七年级数学培优辅导(三) 观察、归纳与猜想
初中数学教学中猜想数学思维应用
初中数学教学中猜想数学思维应用数学思维是指通过数学的概念、原理和方法来解决问题的思维方式。
在初中数学教学中，教师应该引导学生培养正确的数学思维应用，培养学生的数学兴趣和创新能力。
猜想是培养数学思维应用的重要一环。
教师可以通过引导学生观察问题、发现规律，进而猜测解决问题的方法和答案。
在解决一道几何题时，教师可以给学生一个图形，要求他们猜测图形的性质或者某个角度的度数大小。
这样的猜想活动可以帮助学生积极思考、勇于发散思维，从而激发学生对数学的兴趣。
应用是数学思维的重要环节。
将数学知识和方法应用到实际问题中，培养学生解决实际问题的能力。
在学习立体几何时，教师可以设计一些实际情境，让学生运用所学的知识来计算物体的体积、表面积等。
这样的应用训练可以帮助学生提高解决实际问题的能力，培养学生的创新思维。
证明是培养数学思维应用的核心环节。
通过证明，学生可以深入理解数学概念、原理和方法，并运用所学的知识进行推理和演绎。
在学习直角三角形的性质时，教师可以引导学生通过画图、运用勾股定理等方法进行证明。
这样的证明活动可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的证明能力。
创新是数学思维应用的最高境界。
如果仅仅停留在应用层面，只能解决问题，而无法开拓新的领域。
教师应该引导学生进行数学思维的创新应用。
在学习函数的性质和变化规律时，教师可以鼓励学生设计一些新颖的函数型，并研究其性质和变化规律。
这样的创新训练可以培养学生的批判性思维和创造力，提高他们解决复杂问题的能力。
在初中数学教学中，猜想、应用、证明和创新是培养数学思维应用的关键环节。
通过合理设计的教学活动和问题情境，教师可以引导学生积极参与学习，充分运用数学思维解决问题，提高他们的数学素养和创新能力。
教师应该给予学生充分的自主学习和合作学习的机会，让他们在实际操作中体验数学思维的乐趣，从而培养他们对数学的兴趣和热爱。
猜想与归纳
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……猜想与归纳归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.⑴根据题意，完成下表：⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3S 2＝22（3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3 A 21 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑴ ⑵⑶⑷解答下列问题： ⑴填表：⑵当n ＝8时，y ＝ ___；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。
初中数学教学中猜想数学思维应用
初中数学教学中猜想数学思维应用数学思维是指在数学问题解决中所具备的思维方式和方式回答问题的方法。
它是一种逻辑思维方式，既是通过观察、分析、归纳和推理等方法来推断结论，又是通过假设、验证和证明等方法来回答问题。
在初中数学教学中，猜想数学思维是培养学生数学思维的重要方法之一。
猜想是数学思维的起点。
在学习数学的过程中，学生常常会遇到一些陌生的问题，我们可以要求学生先自己猜想一下问题的答案。
通过猜想，学生能够主动思考问题，培养他们的观察力和思考能力。
而且，猜想也可以激发学生对数学问题的兴趣，提高他们的学习积极性。
猜想可以引发学生对问题的思考。
一旦学生提出了一个猜想，就会有很多种方法可以验证这个猜想是否正确。
学生可以通过举例法、模拟法、证明法等多种方法来验证自己的猜想。
这样不仅可以加深学生对知识的理解，还可以提高他们的问题解决能力和创新能力。
猜想可以帮助学生发现问题中的规律。
通过验证猜想的过程，学生可以发现问题中的一些规律和性质，并且对问题的本质有更深入的理解。
这样有助于学生建立数学概念的联结，提高他们的数学思维能力。
猜想可以提高学生解决问题的能力。
学生在验证和修正猜想的过程中，不仅学会了解决具体问题的方法，还培养了学生的探究精神和解决问题的能力。
这对于学生的综合素质提高具有积极意义。
猜想数学思维在初中数学教学中具有重要的作用。
通过培养学生的猜想能力，可以提高他们的观察力、思考能力和问题解决能力。
这有助于学生更好地理解数学知识，提高数学成绩，同时也为他们将来的学习和工作打下坚实的基础。
在初中数学教学中应当加大对猜想数学思维的培养和应用，为学生的综合素质发展提供更好的支持。
选修第3节归纳与猜想(初中数学培优)
数学思想方法谈（3）猜想与归纳——找规律问题猜想与归纳一种简单、但同时又非常重要的数学方法。
它经常与从特殊到一般的思想配合使用。
采用从特殊到一般的思想方法时，就需要采用猜想与归纳的方法，从一系列特殊或简单的数学结论中归纳和总结其中的数学规律，并将这个规律进行拓展、延伸，使用到普遍的情况中去。
例 1.按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是。
2.一组按规律排列的式子：2 b a-，53ba，83ba-，114ba，…（0ab≠），第n个式子是（n为正整数）。
例3.设平面内有n条直线(3)n≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。
若用()f n表示这n条直线交点的个数，则(4)f=_____________；当4n>时，()f n=_____________。
问题与思考：如何解决才能高效、快速地寻找上述问题的规律并写出()f n ？如果构造数列()n a f n =，该数列的有什么特殊性质？该特殊性质与()f n 的形式具有什么关系？能够进行推广？探究：1.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10……………………………… 按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 。
2.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放。
从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以)f表示第n堆的乒乓(n球总数，则=f。
(n))3(f；=。
初中竞赛数学培优辅导3 观察、归纳与猜想(含答案)
3.创造的基石──观察、归纳与猜想知识纵横当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。
20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350•多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。
例题求题【例1】(1)用●表示实圆,用○表示空心圆,现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下:●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问:前2001个圆中,有_______个空心圆. (2001年江苏省泰州市中考题)(2)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.(2003年舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆的个数不变;(2)每个三角形数可用若干个数表示.解:(1)667 提示:每9个圆一组中实圆个数循环出现,而空心圆每组3个;(2)(1+2+3+…+24)-(1+2+3+…+22)=47.【例2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交,最多有1个交点最多有3个交点最多有6个交点像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( )A.40个B.45个C.50个D.55个(2001年湖北省荆门市中考题) 思路点拨随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,•探讨每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系,是解本例的关键.解:选B.提示:每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数相同,问题就转化为求1+2+3+…+9的和.【例3】化简999n ⋅⋅⋅个×999n ⋅⋅⋅个+1999n ⋅⋅⋅个(第18届江苏省竞赛题)思路点拨 先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加明确.解:原式=102n【例4】古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如如下两行:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数,第1列是甲子,第3列是丙寅…,问当第二次甲和子在同一列时,该列的序号是多少? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解。
初中数学教学中猜想数学思维应用
初中数学教学中猜想数学思维应用数学是一门需要运用逻辑思维和推理能力的学科，而猜想则是数学思维中的重要环节之一。
在初中数学教学中，猜想数学思维的应用是非常重要的，它不仅可以帮助学生提高自己的数学思维能力，还可以激发他们对数学学习的兴趣，使数学变得更加生动有趣。
本文将重点探讨初中数学教学中猜想数学思维的应用，以期使学生在数学学习中能够更好地发挥出自己的潜力。
一、什么是猜想数学思维猜想，是指在对问题进行观察、分析和实验的基础上，提出一个初步的结论，但还未给出严格的证明。
猜想数学思维是指学生在学习数学时，根据自己的认识和经验，提出一个假设，并且通过数学推理和举例子加以验证，最终得出一个合理的结论。
猜想数学思维的应用在于培养学生的数学思维能力和观察问题的能力。
通过提出猜想，学生可以主动思考问题，提高自己的问题解决能力。
在学习数学的过程中，猜想数学思维也可以激发学生的求知欲和学习兴趣，使数学变得更加有趣。
在初中数学教学中，猜想数学思维的应用是非常重要的。
教师可以通过设计一些具有启发性的问题，引导学生提出自己的猜想，并通过一些实例来验证学生的猜想，从而培养学生的数学思维能力。
1. 提出问题引发猜想2. 引导学生进行实例验证学生提出了猜想之后，教师可以引导学生进行实例验证。
通过一些具体的例子，学生可以逐步验证自己的猜想，从而得出结论。
这个过程不仅可以培养学生的逻辑思维能力，还可以加深他们对数学知识的理解。
3. 分享验证结果并引导总结为了更好地理解初中数学教学中猜想数学思维的应用，下面将介绍一个具体的实例。
例：证明“正整数a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2的条件下，a、b、c中必有偶数”解：我们可以让学生观察一些常见的勾股数，例如3、4、5；5、12、13；7、24、25等。
学生可能会发现，无论是哪一个勾股数，其中必有一个偶数。
七年级数学培优辅导(三) 观察、归纳与猜想.
叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第9页只要路是对的,就不要怕路远 .第三讲观察、归纳与猜想※知识纵横当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手,通过对简单情形或特殊情况的试验,从中发现一般规律或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径或方法,这种研究问题的方法叫归纳猜想法 .观察、实验、猜想是科学技术创造过程中的一个重要方法,通过观察与实验提出问题,再提出猜想和假设,最后通过推理去证明假设和猜想 .※典例剖析【例 1】如图,一张餐桌可以坐 6人,两张放在一起可以坐人,三张放在一起可以坐人, n 张放在一起可以坐人 .【例 2】一楼梯共有 n 级台阶,规定每步可以迈 1级或 2级或 3级,设从地面到台阶的第 n 级,不同的迈法为 n a 种,当 8 n 时,求 8a .【例 3】已知一列数:-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7,…将这列数排成下列形式: 第 1行 -1 第2行 2 -3 第 3行 4 -5 6 第 4行 -7 8 -9 10 第 5行 -11 12 -13 14 -15 …………按此规律排下去,那么第 10行从左边数第 6个数是 .叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第10【例 4】阅读下面的材料:数学王子高斯在读小学的时老师出了这样一道计算题:1+2+3+… +99+100=?高斯很快得到了答案, 他的思路和方法整理后即是:一一相加太繁,分析 100个连续自然数的规律和特点,利用加法运算律可大大简化运算 .解:令=x 1+2+3+4+ … +99+100, … ①则=x 100+99+98+ … +2+1, … ②① +②得:=x 2(1+100 +(2+99 +… +(99+2 +(100+1 ∵ 1+100 =2+99 =3+98 = … =100 +1=101, ∴ =x 2100×101, ∴ =x 5050.即:1+2+3+… +99+100 = 5050.这种求和的方法我们称之为“倒序相加求和法” .请利用以上方法计算:(1 2+4+6+ … +98+100的值(请保留计算过程 . (2 20122011201232012220121( 434241( 3231(21+++++++++++等差数列的和 =(首项 +末项×项数÷2; 等差数列的项数 =(末项﹣首项÷公差 +1叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第11页只要路是对的,就不要怕路远 .等差数列的末项 = 首项 +公差 ×(项数﹣ 1※培优训练1.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设成矩形地面 . (1请问按这样的要求铺设,第 4个图中共有块瓷砖,第 n 个图中有块白色瓷砖,有个黑色瓷砖 .2. 认真观察下列式子:326121=+; 5215131=+; 7228141=+; 9245151=+; 11266161=+;… 按此规律第 n 个式子是.3.如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连结三边中点而得到的,依此类推,……,记上面的图中的三角形的个数为 1a 、2a 、 3a 、…… .(1由图可以看出:1a = 1个, 2a = 5个, 3a (2根据以上结果猜得:=20a 个(只需直接填出结果 ; (3计算:1a +2a +3a +… +19a +20a 的值(请保留计算过程 .4、观察按下列规律排成的一列数:, 61, 15, 24, 33, 42, 51, 14, 23, 32, 41, 13, 22, 31, 12, 21, 11(※ (1在(※中,从左边起第n 个数记为 n a ,当 20012=n a 时,求 n 的值和这 n 个数的积 .(2在(※中,末经约分且分母为 2的数记为 x ,它后面一个数记为 y ,是否存在这样的两个数 x 和 y使得 2001000=xy ,如果存在,求出 x 和 y ,如果求存在,请说明理由 .……第 1个第 2个第 3个①②③叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第 12页※能力拓展题组一:1、 43-++x x 的最小值 = ,此时 x 的取值范围是 .2、 432-+++-x x x 的最小值 = ; 此时 x 的取值范围是 . 题组二:1、不相等的有理数 a 、 b 、 c 在数轴上对应点分别为 A 、 B 、 C , 若 c a c bb a -=-+-, 那么点 B ( .A 、在 A 、 C 点的右边;B 、在 A 、C 点的左边; C 、在 A 、 C 点之间;D 、以上均有可能 . 2、已知数轴上有 A 、 B 两点, A 、 B 之间的距离为 1,点 A 与原点O 的距离为 3,求所有满足条件的点 B 与原点的距离的和 . 题组三:阅读材料,解答下列问题:大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题, 1+2+3+4+… +100=?经过研究,这个问题的一般性结论是:1+2+3+4+… +n =1(21+n n ,其中 n 是正整数,现在我们来研究一个类似的问题: =+++⨯+⨯+⨯1(433221n n ?观察下面三个特殊的等式:210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯, 321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯, 432543(3 143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加,可以得到:=⨯+⨯+⨯433221 .阅读完这段材料,请你计算:(1 101100433221⨯++⨯+⨯+⨯ ; (2 1(433221+++⨯+⨯+⨯n n ;(3 2(1(543432321++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n .。
2022年初中数学竞赛解题思想方法讲义---观察归纳与猜想
2022年初中数学竞赛解题思想方法--观察归纳与猜想一、教学目标1了解观察归纳猜想与证明的数学方法2掌握数形结合逻辑推理思想与能力3解决一些简单问题二、教学过程【1】例题讲解如图①：MA1①NA2，图①：MA1①NA3，图①：MA1①NA4，图①：MA1①NA5，……，则第8个图中的①A1+①A2+①A3+…+①A8＝_____．解：①MA1与NA n平行，①在图①可得①A1+①A2＝180°，在①中可过A2作A2B①MA1，如图．①MA1①NA3，①A2B①NA3，①①MA1A2+①BA2A1＝①BA2A3+①NA3A2＝180°，①①A1+①A2+①A3＝360°，同理可得①A1+①A2+①A3+①A4＝540°，①①A1+①A2＝180°＝1×180°，①A1+①A2+①A3＝360°＝2×180°，①A1+①A2+①A3+①A4＝540°＝3×180°，①①A1+①A2+①A3++…+①A8＝7×180°＝1260°．故答案为：1260°．【2】随堂演练一、单选题1．如图，直线ι1①x轴于点(1，0)，直线ι2①x轴于点(2，0)，直线ι3①x轴于点(3，0)，……ιn①x轴于点(n，0).函数y=x的图象与直线ι1、ι2、ι3、……ιn分别交于点A1、A2、A3、……An；函数y=2x的图象与直线ι1、ι2、ι3、……ιn分别交于点B1、B2、B3、……Bn；如果①O A1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，……四边形A n−1A n B n B n−1的面积记作Sn，那么S2018=()A．2017.5B．2018C．2018.5D．20192．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第9个图形圆的个数为（）A．94B．85C．84D．763．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（）A．20202020−12020B．20202021−12020C．20202021−12019D．20202020−120194．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第n个图形中白色正方形的个数为（）A．4n+1B．4n﹣1C．3n﹣2D．3n+25．计算3的正数次幂，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32011的个位数字是（）A．1B．3C．7D．96．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．2947．观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，…回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+⋯+1(x+99)×(x+100)=1x+100，则x的值为（）A．100B．98C．1D．128．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（）A．B．C．D．9．将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色（可以只用一种颜色），则正方体不同的涂色方案总共有（）种A．6B．8C．9D．1010．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84B．336C．510D．1326二、11．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．12．如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．①若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．①若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2020圈，求4号箱内有_____颗红球．13．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22−1)(22+ 1)(24+1)(28+1)=(24−1)(24+1)(28+1)=(28−1)(28+1)=216−1．请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)=____．14．观察分析下列各式√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，⋯，按照上述三个等式及其变化过程，猜想第14个等式为________________________15．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．16．如图，∠MON=45°，正方形AB B1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1,A2,A3⋯，在射线OM上，顶点B,B1,B2,B3,B4,⋯，在射线ON上，连接A B2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交A B2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DE D1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，，若AB=2，则S n等于________．（用含有正整数n的式子表示）．17．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22019+22020的值，采用以下方法：设s=1+2+22+⋅⋅⋅+22019+22020①，则2s=2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①，①–①得：2s−s=s=22021−1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+⋅⋅⋅+29=______．（2）3+32+⋅⋅⋅+310=______．（3）求1+a+a2+a3+⋅⋅⋅a n的和（a>1，n是正整数，请写出计算过程）．18．【问题提出】每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔子？(1)【问题探究】1月份，有1对小兔子；2月份，长成大兔子，所以还是1对；3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；…依此类推，请填下表：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份7月份…12月份兔子对数1123…(2)【类比应用】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有条树枝．(3)【综合应用】如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有种回家的方法；(4)如图①，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有种不同的跳法．19．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次这个三角形给出了(a+b)n数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应a+b)2=a2+2ab+b2)3=a3+3a2b+3a b2+b3展开式中各项的系数等．(a+b从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．的展开式；（1）根据材料规律，请直接写出(a+b)4（2）根据材料规律，如果将a −b 看成a +(−b )，直接写出211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 的展开式（结果化简）；若n 22n 4−5n 2+2=17，求211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 值； （3）已知实数a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+2a −4b +6c =−10，且1a +1+1b −2−1c +3=0，求a +b−c 的值．【2】随堂演练 参考答案1-10AACDC DBDDC11．（1）210-1；（2）311-32；（3）a n +1−1a −1．解: （1）设S=1+2+22+⋅⋅⋅+29①，则2S =2+22+⋅⋅⋅+210①， ①－①得2S−S =S =21−1， ①S =1+2+22+⋅⋅⋅+29=210−1．故答案为：210-1．（2）设S=3+32+⋅⋅⋅+310①，则3S=32+33+⋅⋅⋅+311①，①－①得2S=311−3，所以S=311−32，即3+32+⋅⋅⋅+310=311−32．故答案为：311-32．（3）设S=1+a+a2+⋅⋅⋅+a n①，则aS=a+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a n+a n+1，①－①得(a−1)S=a n+1−1，a=1时，所以S=a n+1−1a−1，即1+a+a2+⋅⋅⋅+a n=a n+1−1a−1．12．(1)解：2+3＝5；3+5＝8；5+8＝13；8+13＝21；13+21＝34；21+34＝55；34+55＝89；55+89＝144；填表如下：月份1月份2月份3月份4月份5月份6份份7月份⋯12月份兔子对数11235813⋯144故答案为：5；8；13；144.(2)根据题意，第2年为2枝，第3年为1+2=3枝，第4年2+3＝5枝，第5年为3+5＝8枝；第6年为5+8＝13枝；第7年为8+13＝21枝；第8年为13+21=34枝；第9年为21+34＝55枝；第10年为34+55＝89枝；故10年后树上有89条树枝．故答案为：89.(3)蜜蜂每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，意味蜜蜂只能从小号码的蜂房爬到相邻大号码的蜂房，按照以上规律可得：1+1＝2，1+2＝3，2+3＝5，3+5＝8，5+8＝13，…故共有89种回家的方法．故答案为：89.(4)从A到D可能的情况是：①只跳两次：AED一种；①只跳三次：ABCD一种；①正好跳四次：ABAED，AEAED两种；①正好跳五次：ABABCD、ABCBCD、ABCBCD共3种；①正好跳六次：AEAEAED，ABABAED，ABCBAED，AEABAED，ABAEAED共5种．故可能出现的不同跳法的种数是1+1+2+3+5＝12（种）．答：青蛙在6次之内（含6次）跳到D点有12种不同跳法．故答案为：12．【点拨】本题考查找规律问题，数字和图形的规律探究，由特殊到一般是解题的关键. 13．（1）(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4a b 3+b 4；（2）(n −1n +1)2 =n 2+1n 2−1+2n −2n ，(n −1n+1)2=1或9； （3）a +b −c =6或214.．√14+116=15√11615. 3 269116.22n +49．17（1）210-1；（2）311-32；（3）a n +1−1a −1． 18．(1)5；8；13；144(2)89(3)89(4)1219．（1）(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4a b 3+b 4；（2）(n −1n +1)2 =n 2+1n 2−1+2n −2n ，(n −1n+1)2=1或9； （3）a+b −c =6或2。
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第三讲 观察、归纳与猜想
※ 知识纵横
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法.
观察、实验、猜想是科学技术创造过程中的一个重要方法，通过观察与实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想.
※典例剖析
【例1】如图，一张餐桌可以坐6人，两张放在一起可以坐 人，三张放在一起可以坐 人，n 张
放在一起可以坐 人.
【例2】 一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第n 级，不同的迈法为n a 种，当8 n 时，求8a .
【例3】已知一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，…将这列数排成下列形式： 第1行 -1 第2行 2 -3 第3行 4 -5 6 第4行 -7 8 -9 10 第5行 -11 12 -13 14 -15 ……
……
按此规律排下去，那么第10行从左边数第6个数是 .
【例4】阅读下面的材料：
数学王子高斯在读小学的时老师出了这样一道计算题：1+2+3+…+99+100=？高斯很快得到了答案，他的思路和方法整理后即是：一一相加太繁，分析100个连续自然数的规律和特点，利用加法运算律可大大简化运算.
解：令=x 1+2+3+4+ … +99+100， … ① 则=x 100+99+98+ … +2+1， … ②
①+②得：=x 2（1+100）+（2+99）+…+（99+2）+（100+1） ∵ 1+100 =2+99 =3+98 = … =100 +1=101， ∴ =x 2100×101， ∴ =x 5050.
即：1+2+3+…+99+100 = 5050.
这种求和的方法我们称之为“倒序相加求和法”.
请利用以上方法计算：
（1）2+4+6+ … +98+100的值（请保留计算过程）. （2）)2012
2011201232012220121()434241()3231(21+++++++++++
等差数列的和=（首项+末项）× 项数÷2；
等差数列的项数=（末项﹣首项）÷公差+1
等差数列的末项= 首项+公差 ×（项数﹣1）
※培优训练
1．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设成矩形地面. （1）请问按这样的要求铺设，第4个图中共有 块瓷砖，第n 个图中有 块 白色瓷砖，有 个黑色瓷砖.
2. 认真观察下列式子：326121=+；5215131=+；7228141=+；9245151=+；11
266161=+；… 按此规律第n 个式子是
.
3．如图，第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连结三边中点而 得到的，依此类推，……，记上 面的图中的三角形的个数为1a 、
2a 、3a 、…… .
（1）由图可以看出：1a = 1个，2a = 5个，3a = 个； （2）根据以上结果猜得：=20a 个（只需直接填出结果）； （3）计算：1a +2a +3a +…+19a +20a 的值（请保留计算过程）.
4、观察按下列规律排成的一列数：
,6
1
,15,24,33,42,51,14,23,32,41,13,22,31,12,21,11（※） （1）在（※）中，从左边起第n 个数记为n a ，当2001
2
=n a 时，求n 的值和这n 个数的积.
（2）在（※）中，末经约分且分母为2的数记为x ，它后面一个数记为y ，是否存在这样的两个数x 和y
使得2001000=xy ，如果存在，求出x 和y ，如果求存在，请说明理由.
……
第1个 第2个 第3个
①
② ③
※能力拓展
题组一：
1、43-++x x 的最小值= ，此时x 的取值范围是 .
2、432-+++-x x x 的最小值= ； 此时x 的取值范围是 . 题组二：
1、不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ）.
A 、在A 、C 点的右边；
B 、在A 、
C 点的左边； C 、在A 、C 点之间；
D 、以上均有可能. 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点的距离的和. 题组三：
阅读材料，解答下列问题：
大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+4+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是：1+2+3+4+…+n =
)1(2
1
+n n ，其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： =+++⨯+⨯+⨯)1(433221n n ？
观察下面三个特殊的等式：
)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3
1
43⨯⨯-⨯⨯=⨯
将这三个等式的两边相加，可以得到：=⨯+⨯+⨯433221 .
阅读完这段材料，请你计算：
（1）101100433221⨯++⨯+⨯+⨯ ； （2）)1(433221+++⨯+⨯+⨯n n ；
（3）)2)(1(543432321++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n .。