概率统计习题及答案
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。
A. A,B 互不相容
B. A,B 相互独立
C.A ?B
D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C )
A. 1/2
B. 1/12
C. 1/18
D. 1/9
3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B )
A.91
9910098
.02.0C B.i
i i i C -=∑100100
9
10098
.02.0
C.i
i i i C -=∑100100
10
10098
.02.0 D.i
i i i C
-=∑-
1009
0100
98
.02.01
4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)(
)3
12
53(32
1=+
+X X X E B
A. 0
B. 25.5
C. 26.5
D. 9
5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25
24
23
2
1X
X
X
X X c +++?
服从t 分布。( C )
A. 0
B. 1
C.
2
6 D. -1
6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A )
A.6
)14(2
61-
-x e π
B.
3
2
)14(2
61-
-
x e π
C.
6
)14(2
321-
-
x e π
D.
2
3
)14(2
61--
x e π
7、321,,X X X 为总体),(2
σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A.
32
12
110
351X X X +
+ B. 32
1416131X X X ++ C.
32
112
5
2
13
1X X
X +
+
D.
32
16
13
13
1X X
X +
+
8 、设离散型随机变量X 的分布列为
则常数C 为( C )
(A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8
9 、设随机变量X ~N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本,则样本均值X 近似的服从( B )
(A ) N (4,25) (B )N (4,25/n ) (C ) N (0,1) (D )N (0,25/n ) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设
00μμ=:H ,则在显著水平a=0.01下,( B )
A. 必接受0H
B. 可能接受,也可能拒绝0H
C. 必拒绝0H
D. 不接受,也不拒绝0H
二、填空题(每空1.5分,共15分)
1、A, B, C 为任意三个事件,则A ,B ,C 至少有一个事件发生表示为:__AUBUC_______;
2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8,0.6,则密码能被破译的概率为_____0.92____;
3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A =_1/2__,B =_1/3.14___;
4、随机变量X 的分布律为k
C x X P )31
()(==,k =1,2,3, 则C=__27/13_____;
5、设X ~b (n,p )。若EX=4,DX=2.4,则n=____10_____,p= ____0.4_____。
6、X 为连续型随机变量,
1 , 0 f (x )= ,则P(X ≤1) = ____1___。 0 , 其他 7、在总体均值的所有线性无偏估计中,___样本均值____是总体均值的无偏估计量。 8、当原假设H0为假而接受H0时,假设检验所犯的错误称为___第II 类错误____。 99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150 .2)5(, 1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(, 488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(2 95.02 05.02975.02025.0====χχχχ 一.选择题(15分,每题3分) 1. 如果 1)()(>+B P A P ,则 事件A 与B 必定 (C ) )(A 独立; )(B 不独立; )(C 相容; )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4; 0.3;0.2;0.1。现任选4人,则4 人血型全不相同的概率为: ( A ) )(A 0.0024; )(B 40024.0; )(C 0. 24; )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ?? ?<+=. , 0, 1, /1),(2 2 他其y x y x f π 则X 与Y 为 ( C ) )(A 独立同分布的随机变量; )(B 独立不同分布的随机变量; )(C 不独立同分布的随机变量; )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.7 5. 则射击次数的数学期望与 方差分别为 (A ) ) (A 4 93 4与 ; ) (B 16 93 4与 ; ) (C 4 94 1与 ; (D) 9 43 4与 . 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本,以下μ的四个估计量中最有效的是(D ) )(A 32 112 110 35 1?X X X + + =μ ; )(B 32 12949231?X X X ++ =μ ; )(C 32 132 16 13 1?X X X + + =μ ; )(D 32 1412 5 4 13 1?X X X + + =μ. 二. 填空题(18分,每题3分) 1. 已知事件A ,B 有概率4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,条件概率3.0)|(=A B P ,则 =?)(B A P 62 .0 . 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02 .04321 ,则常数c b a ,,应满足的条件 为 0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ,试用),(y x F 表示概率 = >>),(b Y a X P ) ,(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+; . 4. 设随机变量)2,2(~-U X ,Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数, 则=)(Y E m/2 ,=)(Y D m/4 . 5.设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2 σμN X 中抽取的样本,则 概率 =≤-≤ ∑=)76.1) (37.0(2 2 20 1 20 1 2 σ σ X X P i i 985.0 . 6.设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN (2 σ未知)的一个样本,则μ的置信 度为1α-的单侧置信区间的下限为 ) 1(-- n t n S X α. . 2、设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为 1, 02,m ax {0,1}m in {1,}(,)0, x x y x f x y o th erw ise ≤≤-≤≤?=? ? 求:边缘密度函数(),()X Y f x f y . 3、已知随机变量X 与Z 相互独立,且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ,Z X Y += 试求:(),(),X Y E Y D Y ρ. 4、 学校食堂出售盒饭,共有三种价格4元,4.5元,5元。出售哪一种盒饭是随机的,售出三种价格盒饭的概率分别为0.3,0.2,0.5。已知某天共售出200盒,试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。 概率论与数理统计B 一.单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设事件A 和B 的概率为12(),()2 3 P A P B = = 则()P A B 可能为() (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为() (A) 12 ; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( ) (A) 518 ; (B) 13 ; (C) 12 ; (D)以上都不对 4.某一随机变量的分布函数为()3x x a b e F x e +=+,(a=0,b=1)则F (0)的值为( ) (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为( ) (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二.填空题(每小题3分,共15分) 1.设A 、B 是相互独立的随机事件,P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2.设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==,则n =______. 3.随机变量ξ的期望为()5E ξ=,标准差为()2σξ=,则2 ()E ξ=_______. 4.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为_________. 5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2 ()22 a f x x x = ++,a 为常数,则P (ξ≥ 0)=_______. 三.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四.(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x <0x >3A x f x x ?? =+??? 当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1); (3) 求ξ的数学期望. 五.(本题10分) (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη?的分布及()E ξη?; 六.(本题10分)有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率是多少? 七.(本题12分) 某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标,则得奖金100元,且游戏停止. 若4次都未射中目标,则游戏停止且他 要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八.(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件,他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件? (注:(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九.(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立,试证明A B 与C 相互独立. 十.测量某冶炼炉内的温度,重复测量5次,数据如下(单位:℃): 1820,1834,1831,1816,1824 假定重复测量所得温度2 ~(,)N ξμσ.估计10σ=,求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注:(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=) 一.一箱产品,A ,B 两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大? 二.设随机变量X 的密度函数为()x f x A e -= ()x -∞<<+∞, 求 (1)系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。 三.已知随机变量X 的密度函数为 ? ? ?<<+-=其它 ,010), 144()(2x x x c x f 求(1)常数c ;(2)X 的分布函数)(x F ;(3)}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 四、(本题满分10分)设2)(=X E ,4)(=Y E ,4)(=X D ,9)(=Y D ,5.0=ρXY ,求 (1)3232 2 -+-=Y XY X U 的数学期望; (2)53+-=Y X V 的方差。 五、(本题满分18分)设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为: ?? ?-<<<<=其它 , 0) 1(20,10, 1),(x y x y x f 求: (1)关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ; (2))(X E 和)(X D ; (3)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ; (4)Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 六、(本题满分16分)设总体X 的概率密度函数为 ? ? ?<<+θ=θ其它 ,010, )1()(x x x f 其中1->θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。 (1)求θ的矩估计量M θ?; (2)求θ的极大似然估计量MLE θ?; 七、(本题满分14分)水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量为50公斤,某日开工后随机抽查了9袋,称得重量如下(单位:公斤): 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布),(2 σμN 。 (1)试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α (2)若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02 =σ,求水泥平均重量μ的置信度为 95%的置信区间。 (已知:;5362 .0,9.49==s x 283 .11.0=z ,645.105.0=z ,960.1025.0=z ; 3968 .1)8(1.0=t ,3830.1)9(1.0=t ,3722.1)10(1.0=t ,8695.1)8(05.0=t ,8331.1)9(05.0=t ,8125 .1)10(05.0=t ,3060.2)8(025.0=t ,2622.2)9(025.0=t ,2280.2)10(05.0=t ) 答案 2解: , 01()2,120,X x x f x x x o th erw ise ≤? =-≤≤??? [1,[0,1]()0,[0,1] X x f x x ∈?=? ?? 1, [0,1]()0, [0,1]Y y f y y ∈?=? ?? [, 01()2,120,Y y y f y y y o th erw ise ≤? =-≤≤??? 3解: 11111(),()()()2 220 20 E X E Y E X E Z = =+=+= co v(,)(())()() 1()12 X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+== 11 101()()()()12 1200 1200 D Y D X Z D X D Z =+=+= + = [ 150 13] 1 X Y ρ= = 26 25] 4解:设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i = ,则总价200 1 i i X X ==∑ () 4.6, ()0.19i i E X D X == 200 1()()200 4.6920i i E X E X == =?=∑ . 200 1 ()()2000.1938i i D X D X == =?=∑ . (910930)212(1.622)120.947410.8948 P X P ≤≤=≤ ≤ ≈Φ-=Φ-=?-= [ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] 概率论与数理统计B 答案 一.1.(D )、2.(D )、3.(A )、4.(C )、5.(C ) 二.1.0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三.把4个球随机放入5个盒子中共有54 =625种等可能结果--------------3分 (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 30 2 41 5=C C 种方法 ----------------------------------------------------7分 4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625 360)(== B P ------------------------------------------------- -10分 四.解:(1) ? ?∞ ∞ -= =+= 3 4 ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 (2)?= =+= <1 2 12ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 (3)3 3 00 ()()[ln (1)]1A x E xf x d x d x A x x x ξ∞ -∞ = = = -++? ? 13(3ln 4)1ln 4 ln 4 = -= -------------------------------------10分 五.解:(1)ξ的边缘分布为 ??? ? ??29 .032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28 .034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 (2)ξη?的分布列为 因此, 16 .310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=?+?+?+?+?+?+?=?ηξE -------10分 另解:若ξ与η相互独立,则应有 P(ξ=0,η=1)=P(ξ=0)P(η=1); P(ξ=0,η=2)=P(ξ=0)P(η=2); P(ξ=1,η=1)=P(ξ=1)P(η=1); P(ξ=1,η=2)=P(ξ=1)P(η=2); 因此, ) 1()0() 2,1()2,0() 1,1()1,0(=== ===== ====ξξηξηξηξηξP P P P P P 但 10 .012.003 .005.0≠ ,故ξ与η不相互独立。 六.解:由全概率公式及Bayes 公式 P (该种子能发芽)=0.1×0.9+0.9×0.2=0.27-----------------------------------5分 P (该种子来自发芽率高的一盒)=(0.1×0.9)/0.27=1/3---------------------10分 七.令A k ={在第k 次射击时击中目标},A 0={4次都未击中目标}。 于是P (A 1)=0.3; P (A 2)=0.7×0.3=0.21; P (A 3)=0.72 ×0.3=0.147 P (A 4)= 0.73×0.3=0.1029; P (A 0)=0.74=0.2401-----------------------------------6分 在这5种情行下,他的收益ξ分别为90元,80元,70元,60元,-140元。-------------------------------------------------------------------------------------------8分 因此, 65 .26)140(2401.0601029.070147.08021.0903.0)(=-?+?+?+?+?=ξE --------------------12分 八.解:设他至少应购买n 个零件,则n ≥2000,设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B(n,p), p=0.95. 因n 很大,故B(n,p)近似与N (np ,npq ) ------------4分 由条件有 2000(2000)10.95n p P ξ-≥≈-Φ=------------------------------------------- 8分 因(1.65)0.95Φ= 1.65 =-,解得n=2123, 即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分 九. 证:因A 、B 、C 相互独立,故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C). (())()()()()P A B C P A C B C P A C P B C P A B C ==+- ------2分 ()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+----------------------------4分 [()()()()]()()()P A P B P A P B P C P A B P C =+-= 故A B 与C 相互独立. -------------------------------------------------------6 分 一.(取出产品是B 厂生产的可能性大。) 二. (1)A =1/2 , (2)1 1(1)2 e -- , (3)1,0 2()11,0 2 x x e x F x e x ??=? ?-≥?? 三.(1)由1)(=?+∞ ∞ -dx x f ,又= ?+∞ ∞ -dx x f )(3 )144(1 02 c dx x x c = +-?, 所以3=c ; (2) 当0 ≤x 时 , ) (x F =0; 当 1 0≤ )(x F ??+-= = ∞ -x x dx x x dx x f 02 )144(3)(x x x 3642 3 +-=, 当1>x 时, )(x F =1, 所以X 的分布函数为)(x F ?? ??? >≤<+-≤=1 ,110, 3640,02 3x x x x x x . (3)?= ≤<=≤<≤2 .01 .0)(}2.01.0{}5.01.0,2.0{dx x f X P X X P ?= +-= 2 .01.02 3 )24(dx x x x 0.148 ?= ≤<5 .01 .0)(}5.01.0{dx x f X P ?= +-= 5 .01.02 3 )24(dx x x x 0.256, 所以 }5.01.0|2.0{≤<≤X X P 256 .0148.0} 5.01.0{} 5.01.0,2.0{= ≤<≤<≤= X P X X P =0.5781. 四.(1))323() (2 2 -+-=Y XY X E U E 3)()(2)(32 2 -+-=Y E XY E X E 3 )]()([])()()()([2)]()([32 2 -++ρ+-+=Y E Y D Y D X D Y E X E X E X D XY =24; (2)),cov(6)()(9)53() (Y X Y D X D Y X D V D -+=+-=) ()(645Y D X D XY ρ-==27. 五.(1) ?+∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()(?? ???<<-==?-其它 ,010), 1(21) 1(20 x x dy x , ?+∞ ∞ -= dx y x f y f Y ),()(?? ???<<-==?-其它 ,020,2 11210 y y dx y (2)?+∞ ∞ -= dx x xf X E X )()(?-?= 1 )1(2dx x x =3 1 , ?+∞ ∞ -= dx x f x X E X )()(2 2 ?-?= 1 2 )1(2dx x x = 6 1, 所以 )()()(2 2 X E X E X D -=18 19 16 1 = - = (3)当20 < X )(),(y f y x f Y = ?? ?????- <<-=-=其它 ,02 10,22211 y x y y ; (4) } {}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=?? ≤+= z y x dxdy y x f ),( ? ???? ?? ≤<≤+≤≤<=??????-----z z dy dx dy dx z dy dx z x z x z z x z z 2,121,1110, 10,0)1(20 1202000 ???? ???? ? ≤<≤-+---≤≤<=z z z z z z z z z 2,121,)1()2(21 )2(10,20,0222,所以 ?? ? ??<≤-<≤== 其它 ,021,210, )()(z z z z dz z dF z f Z Z . 六.(1)因 ?+∞ ∞ -= dx x xf X E )()(dx x 1 1 )1(+θ?+θ= 2 1+θ+θ= ,令 X X E =)(即 X =+θ+θ2 1,解得 X X M --= θ112?. (2)设 n x x x ,,,21 是样本 n X X X ,,,21 的观测值,则似然函数为 n i i x f L 1) ()(== θ,当 0< n x x x ,,,21 <1时有: n i i x L 1 )1()(=θ+ θ= θ,取对数得 ∑=θ++θ=n i i x n L 1 ln )1ln(ln ,故由 ln 1 ln 1 =+ +θ= θ ∑=n i i x n d L d 解得 ∑=- -= θn i i M L E x n 1 ln 1?,从而θ的极大似然估计量为 ∑ =- -=θn i i MLE X n 1 ln 1? (3)因为1 2 .00 2 .0)1(}2.0{+=+= θθθdx x X P ,所以} 2.0{>X P 的极大似然估计为1 ? 2.0+θMLE , 又16 ln 1 -=∑ =n i i x ,所以 2 116 81?- =---=θMLE ,故}2.0{>X P 的极大似然估计为 2 .02 .01 ?=+θMLE . 七.(1)构造假设 50:00 =μ=μH , 50 :1≠μH ,取检验统计量) 1(~/ 00-μ-=n t n S X T H 为真 ,由 α=->α)}1(|{|2/n t T P 得拒绝域为: ) 1(||2/->αn t T .又9 =n ,9 .49=x ,29 .02 =s ,05.0=α ,3060 .2)8(025.0=t , 3060 .256.09 /29.0|509.49|<=-= T ,故应 接受0H ,即认为包装机工作正常. (2)因为 3 .02 =σ 已知,所以总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为 ) ,(2 /2 /n z x n z x σ+σ-αα,又96 .1025.02 /==αz z ,故 ) ,(2 /2 /n z x n z x σ+σ-αα=)9 3.096.19.49,9 3.096.19.49(? +? -)2578.50,5422.49(=. ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(A-B)=()。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击 中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为()。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可 表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障 的概率依次为,,,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为()。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二 次的概率为()。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为 (ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可 表示为(AB AC BC); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=, P(B) = , 则 P(A|B)= (); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为( ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A -)= ( ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的 概率依次为,,,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( )。 12. 若事件 A ? B 且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )=( ); 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )= ( ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =( S ) 15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为 ( ABC ABC ABC ++ ) 16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =则(|)P AB A B =( ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S ) 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概 率为( 1 10000 )。 二、选择填空题 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为,则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤??=-≤≤????其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ??<≤??? ?. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 \012 10.10.20.1 2 0.10.2 Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤?=-≤≤??? 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3) 一.填空题 1.ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二.单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三.计算题 1.(1)略 (2)A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2.解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3.解:最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4.)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5.解:(1)n N n A P ! )(= (2)n n N N n C B P ! )(=、 (3)n m n m n N N C C P --=)1()( 一.填空题 1.0.8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二.单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三.计算题 1. 解:设i A :分别表示甲、乙、丙厂的产品(i =1,2,3) B :顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2.解:设i A :表示第i 箱产品(i =1,2) i B :第i 次取到一等品(i =1,2) (1) )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? (2)同理4.0)(2=B P (3))/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P (4)4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3. 解:设i A :表示第i 次电话接通(i =1,2,3) 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P 题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ). 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-, 31. 2. 101)2(==X P ,10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. (1)1,21=-=b a ,(2)161 . 5. 2=a ,0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题(每小题4分,共20分) 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立,且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分,共40分) 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒,求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本,求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布,并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:毫米)14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解:() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解:() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ,即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =, 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求: (1)()P A B ?; (2) ()P A B -; (3) () P B A 。解:(1)()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-; (2)(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- (3)() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,它是甲射中的概率是多少? 解: 设A=“甲射击一次命中目标”,B=“乙射击一次命中目标”, (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ). 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连续抽两次,则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ?=≤?≥? ( )。 A 、是某一离散型随机变量的分布函数。 B 、是某一连续型随机变量的分布函数。 C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。 D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案:D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布,即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又12,,,,n c k k k , 为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案:D 概率论与数理统计复习题 一、计算题: 1、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布,Y =2X +1,求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示: Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验,算出平均使用寿命为1950小时,样本标准差s 为300小时,以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2..设随机变量),2(~2 σN X ,若3.0}40{=< 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1.设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r,试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2.若A,B,C相互独立,试证明:A,B,C 亦必相互独立。3.试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之,其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10},事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。问:恰好第三次打开房门锁的概率?三次内打开的概率?如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n个白 球、m个红球,乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率:仓库发生意外时能及时发出警报;乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设A,B为两随机变量,试求解下列问题:已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求:P(A|B); 《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计习题 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) 1.设)4,5.1(~N X ,且8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则P{-2 《概率论与数理统计》同步习题册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 4. 161,169,166. 3. 2113. 2. 4 3,407. 5. 43 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,62461211?C ,6 24612 1112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-, 31. 2. 101)2(==X P ,10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. (1)1,21 =-=b a ,(2)161. 5. 2=a ,0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 6 49,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 3 4 . 6. 31. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p .概率论与数理统计复习题带答案
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