【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习选修系列第十四章14.1第2课时参数方程

垂直，求 k 的值.
解答
k 4＋k k 直线 l1 的方程为 y＝－2x＋ 2 ，斜率为－2；
直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2. ∵l1与l2垂直， k ∴(－2)×(－2)＝－1⇒k＝－1.
2 x ＝ 4 t ， 3.已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 y＝4t |PF|的值. 解答
x＝rcos θ， (θ 为参数) y＝rsin θ
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
y2＝2px (p>0)
x＝acos φ， (φ 为参数) y＝bsin φ ————————————
2 x ＝ 2 pt ， (t 为参数) y＝2pt
抛物线
(1)求直线l和圆C的普通方程； 解答
直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围. 解答
因为直线l与圆C有公共点，
|－2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝ ≤4， 5 解得－2 5≤a≤2 5.
思维升华
已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化 为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最 值、范围等.
6.(2016· 全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标 方程； 解答 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
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x＝tcos α， (2)直线 l 的参数方程是 (t 为参数)， l 与 C 交于 A、 B 两点， y＝tsin α
题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用
例3
x＝tcos α， (2015· 课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： y＝tsin α
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，曲线 C3：ρ＝2 3cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标； 解答
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值. 解答
曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π. 因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α).
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos
解答
求圆x2＋y2－x＝0的参数方程.
1 1 圆的半径为2，记圆心为 C(2，0)，连接 CP，则∠PCx＝2θ， 1 1 故 xP＝2＋2cos 2θ＝cos2θ， 1 yP＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数). 2 x ＝ cos θ， 所以圆的参数方程为 (θ 为参数). y＝sin θcos θ
(t为参数)上，求
将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x， 则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1， 又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.
4.(2016· 北京东城区模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为
平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系， x＝－1＋4t， 直线l的参数方程是 (t为参数)，求直线l与曲线C相交所截 y＝3t 的弦长. 解答
2 又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 2 <3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点.
x＝t， (2)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： (t 为参数)过椭圆 C： y＝t－a x＝3cos φ， (φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值. y＝2sin φ
π α|＝4sinα－3.
5π 当 α＝ 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
思维升华
在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活
地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.
例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐
同于 A，B 的任意一点.来自(1)求圆心的极坐标； 解答(2)求△PAB 面积的最大值. 解答
由题意，得直线 l 的直角坐标方程为 2 2x－y－1＝0.
|2 2＋1－1| 2 2 ∴圆心(1，－1)到直线 l 的距离 d＝ 2 2＝ 3 ， 2 2 ＋－1 ∴|AB|＝2 r －d ＝2
2 2
以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程. 解答
∵直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋ 2＝0.
2 ∴原点到直线的距离 r＝ ＝1. 2
∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.
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4.(2015· 湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为 ρ(sin θ－3cos θ)＝0， 曲线
解答
直线l的普通方程为x－y－a＝0，
x2 y2 椭圆 C 的普通方程为 9 ＋ 4 ＝1，
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)， 则3－a＝0，∴a＝3.
题型二 参数方程的应用
例2 x＝4cos θ， (θ为参数). y＝4sin θ
x＝a－2t， 已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的参数方程为 y＝－4t
y＝gt
2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 圆 椭圆 普通方程 y－y0＝tan α(x－x0) x2＋y2＝r2 _________ 参数方程
x＝x0＋tcos α， (t 为参数) y＝y0＋tsin α ________________________
联立两方程得 x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)， 所以|AB|＝ 2.
思维升华
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去 参数. 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x和 y取值范围的扩大或 缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的 取值范围.
|AB|＝ 10，求 l 的斜率.
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x＝3＋1t， 2 7.(2015· 陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 y＝ 2 t
弦长.
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x＝4＋at， x＝2＋ 3cos θ， 2.直线 (t 为参数)与圆 (θ 为参数)相切， y＝bt y＝ 3sin θ
求切线的倾斜角.
解答
直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，
直 线 与 圆 相 切 ， 则 圆 心 (2,0) 到 直 线 的 距 离 为 3 ， 从 而 有 3 ＝ |2b－a· 0－4b| 2 2 2 ，即 3a ＋3b ＝4b ， 2 2 a ＋b
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1， 直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0.
|3×0－4×0＋3| 3 圆心到直线的距离 d＝ ＝5. 2 2 3 ＋4
∴直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长为 2 32 8 1－5 ＝5.
题型分类
深度剖析
题型一 参数方程与普通方程的互化 例1 (1) 如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，
x＝t－1， t C 的参数方程为 1 y＝t＋ t
(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，
求|AB|的长.
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x＝2t， 5.在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)， 在 2 y＝2t
以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的方程为 π ρsin(θ＋4)＝2 2，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数.
考点自测
x＝1＋t， 1.直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，求直线 l 的斜率. y＝2－3t
解答
将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.
x＝1－2t， x＝s， 2.已知直线 l1： (t 为参数)与直线 l2： (s 为参数) y＝2＋kt y＝1－2s
x＝2＋t， 跟踪训练1 (1)求直线 (t为参数)与曲线 y＝－1－t 的交点个数. 解答
x＝2＋t， 将 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0； y＝－1－t
x＝3cos α， 2 2 将 消去参数 α 得圆 x ＋y ＝9. y＝3sin α
x＝3cos α， (α为参数) y＝3sin α
解答
曲线 C1，C2 化为普通方程和直角坐标方程分别为 x2＝2y，x＋y－4＝0，
2 x ＝2y， 联立 消去 y 得 x2＋2x－8＝0，因为判别式 Δ>0，所以方 x＋y－4＝0，
程有两个实数解.故曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为 2.
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标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方
法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归