一次函数应用题求解策略xue

一次函数应用题求解策略
1 试题概述
一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。

此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。

⑷一次函数多种变量及其最值问题。

试题例析
2.1方案设计问题
⑴物资调运
例1.为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。

根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。

其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。

则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
⑴用表格设臵未知数，同时在表格中标记相关数量；
⑵根据表格中量的关系写函数式；
⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；
⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。

⑵方案比较
例2.在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。

现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）
方案二：购买方式如图2所示。

解答下列问题：
⑴方案一中，y与x的函数关系式为；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为，当x＞100时，y与x的函数关系式为。

⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。

⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？
⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。

因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。

求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。

⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。

比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。

要会将函数问题转化为方程、不等式问题。

⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。

方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。

2.2分段函数问题
⑴分段价格
例3.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，
按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．
（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求的值，并写出当x＞10时，与之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
解分段价格问题的一般策略：
⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。

解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。

⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。

在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。

⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。

⑵几何图形中的动点
例4.在平面直角坐标系中，一动点P（，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。

图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y 与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
（图①）（图②）（图③）
（1）s与之间的函数关系式是：；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.
求解几何图形中的动点问题一般策略：
⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。

因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。

⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。

⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。

本题给出的坐标变化相对降低了难度。

但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。

2.3数形结合由“形”求式
⑴单个函数图象
例5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
单个函数图象求“式”的一般策略：
⑴单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。

⑵要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。

⑶用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。

一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。

⑵多个函数图象
例6 2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。

某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。

乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出
时开始计时）。

图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米)、(千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。

请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2分）
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。

请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。

请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。

多个函数图象求式问题的一般策略：
⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。

因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。

⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位臵关系。

图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。

由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。

2.4多变量及其最值问题
例7某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数
（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之
间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
解多个变量及其最值问题的一般策略：
⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。

因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。

⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。

二次函数则可用配方法或公式法求。

⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。