概率统计练习册习题解答

概率统计练习册习题解答

苏州科技学院

概率论与数理统计》活页练习册习题解答

信息与计算科学系

概率论与数理统计教材编写组

2013 年12 月

习题1-1 样本空间与随机事件

1选择题

（1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D）

（A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC

（D ）

AUBUC

（2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D）

A ;T1T2T3k

B ITT2T3 t?

C :min 汀,T2,T3? t? D

;max：T1，T2,T3i >t?

2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。

解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。

3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i

个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件：

（1 ）只有一个是次品；

(2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4

习题1-2 随机事件的概率及计算

1填空题

(1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二

二0 ，P(AB)二0.4。

P(A B)

(2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)=

0.3 ，P(AU B)= 0.6 。

2 ?选择题

(1)如果P(AB) =0，则(C )

(A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容

(C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B)

(2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是

(C )

(A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1

(C) AB二?一且 A B 二■1(D) AB 二一

3.—批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求

(1) 5只全是好的的概率； (2) 5只中有两只坏的的概率； (3) 5只中至多有一只坏的概率

P 2

=弩

(2)

C 40

=0.0354

4. ( 1)教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的

概率；

(2)房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一 个月的概率.

解：(1)设A 二“他们的生日都不相同”，则P(A)崇；

(2)设B 二“至少有两个人的生日在同一个月

41

12

-

p 4

41 96

习题1-3 条件概率

1.选择题：

(1)设A，B为两个相互对立事件, 且P(A) 0，P(B) 0，

(B) P(A B) = P(A) (C) P(A B) =0 (D)

(A) P(BA)?O

P(AB)二 P(A)P(B)

(2) —种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的

废品率为p,第二道工序的废品率为q,则该零件

加工的成品率为(|c )

(A) 1?q ( B) 1 - pq (C) 1 - p - q pq (D)

(1-P) (1-q)

2 ?填空题：

(1)已知P(A) =0.5, P(AUB) =0.6,若A、B 互不相容，贝P(B) = 0 .1

_ ；若A、B 相互独立，则P(B)=—0 . 2

(2)一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至

少命中一次的概率为80/81,该射手的命中率

2

——p=3—。

3?为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A

与B,每种报警系统都使用时，对系统A其有效的概率

是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：(1)发生意外时，

这两种报警系统至少有一个有效的概率；(2) B

失灵的条件下，A有效的概率。

解：设A“报警系统A有效”，B=“报警系统B有效”

则 (1) P(A B)十P(AB)十P(A)P(B A)十0.08 0.15 = 0.988

(2) 因为： P(AB) = P(A) +P(B) — P(AU B) =0.92 + 0.93-0.988 = 0.862

4?玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0, 1, 2

只残次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1, 一顾客欲购 一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察 看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求:

（1） 顾客买下该箱的概率：； （2）

在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率- 解 设A “顾客买下该箱”，B “箱中恰有i 件残次品”，

二P(A) =P(B °)P(A| B 。)P(B i )P(A|BJ P(B 2)P(A| B ?)

= 0.8 0.1 C 49 0.1 C i 8 ： 0.94

C 20

C 20

5?据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中， 有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么 大便

隐血检查表明有隐血的可能性是 50%如果一名 男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血 的可能性是3%如果对一名低风险男性进行的隐血 检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？

P(A) -P(AB) 1 -P(B)

0.058

0.07

=0.829 (1)

= P(B 0 |A)二

P(AB 。) P(A)

0.8 0.9

:0.85

P(AB) P(B)

解 设A = “ 50岁男性患有结肠癌”，B = “大便隐 血检查呈隐血”

由题意， P(A)= 0.003 , P(A) =0.997 , P(BA)=0.50 , P(B|A)=0.03

由贝叶斯公式（1.3.5）,

习题2-1随机变量及其分布函数

1 ?判断下列函数能否为某随机变量的分布函数

（ ）

0,

X :: 0,

Fi(x) =』sin x,

0^x￡—,

2

JI

1， X

-〒

0,

x 0,

F

2(x)n(1 x)

,x_0.

1 x

解：Rd ）是；F 2（X ）不是，因为F2

（

："0*

习题2-2离散型随机变量

1. 填空题

⑴ 设随机变量X 的分布律为：Plx=k ，（, -1Z , N , 试确定a=一

1

-----------------------

。

P(AB)

二

P(AB) P(B)

P(A)P(B A) P(A)P(BA) P(A)P(B A)

0.003 0.5

0.047755

0.003 0.5 0.997 0.03

（2）—批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X表示任意取出的产品中的次品数，贝V X的分布为

IO

B

(3)某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果 每

次射击命中率都是P ，以X

表示射击的次数，则X 的分布律为

2.将编号为1,2,3, 4的四个球随机地放入3个不同的盒 子

中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最 多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数

F(x)

.

3.

数为0.3的泊松分布,试问

(1)在一周内恰好发生 2

少？

(2)在一周内至少发生 1次交通事故的概率是多

少？

解：设一周内发生交通事故的次数为 X ，贝I 」x~p(a3)

0 32

P(X =2)=——e￡ S 0. 0333

2) C

3C ： 2+C 3C ： 2

解：P

…

13

C 3

1

34

Pg 3

/%

2

二 P

(X=

4

八 3^27

34

27

?

(1) 2!。

P(X A1)=1 — P(X =0) =1—03e 』3 =1 — f 0.259

4. 某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为o.ooi ,现 购

买2000张彩票，试求：（1）此人中奖的概率；（2） 至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。 解：设中奖的彩票数为X ，则xUB （

2000,0.001

）

.

(2)由于 2000 0.001 =2，故

P(X _3) =1 _P(X =0) _ P(X =1)_P(X =2)

20

21

22

"J 1! 2

严―

3233

习题2-3连续型随机变量

*x 2,

f (x) = ? 2 _x,

0,

试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函 数；(3) p([x ：：2)。

(2)当 x<0 时，F(x)=0 ；

1.设连续型随机变量 X 的密度函数为

0乞x 乞1, 1 ： x 乞 2,

x 3 1 3

当0兰x兰1

时，

F (x) 一t dt x

0：

1 3

2 x 1 2

F(x)= .02t2dt「(2_t)dt = 2x-2x2-1 ；

P』cX <3) = f1Wdx + J% 一x)dx 二

13

(3) 2 2 12 2 1 16

2.设连续型随机变量X的分布函数为

：A(1 -

e」),

=<

0,

试求：(1)系数A; (2) X的密度函数；(3) p(1x：3)

解: ( 1)由Fg)"知，^F (x)=lim A(1 —e」)二 A

o

’；e= x a 0 ;

f (x)二 F (x)二丿

(2) Ox".

(3) P(1 C X ￡ 3) = F (3) - F (1) = (1 - e，)- (1 - e，)= e，-

」。

3.设K在(0,5)内服从均匀分布,求方程4x2 4Kx K 2 = 0 有实根的概率。

解：所求的概率为：

P(16K2 -16 K 2 -0H P K —2或K< -1

F(x)

x _0

x ：

5 1 3

= P(K 兰2)+P(K 兰一1 )= j -dx+0=，.

2 5 5 4.某种型号的电子管寿命X(以小时计)具有以下概

率密度

1000 f （x ）= 丁，

【

，

x 1000

其他

现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独

立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500 小时的概率是多少？ 解:

P （X 1500 ） =

"

1000

dx 二 2

'1500

x 2

3。

从而所求概率为

1 - C 50

、

4

1 “ 11

1…

5

3

3 5

5.设连续型随机变量X ~ N( 3,4)，

( 1) 求

P <：2 X <5：;P^X ；( 2 )确定常数 C 使

P 「X 乞 C 二 P 「X

cl

P X | 2 =1 - P X j'F

< 2 =1—P —2

乞 X 空 2

:录［0.5 1

?处（2.5 二

0.6977

(2)由于

P

x ,二P x ,，从而，

习题2-4 二维随机变量及其分布

1 ?一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分

别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件， 记

P X 1 =1, 1,若抽到一等品，

1，若抽到二等品，

X

X - 1

- 0, 其他?

2

「0,

其他?

试求（X 1

，X 2

）的联合分布列。

X 」

1 =0;

解：

P X 1 =1,

80

X 2 =0

二 P X 1

=1

0.8; P X 1 =0, 10

X 2 -1 =PiX 2=1

0.1；

P X^O,

10

X 2 = 0 0.1o

100

2. 完成下列表格

3 ?设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为:

x 2 亠

cxy f(x,y)=： Cxy ，

O^x 乞1,0岂 y^2

求：（1）常数C ；（2）P{X Y <1} ；（3）X和丫的边缘密

度函数

. 1 == J 1( f(x 2 +cxy)dy)dx = ? + c, c = 1

解:( 1)

0 0

3 '

3

当 X ￡ 0 或 X 》1 时，f x

（X ）=0 ；

y < 0

或y > 2 时，fY(y)=0 ；

4.设（X,Y ）服从G ={（x,y ）| 0*2,0 U 上的均匀分布，求: （1）（x,Y ）的联合概率密度函数；（2）PZX 2

} ；（3）X

和Y 的边缘密度函数。

解：（1）由（X ，Y ）服从G 上的均匀分布知，（X ，

Y ）的联合密度为:

2

当0*1时，

X 2 + 2xy idy = 2x 2

+ Z X

l 3

丿 3

o

x , y dx (1

空x 空2

,0

空y 空

,

0,

其他。

2

P

丫 X 2

二 0

2 A

\ - X

1

_ 4

f n ——dy |dx

J 0 2

)

-3

o

X

（3）先求X 的边缘密

度:

X

二 .f x , y dy

1 P X Y 空 1

= 0

x 2

1 、 + — xy dy idx = 3

丿丿 72 。

求X 的边缘密度函数:

X

X

二

f X, y dy

---

o

求Y 的边缘密度函数：f Y y

二一

1

当0兰厂2时，

fY

（y

2 1

x — xy dx

3 丿 3

6 "

1 1 一亠一y