专题关注】磁聚焦与磁扩散(含答案)

【专题关注】磁聚焦与磁扩散【亮点】发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。

【结论】R 磁场=R 轨迹【借鉴例题】（2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图(a )所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0=dmTqU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。

试求：（1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围 （2）粒子射出电场时的速度大小及方向（3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大【寒假作业五套卷5-25】（2008·南通二模）如图4所示的直角坐标系中,在直线x= -2L 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向,x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向.在电场左边界上A(-2L 0,-L 0)到C(-2L 0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q 、质量为m 的粒子.从某时刻起由A 点到C 点间的粒子,依次连续以相同的速度v 0沿x 轴正方向射入电场.若从A 点射入的粒子恰好从y 轴上的A (0,L 0)， 沿x 轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：(1)求匀强电场的电场强度E;ACx= -2L 0EC 'A ' 图4v 0 E x=2L 0xy v 0O(2)求在AC 间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x 轴正方向运动(3)若以直线x=2L 0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xoy 平面向里的匀强磁场,使沿x 轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2L 0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大相应的磁感应强度B 是多大【寒假作业十套卷7-25】如图所示，半径为R,圆心在C 点的圆内有磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆与x 轴相切于A ，A 处有一粒子源，可以释放出质量为m 、电荷量为q 且速率相同的带正电粒子，粒子射入磁场时的速度方向与磁场垂直且被限定在以AC 为中心左右各30°角的范围内。

已知沿AC 方向射入磁场的粒子，穿出磁场时的方向与y 轴垂直。

（1）求粒子射入磁场时的速率。

（2）所有粒子穿出磁场后经过y 轴时的最大及最小纵坐标值。

（3）在y 轴右侧加一与y 轴平行的匀强电场,所有粒子经过x 轴时的区域长度与经过y 轴时的区域长度相同，求所加电场的大小和方向。

【补充练习1】如图所示，一半径为r的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B，圆心O1，OO1=r，在纸面内从O点向x轴上方各个方向发射出速率为v、质量为m、电量为q的带正电粒子（不计重力），已知速率v满足v=qBr/m。

问所有从磁场边界射出的粒子的速度有何特征【补充练习2】（2009·浙江）如图所示，在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xoy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正向发射出一束具有相同质量m、电荷量q和速度v的正电微粒。

微粒分布在0< y < 2R的区间内。

已知重力加速度大小为g。

（1）从A点射出的粒子平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度E和磁感应强度B的大小和方向；（2）请指出这束带电粒子与x轴相交的区域，并说明理由。

A ·【补充练习3】（2009·海南）如图所示，ABCD 是边长为a 的正方形。

质量m 、电荷量为e 的电子以大小为v 的速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。

在正方形区域内适当区域中有匀强磁场。

使电子从BC 边上的任意点入射，都只 能从A 点射出磁场。

求：（1）匀强磁场的磁感应强度大小和方向； （2）此匀强磁场区域的最小面积。

【补充练习4】(2011年第28届全国中学生物理预赛第15题）图中坐标原点O （0，0）处有一粒子源，向y ≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v ，质量均是m ，电荷量均是q 。

有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应大小为B 的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正向运动。

试求出此边界的方程，并画出此边界线的示意图。

DABCOxyv【例1参考答案】解析：（1）用Q 表示极板电荷量的大小，q 表示碰后小球电荷量的大小.要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则q dE>mg ① 其中 q =αQ ② 又有 Q =CE ③ 由以上三式有 E>mgdαC ④（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动.以a 1表示其加速度，t 1表示从A 板到B 板所用的时间，则有q εd +mg =ma 1⑤ d =12 a 1t 12⑥当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a 2表示其加速度，t 2表示从B 板到A 板所用的时间，则有q εd －mg =ma 2 ⑦ d =12 a 2t 22 ⑧小球往返一次共用时间为（t 1+t 2），故小球在T 时间内往返的次数n =T t 1+t 2 ⑨由以上关系式得:n =T2md 2αCε2+mgd +2md 2αCε2－mgd⑩小球往返一次通过的电量为2q ，在T 时间内通过电源的总电量Q ′=2qn ⑾由以上两式可得：Q ′=2αCεT2md 2αCε2+mgd + 2md 2αCε2－mgd20．解析：据U-t 图象可作出v-t 图象如下图所示，由图象可知：（1）当粒子由t nT =时刻进入电场，向下侧移最大，则2220000172223332318qu qu qu qu T T T T T s dm dm dm dm⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当粒子由23T t nT =+时刻进入电场，向上侧移最大，则 220022318qu qu T T s dm dm⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 在距离O /中点下方2718qu T dm至上方2018qu T dm 范围内有粒子打出。

（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为0033y u q u qTT v dm dm=⋅= 所以打出速度大小为dmqTU dm qT U dm qT U v v v y 32)3()3(02020220=+=+=设速度方向与v 0的夹角为θ，则1tan ==xy v v θ 即θ=45°【练2参考答案】解：（1）带电粒子平行于x 轴从C 点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。

设电场强度大小为E，由，可得，方向沿y轴正方向带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r=R，如图甲所示，设磁感应强度大小为B。

由，得，方向垂直于纸面向外（2）这束带电微粒都通过坐标原点方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图乙所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图乙的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。

如图乙所示，高P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ），圆周运动轨迹方程为得x=0，y=0或x=-Rsinθ，y=R(1+cosθ)（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y同的右方（x>0）的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图丙所示。

靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0【练3参考答案】解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。

令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力①应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧的圆心在CB边或其延长线上。

依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a按照牛顿定律有②联立①②式得③（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。

因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设）的情形。

该电子的运动轨迹qpA如图所示图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为【作业1参考答案】【练4参考答案】15．参考解答：先设磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直xy 平面向里，且无边界． 考察从粒子源发出的速率为v 、方向与x 轴夹角为θ的粒子，在磁场 的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O ，且与 速度方向相切，若圆轨道的半径为R ，有2v qvB m R = （1）得 mvR qB= (2)圆轨道的圆心O ’在过坐标原点O 与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R ，如图1所示．通过圆心 O ’作平行于y 轴的直线与圆轨道交于P 点，粒子运动到P 点时其速度方向恰好是沿x 轴正方向，故P 点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P 点的位置不同，所有这些P 点的连线就是所求磁场区域的边界线．P 点的坐标为x ＝—Rsin θ (3 ) y ＝一R + Rcos θ (4)这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得 x 2 +(y+R)2=R 2 (5) 由（2）、（5）式得222222()mv m v x y qB q B++= (6)这是半径为R 圆心 O ’’的坐标为（0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图 2 所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为222222()mv m v x y qB q B++= 0x ≤0y ≤ (7)若磁场方向垂直于xy 面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为x 2 +(y —R)2=R 2 0x ≥ 0y ≥ （8 )或 222222()mv m v x y qB q B+-= 0x ≥ 0y ≥ （9）证明同前。