概率统计习题带答案

概率统计习题带答案

概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白

球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；

已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2。求：P(A?B)。10．先把长为l 的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：飞机坠毁的概率；若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为。同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；欲以99％以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？13．某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/365，试求下列事件的概率：恰有４名职工生日在同一天(A)；至少有４名职工生日在同一天？14．假设飞机的每个发动机在飞行中出

现故障的概率为1?p，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有50%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p，４个发动机比２个发动机更为保险？15．设事件A,B,C满足：P(A)?P(B)?P(C)?1/4,P(AC)?1/8,P(AB)?P( BC)?0 试求A,B,C三事件至少有一发生的概率？16．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为９％，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为%，试求下列事件的概率：甲、乙两市同为雨天；在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？17．某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字；牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字？18．甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，比赛既可

采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？19．平面上画有平行线若干、其间距交替地等于厘米及8厘米。今任意地向平面投掷一半径为厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？20．甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？21．平面上画有距离为a(a?0)的平行线若干条。今向此平面任意投一长为l(l?a)的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？22．若A,B相互独立，则A,B独立；A,B独立；A,B独立。23．当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？24．掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？25．设事件A,B的概率分别为13和12，试求下列三种情况下P(AB)的值：18A与B互斥；A?B；P(AB)? 26．将3个

球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率？27．袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：两个均为白球的概率？两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？至少有一个黑球的概率？28．将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率？29．甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？30．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为,,，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求：取得正品的概率？31．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的5%，

4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？32．有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？33．100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人？34．两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是，第二台机器的产品次品率是。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是第二台机器生产的概率？35．有枪8支，

其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是；未经校正的枪，击中靶的概率是。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？36．某射手射击一发子弹命中10环的概率为，命中9环的概率为。求：该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？P(AB),P(A?B),P(A?B)及P(AB) 37．设A?B,P(A)?,P(B)?，试求：38．已知P(A)?,P(A?B)?，求：P(AB) 39．某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p，如果在比赛中他试举三次，求：他打破世界纪录的概率？40．工厂生产的某种产品的一级品率是40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于95%？41．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于，问该单位有多少人？42．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，

问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？43．仪器中有三个元件，它们损坏的概率是，并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？44．在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是,,，已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？45．在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零件时，挑全了8个次品的概率？46．设事件A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是P(A)与P(B) 14，求第二章随机变量及其分布1．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为，问在同

一时刻：恰有2个设备被使用的概率？至少有3个设备被使用的概率？至多有3个设备被使用的概率？2．设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X不超过3的概率？3．设X的分布律为X 0 1 2 p 求X的分布函数？4．设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(???x???)。试求：系数A,B；X落在内的概率？X的概率密度？5．设随机变量X服从??的指数分布，试求：P{X?100}；若要P{X?x}?，则x应在什么范围内？

?2?6．设随机变量X的概率密度为f(x)?????1?x02?1?x?1其它，求X的分布函数？?x?7．设随机变量X的概率密度为：f(x)??2?x?0?0?x?11?x?2其它求X的分布函数？?0?28．设连续型随机

变量X的分布函数为F(x)??kx?1?x?00?x?1x?1 试求：系数k；X的概率密度；P{?X?}。?02??x9．设随机变量X 的分布函数为F(x)???251??x?00?x?5x?5 试求：X的概率密度；X落在内的概率？10．随机变量X的概率密度为f(x)?ke?|x|,(???x???), 试求：系数k ；P{0?X?1}；X的分布函数？11．某种电子管的使用寿命X的概率密度为?100?f(x)??x2??0x?100x?100 设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：试用的最初150小时内没有1个电子管损坏的概率；这段时间内只有1个电子管损坏的概率？12．设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2 3 p 1/12 1/4 1/6 1/12 5/12 试求：Y?2X?1的分布律；Y?(X?1)的分布律？2?2x?13．设X的概率密度为f(x)???2??00?x??其它，求Y?sinX的概率密度？14．设随机变量X在上服从均匀分布，试求：Y?eY??2lnX的概

率密度？15．设随机变量X在区间??,?上服从均匀分布。求随机变量Y?cosX的概率密?22?度？16．设随机变量X~N(0,1)。试求：(1)Y?e;(2)Y?|X|的概率密度？17．设随机变量X~N(0,1)。试求：Y?2X2XX的概率密度；?????1的概率密度？18．设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9~11安之间。若此电流通过2欧的电阻，试求功率W?2I的概率密度？19．设随机变量X的概率密度为f(x)，求Y?X的概率密度；若随机变量X服从参数为?的指数分布，求Y?X的概率密度？20．某种商品一周内的需要量X是一个随机变量，其概率密度为?xe?xf(x)???0x?0x?0332，设各周的需要量是相互独立的，求：两周；三周的需要量的概率密度？21．设X是一个随机变量，在上服从均匀分布，求Y?|X|的概率密度？22．设X~N(5,4),求：P{|X|?3}；使

P{X?c}?P{X?c}的？注：?(0)?,?(1)?,?(2)?,?(3)?,?(4)? 23．同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记X为两颗骰子出现的最大点数，试求X的分布律？24．某批产品的次品率为1/4，现对这批产品进行测试，以X表示首次测得正品的测试次数，求X的分布律？25．设连续型随机变量X的概率密度为?c(x?x2)f(x)??0?0?x?1其它试求：常数c；P{0?X?}；X的分布函数？26．电话总机在1小时内平均接到60次呼唤，试问在30秒内1次呼唤也没有接到的概率有多大？27．对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为p，试求射击次数的分布律？28．设盒中有5个球，其中3个黑球、2个白球，从中随机抽取3个球，求：“抽得白球个数”X的概率分布？29．某射手每次射击打中目标的概率都是，现在他连续射击30次，求：他至少打中两次的概率？

30．某射手每次打中目标的概率都是，现在他连续向一个目标射击，直到第一次击中目标为止。求：他射击次数不超过5次就能把目标击中的概率？?1?31．设随机变量X的概率分布为P{X?i}?C???,(i?1,2,3,??) ?3?i试求：常数C;P{ 12?X?4}。32．已知随机变量X的分布律为P{X?k}?试求：Y?cos(?X)的分布律？12k?1,(k?0,1,2,??) 33．设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为？34．设随机变量X 服从参数为n,p的二项分布，问当k为何值时能使P{X?k}最大？35．同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现六点为止，试求：投掷次数X的分布？36．一台仪器在10000个工作小时内平均发生10次故障，试求：在100个工作小时内故障不多于两次的概率？

37．设随机变量X的概率密度函数为A??(x)??1?x2?0?x?1x?112,12)的概率；X 的分布函数。pX 试求：系数A；X落在(? 38．设随机变量X的分布函数为??0??F(x)??Asinx??1??x?00?x?x ??2 ?2试求：常数A及P{X? ?6}。39．设随机变量X 服从正态分布N(160,?)，为使P{120?X?200}?，问允许?的最大值是多少？40．设测量两地间的距离时带有随机误差X，其概率密度函数为p(x)?4012??(x?2)320022e,(???x???)

试求：测量误差的绝对值不超过30的概率；接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过30的概率。41．设随机变量X分别服从[??2,?2]与[0,?]区间上的均匀分布，试求：Y?sinX的概率密度函数。42．已知随机变量X只取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是：12C,34C,58C16C,2，试求：常数 C

43．设连续型随机变量X的分布函数为0??xF(x)??A?Barcsina?1?x??a?a?x?a,(a?0) x?a??a2,a?X的概率密度函数。?内的概率；2?试求：常数A,B；随机变量X 落在?? 44．将三封信逐封随机地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒，设随机变量X表示“不空邮筒中的最小号码”，试求：随机变量X的分布律；X 的分布函数F(x)。45．设随机变量X的概率密度函数为pX(x)?1X2,0?x??? ?(1?x)2试证明：随机变量Y? 与X服从同一分布。46．轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以使铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离X的概率密度为?100?x?10000?100?x? p(x)???100000????100?x?00?x?100x?100 如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少？47．设随机变量X服从标准正态分布，Y?1?2X，试求：Y的概率密度函数。

试求常数C，使统计量C(X1?X2)X23服从t分布，并问自度是多少？25?X24?X25．设总体X~N(0,1),X1,X2是来自X的容量为2的样本，试求常数C，使P{(X1?X2)(X1?X2)222?(X1?X2)?C}? 26．设总体X的均值与方差都存在，X1,X2,?,Xn为来自X的容量为n的样本，X 为样本均值。对于i?j，试求：?(Xi?X,Xj?X) 27．现有两批导线，从A批导线中随机地抽取4根，从B批导线中随机地抽取5根，测得它们的电阻为A批导线, , , B批导线, , , , 设这两批导线的电阻分别服从正态分布N(?1,?),N(?2,?)，并且它们相互独立，?1,?2,?222均未知，试求?1??2的95%置信区间？28．设总体

X~N(?,?)，?,?均未知。X1,X2,?,Xn为来自X的容量为n的样本，X? 29．在正态总体X~N(52,)中随机抽取一个容量为36的样本，试求样本均值X落在到之间的概率？30．正态总体N(20,3)分别得到容量为10与15的相互独立的样本，求其样本均值差的绝对值大于的概率？31．设总体X~N(?,1),?为未知。总体得样本观测值x1,x2,?,x100，11001002221n?nXi，试求：P{X?t}的极大似然估计，这里，t是给定的数。i?1x??i?1xi?5 ，试求总体数学期望?的置信度为的置信区间？32．设总体X~N(?,?)，?,?均未知。X得到容量为16的样本观测值x1,x2,?,x16,算得x?,s222?，试求总体标准差?的置信度为的置信区间？33．设来自正态总体N(?1,16)的一容量为15的样本均值x1?，来自正态总体N(?2,9)的一容量为20的样本均值x2?，并且两样本相互独立，试求：?1??2的90%置信区间？第六章假设检验

1．所生产的某零件重量X~N(?,?)，其中??15,?22?。采用新工艺后，所生产的零件重量的方差不变，为考察均值是否变化，随机抽取6个样品，测得重量如下：, , , , ,问平均重量是否仍可以认为是15？?? 2．正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性中毒患者的脉搏为：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69。已知中毒患者的脉搏仍服从正态分布，问中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异？?? 3．某轮胎厂宣称所生产的汽车轮胎的平均使用寿命不低于5万公里。假设轮胎的寿命服从正态分布，并随机地抽取12只轮胎试用，它们的寿命为, , , , , , , , , , , 问从中能得出什么结论？?? 4．比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20个患者分成两组，每组10人。甲组病人服用甲种安眠药，乙组病人服用乙种安眠药。已知服药后延长睡眠时间近似服从正态分布，延长睡眠时间如表中所示，并且

可以认为它们的方差相等。问这两种安眠药的疗效有无显著差异？?? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 序号安眠药甲-安眠药乙- - -0 5．某种作物有甲、乙两种品种。为了比较它们的优劣，两个品种各种10亩。假设亩产量服从正态分布。收获后测定甲品种亩产量均值为，标准差为；乙品种亩产量均值为，标准差为，取显著性水平为??，问能否认为两种品种的产量没有显著差异？6．测定某溶液中的水份，得10个测定值x1,x2,?,x10，它们得出11010x??i?1xi?%，s2?110210??1(xi?x)2?(%)2。设测定值总体服从正态i?1分布，X~N(?,?)，?,?均未知。对于显著性水平??,试检验H02:??%;H1:??% 7．要求某种导线电阻标准差不超过。今在所生产的导线中随机抽取9根，测得电阻为x1,x2,?,x9，经计算得19x??9xi，s2?i?1?9?119(xi?x)2? i?1设电阻总体服从正态分布。问在显著性水平??下，