统计学导论 第5章

2 2 2 2
= (1.0 2 × 1 + 1.52 × 2 + 2.0 2 × 3 + 2.52 × 4 + 3.0 2 × 3
+3.5 × 2 + 4.0 × 1) / 16 − 2.5 = 0.625
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2
2
2
σx =
V (X ) =
0.625 = 0.791
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二、大数定理与中心极限定理
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样本序 样本中 样本均 样本方 样本序 样本中 样本均 样本方 号 的元素 值 差 号 值 差 的元素 1 2 3 4 5 6 7 8
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1，1 1，2 1，3 1，4 2，1 2，2 2，3 2，4
1.0 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 3.0
一般地， 一般地，样本单位数大于30个的样本称为大样 本，不超过30个的样本称为小样本。 个的样本称为小样本。
• 样本个数： 样本个数：样本个数又称样本可能数目， 样本个数又称样本可能数目，它是指 从一个总体中可能抽取多少个样本。 从一个总体中可能抽取多少个样本。
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3
（二）总体参数与样本统计量
= 1.25 EX = u = 2.5 1.25 σX = = = 0.625 = 0.791 2 n
比较及结论： 比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
（一）几个分布 •
χ2分布
设 X ~ N ( µ , σ ) ，则
2
Z=
X −µ
令 Y = Z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布， 分布，即
σ
~ N (0,1)
Y ~ χ 2 (1)
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1. χ²分布
设 随 机 变 量 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )相 互 独 立 且 服 从 标 准 正 态 分 布 N (0,1), 则 称 随 机 变 量
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均值的个数 1 2 3 4 3 2 1
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均值取值的概率 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16
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样本均值分布
c 0.3 0.25 0.2 概率 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 均值
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c
3
4
5
可以计算出样本平均数的期望值与方差
E ( X ) = ∑ XP ( X )
= (1.0 × 1 + 1.5 × 2 + 2.0 × 3 + 2.5 × 4 + 3.0 × 3
+3.5 × 2 + 4.0 × 1) / 16 = 2.5 V ( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] = ∑ X P ( X ) − [ ∑ XP ( X )]
2 E X = µ V X = σ 并且有数学期望 及方差 ( i) ， ( i)
(i=1,2, …)。则对任意的正数 ε ，有：
1 n lim p ∑ X i − µ < ε = 1 n →∞ n i =1
(5.5)
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（三）抽样分布定理
设随机变量 X 1 , ⋯ , X n 相互独立， 都服从正态 分布 N (u , σ 2 ) ，则 1）
t分布可以用N(0,1)分布近似。 经济贸易与统计学院
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.F分布
设 X ~ χ 2 ( n1 ), Y ~ χ 2 ( n 2 ), 且 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则称随机变量 X / n1 F = Y / n2 服 从 自 由 度 为 ( n1 , n 2 )的 F 分 布 ， 记 为 F ~ F ( n1 , n 2 ) 其 中 n1 称 为 第 一 自 由 度 ， n 2 称 为 第 二 自 由 度 。
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抽样分布与总体分布的关系
样本均值 总体分布 总体分布
正态分布 正态分布
非正态分布 非正态分布
大样本 小样本
正态分布 正态分布
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正态分布 正态分布
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非正态分布 非正态分布
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第二节 抽样分布
一、样本平均数的抽样分布 二、样本比率的抽样分布 三、样本方差的抽样分布
1 X = ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) ~ N (u , σ 2 / n) n
2）
1
σ2
2 2 X − X χ ( ) ~ ∑ i n −1 i =1
n
3） X 与
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2 相互独立。 ( X − X ) ∑ i i =1
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n
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正态分布的再生定理
如果变量 X 服从正态分布， 总体的平均 数是 µ ，标准差是 σ ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本， 则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 µ ，其标准 差为 σ X 。
χ =
2 n
∑
n
X
i =1
2 i
所 服 从 的 分 布 为 自 由 度 为 n的 χ 2分 布 ， 记为
χ n2 ～ χ 2 ( n ).
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χ2分布( 分布(图示) 图示)
不同自由度的χ2分布
n=1 n=4 n=10 n=20
2 χ2
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（四）中心极限定理
定理 （中心极限定理） 中心极限定理）
设 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n )是 来 自 总 体 X 的 样 本 ， E X = µ , D X = σ ( 有 限 且 不 为 0 )， 则
2
当 样 本 容 量 n充 分 大 时 ， 样本均值X 近似服从正态分布， 其 期 望 仍 为 u， 方 差 为 记为X ∼ ɺ N (µ ,
• 总体参数： 总体参数：就是总体分布的数量特征， 就是总体分布的数量特征，也是抽样 统计推断的对象。 统计推断的对象。
常见的总体参数有： 常见的总体参数有：总体的平均数指标， 总体的平均数指标，总 体成数(比例)指标， 指标，总体分布的方差、 总体分布的方差、标准差 等。
• 样本统计量： 样本统计量：是样本的一个函数。 是样本的一个函数。它们是随机变 量。我们利用统计量来估计和推断总体的有关参 数。
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（四）总体、 总体、样本、 样本、抽样分布
• 总体分布
定义： 定义：总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的 可以假定它服从某种分布
总体
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•
样本分布
定义： 定义：一个样本中各观察值的分布， 一个样本中各观察值的分布，也称 经验分布 当样本容量n逐渐增大时， 逐渐增大时，样本分布逐渐 接近总体的分布
0 0.5 2 4.5 0.5 0 0.5 2
9 10 11 12 13 14 15 16
3，1 3，2 3，3 3，4 4，1 4，2 4，3 4，4
2.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0 3.5 4.0
2 0.5 0 0.5 4.5 2 0.5 0
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均值的取值 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
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一、样本平均数的抽样分布
• • • （一）样本平均数的期望与方差 样本均值的数学期望 E ( X ) = µ 样本均值的方差
重复抽样
σ
2 X
=
σ2
n
2 不重复抽样 σ X =
σ 2 N −n
n N −1
当总体方差未知时， 当总体方差未知时，用样本方差代替。 用样本方差代替。
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σ
n
2
。
σ
n
2
)
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一个任意 分布的总 体
σ σx = n
当样本容量足 够大时(n ≥ 30) ，样本均值的 抽样分布逐渐 趋于正态分布
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µx = µ
X
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1. 样本平均数的中心极限定理 变量 X,期望值 µ 和标准差 σ ， 抽取 n 个样本， 则当 n 趋于无穷大时，样本平均数 X 近似服从正 态分布， 其平均数 E( X ) 仍为 µ ， 其标准差为 σ X 。 2. 样本比例的中心极限定理 总体 （0， 1） 分布， 比例为 ρ 、 方差为 ρ ( 1 − ρ ) ， 抽取 n 个样本，其样本比例 P 的分布会随着 n 的 增大而趋近于平均数为 ρ ，标准差为 σ p 的正态分 布。
例如： 例如 样本均值 例如： ：样本均值、 样本均值、 、 例如： 样本均值、 比例、 比例 比例、 、方差 方差 比例、
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例题分析
• 例：设一个总体含有4个元素（ 个元素（个体）， 个体），即总体 ），即总体 元素个数N=4，4个元素的取值分别是x1=1， x2=2，x3=3，x4=4，从总体中采取重复抽样方 法抽取容量为n=2的随机样本， 的随机样本，写出样本均值的 抽样分布。 抽样分布。 • 解：从总体中采取重复抽样方法抽取容量为2的 随机样本， 随机样本，共有4^2=16个可能的样本。 个可能的样本。