成本C（0）为1万元，分别求出总成本、总收入，总利润与产量的关系式。
定积分在经济学中的应用
目的和意义
研究定积分在经济学中的应用，有助于深入理解经济现象和规律，为经济决策提 供科学依据。
通过定积分的应用，可以更加精确地描述和预测经济行为，提高经济分析的准确 性和可靠性。同时，定积分的应用也有助于推动经济学与其他学科的交叉融合， 促进经济学的发展和创新。
定积分的结果通常是数值形式，对于非专业 人士来说可能难以理解和解释，需要结合实 际经济现象进行解释和说明。
05
定积分在经济学中的未来发展
研究方向
1 深化定积分与金融学的交叉研究
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
2 拓展定积分在产业组织理论中的应用
消费者行为模型
通过建立消费者行为模型，定积分可 以描述消费者的购买决策过程，解释 消费者如何权衡价格、收入和偏好等 因素。
生产者行为分析
成本最小化
定积分可用于分析生产者如何最小化生产成本，通过优化生产要素的配置，提 高生产效率。
产量决策
定积分可以用于确定生产者在不同市场条件下的最优产量决策，以实现利润最 大化。
定积分的应用需要满足一定的假设条件，如 连续性、可微性等，但在实际经济现象中，
这些假设可能并不总是成立。
数据要求高
定积分的计算过程较为复杂，需要耗费大量 的计算资源和时间，对于大规模的经济系统
可能存在计算瓶颈。
计算成本高
定积分需要大量的数据作为支撑，数据的准 确性和完整性对结果的影响较大。
解释难度大
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用经济学中不定积分和定积分是一种重要的计算工具，具有广泛的实际应用。
不定积分和定积分在经济生活中有着重要的意义，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地了解和研究经济问题，有助于更好地推进经济发展和管理经济。
本文将简要介绍不定积分和定积分在经济生活中的应用。
不定积分在经济生活中的应用不定积分的应用在经济学中很广泛，可以用来解决许多经济中的问题。
首先，它可以用来计算价格。
不定积分可以用来计算出给定价格下消费者需求量和生产商供给量之间的关系，进而了解消费者和生产商在某一价格水平下多大程度上能够受到价格影响。
其次，不定积分可以用来计算投资成本。
不定积分可以用来计算投资成本，以判断投资成本究竟有多大，是否值得投入。
投资者也可以运用不定积分法来分析所考虑的投资项目的投资回报率，以更快地、更高效地学习投资过程的风险和收益。
定积分在经济生活中的应用定积分也在经济生活中有着重要的应用。
首先，它可以用来计算消费函数。
函数可以用来展示消费者在不同收入水平下的消费水平，这有助于经济学家和政策制定者更好地理解消费者的消费行为，推动经济发展。
其次，定积分也可以用来计算税收函数。
税收函数可以用来计算税收对投资的影响，以判断出税收的调节幅度，有助于政府制定出合理的税收政策，推动经济发展。
此外，定积分还可以用来计算产出函数。
产出函数可以用来计算不同生产要素投入水平下生产总量的大小，有助于计算出不同生产要素对总产出的贡献度，以及它们投入和产出间的关系。
结论从上述内容可以看出，不定积分和定积分在经济生活中有着重要的应用。
不定积分可以用来计算价格和投资成本，而定积分则可以用来计算消费函数、税收函数和产出函数。
因此，不定积分和定积分都是经济学上重要的工具，它们对经济管理者来说是不可或缺的。
它们的正确运用可以帮助经济学家和经济管理者更深入地理解和研究经济状况，有助于推动经济发展。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用"定积分在经济学中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它通常用来解决连续函数的积分问题。
在经济学中，定积分也有着广泛的应用。
首先，定积分可以用来解决经济问题。
例如，在解决资本的无效配置问题时，可以使用定积分来求出资本的最优配置方案。
其次，定积分也可以用来解决生产函数问题。
通过对生产函数的定积分，可以得出生产总量与资本、劳动的函数关系，为企业决策提供参考。
此外，定积分还可以用来解决成本函数问题。
对成本函数进行定积分，可以得出成本总量与生产量的函数关系，为企业制定成本管理策略提供依据。
另外，定积分还可以用来解决供求函数问题。
通过对供求函数进行定积分，可以得出市场供需平衡的价格区间，为市场调节提供参考。
此外，定积分还可以用来解决效用函数问题。
对效用函数进行定积分，可以得出个体的效用曲线，为决策者制定1. 定积分的概念及其求法"1. 定积分的概念及其求法"定积分是数学中的一种重要概念，它是指在给定的区间内对一个连续函数的定义域进行积分的过程。
首先，定义定积分的概念。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫a^b f(x) dx，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
其次，介绍定积分的求法。
常用的求定积分的方法有两种，一种是定义求积公式法，另一种是定积分的简单逼近法。
定义求积公式法是指根据函数f(x)的性质，使用一些特殊的函数求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
例如，当f(x)为常数时，f(x)在区间[a,b]上的定积分就是f(x)的常数值乘以区间[a,b]的长度。
定积分的简单逼近法是指使用一些简单的函数来逼近函数f(x)，然后求出这些简单函数的定积分，最后用这些定积分的和来近似求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
常用的简单逼近法有梯形公式法和 Simpson 公式法。
总之，定积分是数学中的一种重要概念2. 定积分在解决经济问题中的应用"2. 定积分在解决经济问题中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它在解决经济问题中也有着广泛的应用。
定积分在数学中的应用
定积分在数学中有广泛的应用，涵盖了多个领域，包括几何、物理、经济学和工程学等。
以下是一些常见的应用领域：
1. 几何学：定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积、空间曲面的面积和体积等。
通过将几何问题转化为定积分的计算，可以准确求解各种形状的几何量。
2. 物理学：定积分在物理学中的应用非常广泛。
例如，可以用定积分计算物体的质心、转动惯量、流体的压力和力矩等。
还可以通过定积分计算曲线下的面积来求解物体的位移、速度和加速度等运动学问题。
3. 经济学：定积分在经济学中的应用主要用于计算累积量。
例如，可以使用定积分计算总收益、总成本、总利润等经济指标。
还可以通过定积分计算边际收益和边际成本，从而进行经济决策和优化问题的分析。
4. 工程学：定积分在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，可以使用定积分计算电路中的电流、电压和功率等物理量。
在结构工程中，可以通过定积分计算材料的体积、质量和重心位置等。
此外，定积分还在概率论、信号处理、图像处理等领域有各种应用。
总之，定积分作为微积分的重要工具，广泛应用于数学及其他学科的建模、计算和问题求解中，提供了丰富的数学工具和方法，有助于深入理解各个学科中的现象和问题。
定积分在经济学上的应用
投资组合优化
投资组合优化
定积分可用于确定最优投资组合，以最 大化预期收益并最小化风险。通过求解 定积分，可以找到最佳的投资权重分配 ，使得在给定风险水平下获得最大的预 期回报。
VS
有效前沿
在投资组合优化中，定积分可用于计算有 效前沿，即所有可能投资组合中预期收益 与风险的比率最高的组合集合。有效前沿 为投资者提供了在不同风险水平下选择最 优投资组合的参考。
这种方法可以处理具有复杂约束条件的资源分配问题，如环保、安全等， 为决策者提供更加精确和可靠的资源配置方案。
06
定积分在经济增长与经济发展 中的应用
Chapter
经济增长模型的建立与分析
经济增长模型
定积分可以用于建立和分析经济 增长模型，通过积分运算来描述 经济产出的累积效应和动态变化
。
模型分析
资源管理
利用定积分的方法，可以对资源进行合理配置和管理，实 现资源的可持续利用和环境保护。
综合评估
定积分还可以用于综合评估可持续发展目标的实现情况， 通过数据分析和积分运算，分析不同指标之间的相互影响 和制约关系，提出改进措施和解决方案。
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定积分与不定积分之间的关系是，不 定积分是所有可能的原函数族，而定 积分是其中的一个特定值。
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再相加或相减。
区间可加性
定积分在区间[a, b]上的积分等于在各个子区间上的 积分之和。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k ，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
这种方法可以应用于各种资源分配场景，如资金、人力、物资等，为决策者提供科学的资源配置方案。
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定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。
可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x)()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。
解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。
例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。
解 所求的总产量为dt t Q Q ⎰'=05)( 650)150200()600400(|)640()1220(1052105=+-+=+=+=⎰t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。
假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。
解 总成本函数为)0()2100()(0c dt t x c x++=⎰=10001002++x x总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 10004002--x xL '= 400- 2x 令L '= 0, 得x= 200因为L '' ( 200) < 0所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。
最大利润为L( 200)=400 ⨯200-2200-1000=39000( 元) 。
例4 某企业生产x 吨产品时的边际成本为30501)(+='x x c ( 元/ 吨) 。
且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低? 解： 首先求出成本函数 900301001900)30501()()(2000++=++=+'=⎰⎰x x dx x c dx x c x c x x , 得平均成本函数为 xx x x c x c 900301001)()(++== 求一阶导数 29001001)(x x c -=' 令0='c , 解得3001=x (2x = - 300 舍去) 。
因此, c ( x) 仅有一个驻点1x = 300, 再由实际问题本身可知c ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。
例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t 的追加成本和增加收益分别为 2323//()62()18C t tR t t =+=-（百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？解： 有极值存在的必要条件 //()()0R t C t -=，即 223318(62)0t t --+=可解得 t=8 132////3////24()()33()()0R t C t t t R t C t ---=---<故*t =8时是最佳终止时间，此时的利润为 2233538//08080[()()]20[(18)(62)]209(12)|20538.42018.4L R t C t dt t t dt t t =--=--+-=--=-=⎰⎰因此最大利润为18.4百万元4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P 的单调递减函数。
同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P 的单调递增函数。
由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=)(1Q f -与P= )(1Q g -, 此时函数P=)(1Q f -也称为需求函数, 而P=)(1Q g -也称为供给函数。
需求曲线(函数) P=)(1Q f -与供给曲线(函数) P=)(1Q g -的交点A( P* , Q* )称为均衡点。
在此点供需达到均衡。
均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。
如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。
假设消费者以较高价格P= )(1Q f -购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q+Q ∆]内消费者消费量近似为Q Q f ∆-)(1, 故消费者的总消费量为dQ Q f Q )(*01⎰-,它是需求曲线P=)(1Q f -在Q 与Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap 的面积, 如图如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为**0)(*Q p dQ Q f Q -'⎰它是曲边三角形1*AP P 的面积。
如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1Q g P -=出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。
同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, dQ Q g Q ⎰-*01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为dQ Q g Q P Q )(*01**⎰-- 它是曲边三角形*0Ap p 的面积。
例6 设某产品的需求函数是P=Q 2.030-。
如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。
解 已知需求函数P=Q Q f 2.030)(1-=-,首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令Q 2.030- = 10, 得Q* = 10000。
于是消费者剩余为**01)(*Q P dQ Q f Q -⎰- = 1000010)2.030(10000⨯--⎰dQ Q =(30Q-)15223Q 100000|100000- =66666.67(元)。
例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 012Q , 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。
解 首先求出对应于*p = 425 的*Q 的值,令425= 250+ 3Q + 0. 012Q , 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为dQ Q g Q p Q )(*01**⎰-- =dQ Q Q )01.03250(504252500++-⨯⎰ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++-⨯323101.023*********Q Q 500|=4583.339(元)。
5 利用定积分决定广告策略问题例8 某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线t e 02.06101⨯⨯( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为5103.1⨯美元的广告活动. 按惯例, 对于超过6101⨯美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。
试问该公司按惯例是否应该做此广告? 解 由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分即总销售额= |12002.012002.002.010000001000000t t e dt e =⎰ =135600015000000024.0≈-e ( 美元)公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是 156000)1200000013560000(10.0=-⨯(美元)156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的, 因此, 广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元) 这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。
6 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r计息, 从而总现值y=dt e t f rt T -⎰0)(。
例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为 Y=)1(0rt T rt e r a dt ae ---=⎰从而投资所获得的纯收入的贴现值为 A e r a A y R rT )1(--=-=( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。
由A e r a rT =--)1(得T =Ar a a r -ln1 即收回投资的时间为T=Ara a r -ln 1例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为05.0800200200ln 05.01⨯-=T =25.1ln 2046.4≈( 年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.例10 有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值) .解 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现dt ae y rt ⎰+∞-=0=dt e t ⎰+∞-005.02000=dt e Lim b t b ⎰-∞+005.02000 =[]b b e Lim 05.0105.02000-∞+- =05.012000⨯ =40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.例11� 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A 元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式得50000)10(02.0100=-⎰dt e A t 又02.012.0100)10(02.0-=⎰-Ae dt Ae t得4517102.0500002.0≈-⨯=e A (元)。