概率论习题1.5解答

解: (1)所求的概率为 5 ; (2)所求的概率为 12 ; (3)所求的概率为 12 .
□
18
18
21
5. 一个家庭中有三个小孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.
解: A表示三个小孩中有一个是女孩, B 表示三个小孩中至少有一个是男孩,
于是所求的概率为 P(B A) = P( AB) = 6 / 8 = 6 .
解: 设 Bi 表示选出 i 级射手, i = 1, 2,3, 4 . A 表示选出的射手能通过选拔进入比赛.
于是由全概率公式得
2
概率论与数理统计习题解答
4
∑ P(A) = P(A| Bi )P(Bi ) = 0.645.
□
i=1
10. 12 个乒乓球中有 9 个新球，3 个旧球，第一次比赛，取出 3 个球，用完放回，第
(2)所求的概率为 P(A| B) = P(A B) = P(A) − P(AB) = 0.829.
□
P(B) 1− P(B)
7. 口袋中有1 只红球和 n −1只白球,现从中一个一个不放回地取球,
(1) 已知前 k −1(k ≤ n) 次都没有取到红球,求第 k 次取出红球的概率.
(2) 求第 k 次取出红球的概率.
若该学生知道所有试题的 70％的正确答案，求：(1)对一试题，该学生选得正确
答案的概率是多少?(2)若该学生对一试题已选得正确答案，问他真正知道此题答
案的概率是多少?
13. 设有来自 3 个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分
别为 3 份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
1
解: (1)所求的概率为
;
n−k +1
1
(2)所求的概率为 .
□
n
8. 口袋中有 a 只白球、 b 只黑球和 3 个红球,现从中一个一个不放回地取球,试求白
球比黑球出现得早的概率.
解:设 A表示白球比黑球出现得早,
Bi 表示第 i 次取出白球, Ci 表示第 i 次取出黑球, Di 表示第 i 次取出红球, 则 A = B1 ∪(D1B2 ) ∪(D1D2B3) ∪(D1D2D3B4 ) , 且 B1, D1B2, D1D2B3, D1D2D3B4 两两互
人继续掷.试求第 n 次由甲掷的概率.
解:设 Ai 表示第 i 次由甲掷, i = 1, 2,⋯, n .
显然 P(A1) =1,
P(
A2
)
=
5 6
,
P(
Ai+1
|
Ai
)
=
5 6
,
P( Ai+1
|
Ai
)
=
1 6
,
i
=
1,
2,⋯,
n
.
于是由全概率公式有
P(Ai+1) = P(Ai+1 | Ai )P(Ai ) + P(Ai+1 | Ai )P(Ai )
二次比赛又取出 3 个球.求第二次取出的 3 个球中有 2 个新球的概率.
解:设 Bi 表示第一次比赛取出 3 个球中有 i 个新球, i = 0,1, 2,3 .
A表示第二次取出的 3 个球中有 2 个新球.
由全概率公式知
∑ ∑ P(A)
=
3 i=0
P(A|
Bi
)P(Bi
)
=
3 i=0
C2 9−i
iC31+i
C132
×
C9i iC33−i C132
.
□
11. 某商店出售尚未过关的某电子产品，进货 10 件，其中有 3 件次品，已经售出 2
件,现要从剩下的 8 件产品中任取一件，求这件是正品的概率.
解: 设 Bi 表示已经售出 2 件产品中有 i 件次品, i = 0,1, 2 .
A表示从剩下的 8 件产品中任取一件产品是正品.
概率论与数理统计习题解答
习题 1.5
1. 已知 P(A) = 1 , P(B | A) = 1, P(A| B) = 1 ,求 P(B) ; P(A∪ B) ; P( A B) .
4
3
2
2. 设 P(A) = 0.4, P(B) = 0.7,试证: P(B | A) ≥ 0.5.
3. 设 N 件产品中有 M 件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品,
解: 设 B 表示"往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只是白球,"
3
概率论与数理统计习题解答
A 表示口袋中原来那只球是白球.
则由贝叶斯公式知
P(A|
B)
=
P(B
|
P(B | A)P(A) A)P(A) + P(B | A)P(A)
=
1×
1× 1+
1
2 1
×
1
=
2 3
.
□
2 22
15. 甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出 1 点时,则交给对方掷,否则此
则由全概率公式知
∑ ∑ P(A) =
2 i=0
P(A| Bi )P(Bi ) =
2 i=0
5+ 8
i
×
C3i
⋅
C2−i 7
C120
= 7. 10
□
12. “学生参加选择题的测验,每一个题目有 5 个备选答案，其中有一个正确．若该
学生知道答案，则他一定能选出正确的答案，否则他随机地从 5 个答案中选一个．
(1) 已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率; (2) 已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.
解:(1)设 Ai 表示"第 i 次取出不合格品", i =1,2.
于是所求的概率为 P(A2
A1) =
M −1
.
N −1
(2)设 A表示所取的两件产品中有一件是不合格品, B 表示另一件也是不合格品.
证明:
P( A | B) ≤ P( A) ⇔ P( AB) ≤ P( A)P(B)
□
⇔ P( AB) = P( A) − P( AB) ≥ P( A) − P( A)P(B) = P( A)P(B) ⇔ P( A | B) ≥ P( A).
4
于是所求的概率为
CM2
P(B
A)
=
P( AB) P( A)
=
1−
CN2 C2
N −M
CN2
= CN2
CM2 − CN2 −M
.
□
4. 掷两颗均匀的骰子,(1)已知点数和为偶数,求点数和等于 8 的概率;(2) 已知点数
和为奇数,求点数和大于 6 的概率;(3) 已知点数和大于 6,求点数和为奇数的概 率.
证明:注意到 P( AB) = P( A) − P( AB) ≥ P( A) − P(B) ,
不等式两边同除以 P( A) 得
P(B | A) = P(AB) ≥ P(A) − P(B) = 1− P(B) .
□
P( A)
P( A)
P( A)
17. 设 0 < P(B) < 1 ,证明: P( A | B) ≤ P( A) 的充要条件是 P( A | B) ≥ P( A) .
5
1
= 6 ⋅ P(Ai ) + 6 ⋅(1− P(Ai ))
14 = 6 + 6 ⋅ P(Ai ),
i =1,2,⋯,n.
从而
P(
Ai
)
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
⎛ ⎜ ⎝
2 3
i −1
⎞ ⎟ ⎠
⎤
⎥ ⎥⎦
.
i = 2,⋯, n .
□
16. 设 P( A) > 0 ,证明: P(B | A) ≥ 1− P(B) . P( A)
解: A表示系统 A有效, B 表示系统 B 有效. 由题意知
1
概率论与数理统计习题解答
P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B | A) = | A)P(A) = 0.85×0.08 = 0.068,
P(AB) = P(B) − P(A B) = 0.862. (1)所求的概率为 P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.988.
(1) 求先抽到的一份是女生报名表的概率.
(2) 已知后抽到的一份是男生报名表,求先抽到的一份是女生报名表的概率.
14. 口袋中有一球,不知它的颜色是黑的还是白的,假设”该球是白球”的可能性为 1 .现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,已知取出的是白球, 2 求口袋中原来那只球是白球的概率.
斥,于是
P(A) = P(B1) + P(D1B2) + P(D1D2B3) + P(D1D2D3B4)
a
=.
□
a+b
9. 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，
四级射手 1 人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0.9，0.7，
0.5，0.2. 求任取一位射手，他能通过选拔进入比赛的概率.
□
P( A) 7 / 8 7
6. 为防止意外事故，在矿井内同时安装两种警报系统 A 与 B ，每种系统单独使用时， 其有效率 A 为 0.92, B 为 0.93，在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0.85．求：(1)发 生事故时，这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在 B 失灵条件下， A 有 效的概率.