2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题15 直线与圆理

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热点16直线与圆2017年高考数学二轮核心考点总动员(附解析)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点16 直线与圆【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题. 【热点考向】考向一直线的方程【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是： ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y x ,的系数要对应相等．例1．【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，4】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，， C.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()1 1 2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，【分析】因为直线20x ay +-=过定点()2 0C ，，斜率为a1-，结合图形即可确定其范围，即可求出实数a 的取值范围.【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11(,)(2,1)(,1)(,)2CB CA k k a a-∈=-⇒∈-∞-+∞，选D. 考向二圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，8】抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【分析】先求出抛物线于坐标轴的交点，用待定系数法求出圆的方程.考向三直线与圆的位置关系【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．3．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，222d r l -=(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．例3．【河北邯郸2017届9月联考，3】以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)5x y -+-=B ．22(1)(1)5x y +++=C ．22(1)5x y -+=D ．22(1)5x y +-=【分析】利用直线圆相切的充要条件为圆心到直线的距离等于半径，根据题意列出关于a 的方程，解出a 的值，即可求圆心与半径，即可求出圆的方程.考向四圆与圆的位置关系【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .例4【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．19 D ．49【分析】由两圆恰有三条公切线知连圆相外切，有两圆的位置关系的充要条件，得到b a ,的关系，再利用基本不等式即可求出所求式子的最小值.【解析】由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即21=+，即2249a b +=，所以22222222221111(4)141()[5][51999a b a b a b a b b a ++=+=++≥+=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A. 考向五直线和圆与其他知识的交汇【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值； (2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题； (4)形如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系．例5 【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，15】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是．【分析】先求出定点A 、B 的坐标，由题知两动直线垂直，所以PA PB ⊥，所以222||PA PB AB +=，再用重要不等式即可求出PA PB +的最大值.【解析】由题意，得(0,0)A ，因为直线30mx y m --+=，即(1)30m x y --+=，经过定点(1,3)B ．又直线0x my +=与直线30mx y m --+=始终垂直，点P 又是两条直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222||10PA PB AB +==,所以PA PB +≤)|||(|222PB PA +==PA PB 取等号，所以PA PB +的最大值是【热点集训】1. 【广西柳州市2017届高三10月模拟，3】已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则s i n2θ的值是（） A ．14B ．34C ．45D ．25【答案】C【解析】22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.2. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，5】已知直线1:10l x y ++=，2:10l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离为（）A ．1BCD ．2 【答案】B【解析】由平行线距离公式可知，1l 与2l 之间的距离为22|)1(1|=--=d . 3.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A 【解析】4.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，7】直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为，则直线的倾斜角为（） A ．6π或56π B ．3π-或3π C.6π-或6π D ．6π【答案】A【解析】由题知：圆心()2 3，，半径为2,所以圆心到直线的距离为1d .即1d ==，∴k =tan k α=，得6πα=或56π.故应选A 5.【四川省遂宁市2016届高三（上）期末】圆C 1：x 2+y 2+2x=0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x+8y+4=0的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B6.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，5】已知b 是实数, 则 “2b =” 是 “直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=” 相切的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B7 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，3】圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （）A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 【答案】A【解析】由题意，知圆心为(1,4)1=，解得43a =-，故选A ．8.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，5】若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（） A ． 0 B ．至多有一个 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】因为直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=2>，即2<，所以点(,)m n 在圆O 内，即点(,)m n 在椭圆22194x y +=内部，所以过点(,)m n 的直线与椭圆有两个公共点，故选D.9.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，9】若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为t =取得最大值时a 的值为（）A ．12 B C. D ．34 【答案】D【解析】因为圆心到直线的距离d =，则直线被圆截得的弦长L =＝=2244a b +=．因为t ==2222)]12(44)]a a +=++-=，当且仅当222281244a ba b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,解得34a =，故选D ． 10.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，11】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】A11.【山东省实验中学2017届高三第一次诊断,9】已知直线l ：20kx y +-=（k R ∈）是圆C ：226290x y x y +-++=的对称轴，过点(0,)A k 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】D【解析】由题意直线l ：20kx y +-=过点(3,1)C -，所以1k =，所以切线AB 的长为= D.12.【河南师大附中2017届上学期高三期末】已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 【答案】B【解析】圆的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，过点（-1，4）的最长弦AC 所在的直线圆心，故10AC =，过点（-1，4）的最短弦BD 所在直线垂直于AC ，由勾股定理得6BD =，故四边形ABCD 的面积为1610302S =⨯⨯=． 13.【四川省2016年普通高考适应性测试，14】已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1 2，的该圆的三条弦的长123 a a a ，，构成等差数列，则数列123 a a a ，，的公差的最大值是．【答案】2【解析】222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，数列123 a a a ，，的公差的取最大值时，1 a 为最短弦，3a 为最大弦（直径），12a =，因此公差的最大值是23222⨯-= 14.【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，16】已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 面积的最小值为____________．15.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,15】过点1(,1)2M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A B 、两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_________.【答案】2430x y -+=【解析】由题意得，当CM AB ⊥时，ACB ∠最小，从而直线方程为11121()012y x --=--，即2430x y -+=.16.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗,16】已知圆22:8150C x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为______________. 【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，14】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西12sin 13θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点 B C ，都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为．【答案】()229225x y +-= 【解析】试题分析：22252cos 1691962131422513TB TA AB TA AB A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，1413cos 9OT θ=-⨯=，∴圆T 方程为()229225x y +-=.18.【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末】已知直线过定点P （2，1）．（1）求经过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）若过点P 的直线l 与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）x+y ﹣3=0；（2）x+2y ﹣4=0．【解析】（1）∵直线过定点P （2，1）且在两坐标轴上的截距相等，设直线方程为：x+y=a ，将P （2，1）代入得：a=3，故直线方程是：x+y ﹣3=0；（2）由题意设直线的截距式方程为+=1（a ，b ＞0）， ∵直线过P （2，1），∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥8，当且仅当=即a=4且b=2时取等号， ∴△AOB 的面积S=ab≥4，∴△AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为+=1，化为一般式方程可得x+2y ﹣4=0．19.【广东省汕头市2017届高三上学期期末，20】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】（1）1)1()6(22=-+-y x ；（2）052=+-y x 或0152=--y x ；（3）]2122,2122[+-．【解析】圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5. （1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y ，因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x . （2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x .20. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，18】如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =时，求直线l 的方程；（3）()BM BN BP +⋅是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1) 22(1)(2)20x y ++-=；(2)2x =-或3460x y -+=；（3）是定值，10-. 【解析】（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上．由2,10,y x x y =-⎧⎨+-=⎩得(1,2)A -，设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，所以R ==所以圆A 方程为22(1)(2)20x y ++-=．（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BQ ⋅=，∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2()BA AQ BP =+⋅2BA BP =⋅，当直线l 与x 轴垂直时，得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-，又(1,2)BA =， ∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅210BA BP =⋅=-，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，由(2),270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，解得475(,)1212k kP k k ---++， ∴55(,)1212kBP k k--=++， ∴()2BM BN BP BQ BP +⋅=⋅2BA BP =⋅5102()101212kk k-=-=-++，综上所述，()BM BN BP +⋅为定值10-．21. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，22】（本小题满分12分）已知圆C 经过点(0,2)(2,0)A B ，，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A B 、的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .（1）求圆C 的方程；（2）求证：||||AN BM •为定值；（3）当PA PB •取得最大值时，求||MN .【答案】（1）224x y +=；（2）证明见解析；（3）22-4.（2）证明：当直线PA 的斜率不存在时，||||8AN BM =•，………………5分当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设00(,)P x y ，直线PA 的方程为0022y y x x -=+，令0y =得02(,0)2x M y -.………………6分直线PB 的方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得002(0,)2y N x -.………………7分 ∴00000000000022||||(2)(2)44[]2222(2)(2)y x y x x y AN BM x y x y x y =--=+++------• 220000000000000000000000224224224444448(2)(2)(2)(2)422y y x x x y y x x y y x x y x y x y y x x y -+-+--+--+=+⨯=+⨯=+⨯=------+，故||||AN BM •为定值8.………………9分（3）解：∵00(,2)PA x y =--，00(2,)PB x y =--，∴220000002242()PA PB x x y y x y =-+-=-+•，………………10分设00z x y =+，22004x y +=，易知当直线00z x y =+与圆22004x y +=切于第三象限时，z取得最小值，此时00x y ==………………11分此时(2220)M -，(0,2)N -，故|2(222)422MN ==-………………12分22. 【河北唐山2017届高三上期期末，21】（本小题满分12分）已知圆()()22:222M x y -+-=，圆()22:840N x y +-=，经过原点的两直线12,l l 满足12l l ⊥，且1l 交圆M 于不同两点2,,A B l 交圆N 于不同两点,C D ，记1l 的斜率为k .（1）求k 的取值范围；（2）若四边形ABCD 为梯形，求k 的值．【答案】（1）2k <<（2）1k =．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将l 1代入圆M 可得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋6＝0，所以x 1＋x 2＝4(1＋k ) 1＋k 2，x 1x 2＝61＋k 2；…7分将l 2代入圆N 可得：(1＋k 2)x 2＋16kx ＋24k 2＝0，所以x 3＋x 4＝－16k 1＋k 2，x 3x 4＝24k 21＋k 2．…9分由四边形ABCD 为梯形可得x 1x 2＝x 4x 3，所以(x 1＋x 2)2 x 1x 2＝(x 3＋x 4)2 x 3x 4，所以(1＋k )2＝4，解得k ＝1或k ＝－3（舍）．…12分。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题5第1讲直线与圆含答案

第1讲直线与圆直线的方程自主练透夯实双基1．直线方程五种形式（1）点斜式:y－y1＝k(x－x1)．(2）斜截式：y＝kx＋b。

（3）两点式:y－y1y2－y1＝错误!(x1≠x2,y1≠y2）．(4）截距式：错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0)．2．三种距离公式（1)A（x1,y1)，B（x2，y2)两点间的距离：｜AB｜＝错误!。

(2)点到直线的距离:d＝错误!（其中点P(x0，y0），直线方程：Ax ＋By＋C＝0）．(3）两平行直线间的距离：d＝错误!（其中两平行线方程分别为l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．3．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1,k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[题组通关]1．设直线l1:2x－my－1＝0，l2:(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C [解析］由于两直线方程中的常数项之比为－1,故两直线平行的充要条件是错误!＝错误!≠－1.由错误!＝错误!,得m（m－1)＝2，解得m＝2或m＝－1。

当m＝－1时，错误!＝错误!＝－1，两直线重合,所以两直线平行的充要条件是m＝2.所以“m＝2"是“l1∥l2”的充要条件．2．在△ABC中，A（1，1)，B（m,错误!)（1<m〈4)，C（4,2），则当△ABC的面积最大时,m＝（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!B ［解析] 由两点间距离公式可得｜AC｜＝错误!，直线AC的方程为x－3y＋2＝0,所以点B到直线AC的距离d＝错误!，所以△ABC 的面积S＝错误!｜AC|·d＝错误!|m－3错误!＋2｜＝错误!|错误!错误!－错误!｜，又1〈m<4，所以1〈错误!<2，所以当错误!＝错误!，即m＝错误!时,S取得最大值．3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2:2x＋3y－8＝0的交点，且到点P（0，4）距离为2的直线方程为________．[解析] 由错误!得错误!所以l1与l2交点为(1，2)，直线x＝1显然不适合．设所求直线为y－2＝k（x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P（0，4)到直线的距离为2，所以2＝错误!，所以k＝0或k＝错误!.所以直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0。

2017年高考数学(深化复习+命题热点提分)专题15直线与圆理

C. x + y — 3= 0D. x —y + 3 = 0专题15直线与圆1.圆(x + 2)2+ y 2= 4 与圆(x — 2)2+ (y — 1) 2= 9 的位置关系为( )A .内切B .相交 C.外切D.相离解析：两圆的圆心距离为答案：B17,两圆的半径之差为 1、半径之和为5，而1<.17<5,所以两圆相交.2 22.已知直线x + y — k = 0(k >0)与圆x + y = 4交于不同的两点A ,B O 是坐标原点,那么k 的取值范围是( )A . ( .3,+^) C. ［ 2, 2 2)—— 庶_解析：当|Q4+换|=罟厨时，6 A f 占三点为等腰三甬形的三个顶点，苴中OA-OB } ZAOB=\20^r 从而园心◎到直絃x+丁一匸的距离为L 此时匸品当4迈时』国+费绰丽』又直线与圆0有两个不同的交点，故炮逅综上，上的取■值范围为［£,［筋.答案：C3.已知A (1,2) , E (3,1)两点到直线I 的距离分别是，2, •. 5 — 2,则满足条件的直线I 共有()E . 2条 C. 3条解析：当A , B 两点位于直线I 的同一侧时，一定存在这样的直线I ,且有两条.又|AB = .:〕一1 2+ 1—2 2= 5，而点A 到直线I 与点B 到直线I 的距离之和为2 + 5— 2= 5，所以当AB 两点位于直线I 的两侧时，存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.答案：C4.已知直线I : x — y + 4= 0与圆C ： (x — 1)2+ (y — 1)2= 2，则圆C 上的点到直线I 的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 1D. 3答案：A5 .已知直线I 过圆x 2+ (y — 3) 2= 4的圆心，且与直线 x + y + 1 = 0垂直，则直线I 的方程为( A . x + y — 2= 0B . [ 2, +m ) D. [ 3, 2 2)A . 1条 D. 4条解析：由题意知，圆C 上的点到直线I 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线I 的距离减去圆的半径，即_|1 — 1 + 4|1+ — 12— 2= ,2.B . x —y + 2 = 0解析：由已知得，圆心为（0,3），所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得， y = x + 3,即x — y + 3= 0,故选D. 答案：D22 2 26 •已知圆C: （x + 1） + y = r 与抛物线D ： y = 16x 的准线交于 A, B 两点，且| AB = 8,则圆C 的面积为（）A . 5 nB . 9 nC. 16 nD. 25 n解析抛物线的准线方程为Q-4,而IH 心坐掠为（-1, 0）.所臥圆心到直线的距离为3,所以圆的半径为5,抜圆面积为25兀.答案Dn2 27.过点（—2, 0）且倾斜角为—的直线l 与圆x 2+ y 2= 5相交于M N 两点，则线段 MN 的长为（）A . 2 2B . 3 C. 2 3 D. 6解析 I 的方程为x — y + 2= 0,圆心（0 , 0）到直线I 的距离d = 2，则弦长| MN = 2 , r 2— d 2= 2,3. 答案 C8 .已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1 , 0）且被x 轴分成两段弧长比为 1 : 2,则圆C 的方程为（）D . x + y ± -3 = 3解析由已知圆C 圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为|n ，设圆心（0 , a ），半径为r ,rn n贝y r sin 3= 1, r cosy = | a | , 2 解得r = —3,24 3即r = 3, |a |=苜,即a =±二3,故圆C 的方程为3答案 C9 .已知直线I 过点0（0 , 0）和点F （ ,2cos a, ,2sin a — 4），其中a k n +扌,k € Z 则直线I 的斜率的取值范围为（）A. x ±2+y 2= 4B -x士 # 2+y2=1A. [ - 7, 7]B. ( -7,7)C. ( -g,- 7] U [ ,7,+s)D. ( -g,-,7) U r.7,+^)解析动点P 的轨迹为圆Q ?+ tr+4)^2,但应除去圆与y 轴的两个交点.当直线』与圆Q 相切时，设直线』的斜率为比则直^ 1的方程为yF 由圆卜如 -4倒直线1的距离等于半辭,得~^=\Jr+l他解儈妒士扳利用数形结合，得直线』的斜率的取憤范围为(-5 -诉］+小答案 C 10.已知直线ax +4y - 2 = 0与2x - 5y + b = 0互相垂直，垂足为(1 , c )，贝U a + b + c 的值为()A . - 4B . 20C . 0D. 24a 2解析由两直线垂直得— ；乂2=— 1,4 5••• a = 10,将垂足坐标代入 ax + 4y -2 = 0,得c =- 2，再代入2x -5y + b = 0,得 b =- 12,「. a + b + c =- 4. 答案 A 11.点P (4 , - 2)与圆x 2 + y 2 = 4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A . (x -2)2 + (y + 1)2= 1B . (x - 2)2 + (y + 1)2= 44 2 2 2C. (x + 4) + (y -2) = 4 D . (x + 2) + (y - 1) = 1X 1 + 4+ (2y + 2)2 = 4，化简得(x — 2) 2+ (y + 1)2= 1. 答案 A12 .两个圆 C ： x 2+ y 2 + 2ax + a 2-4 = 0( a € R)与 C 2：x 2+y 2-2by - 1 + b 2 =0( b € R)恰有三条公切线，则 a + b 的最小值为()A . - 6B .- 3 C.- 3 2D. 3解析设圆上任意一点为(X 1,y”，中点为(x ,y )，则X 1= 2x -4,y y2 2代入 X 1 + y 1 = 4 得(2x - 4)y 1 - 2解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆G：(x + a)2+ y2= 4,圆G：x2+ (y-b)2=1,所以| CiC2| =、• j a2+ b2= 2+ 1 = 3, 即a2+ b2= 9.由a1 2 3 4+ b2》上穿当且仅当“ a= b”时等号成立，所以(a+ b)2w 2(a2+ b2),即| a + b| 』2.所以一3』2 w a + b W3 2.故a+ b的最小值为—3 2.答案C13. _______ 已知直线x+ 2y= 2与x轴、y轴分别相交于A B两点，若动点Ra, b)在线段AB上，贝U ab的最大值为__________ .解析由題意知川却所以线段血的方程可表示为算Ed 2],又动点尸(那引在线段曲上，所以to, 2],又討吟伶所以1乏2\^孕，解得徑玄送」当且仅当鈔1 'l 1即f 1,朴寸』曲取得最大值吕1答案214. 经过两条直线2x —3y+ 3 = 0, x—y+ 2 = 0的交点，且与直线x—3y—1 = 0平行的直线的一般式方程为解析两条直线2x—3y+ 3= 0,x —y + 2= 0 的交点为(一3,—1),2所以所求直线为y+ 1 = ~(x+ 3)，即x—3y = 0.4答案x—3y = 015. _________________________________________________________________________________已知两直线11: x+ y sin 0 —1 = 0 和12：2x sin 0 + y+ 1 = 0,当I 1丄12时，0 = _____________________________ .解析丨1丄丨2的充要条件是 2s in 0 + sin 0 = 0, 即 sin 0= 0,二 0= k n (k € Z), •••当 0 = k n (k € Z)时，l i 丄 |2. 答案 k n (k € Z)16. 一条直线I 过点P (1 , 4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于 A 、B 两点，O 为原点，则△ AOB 勺面积最小时直线I 的方程为 _________________ .解折设去扮0)・1 4因为点?(1, 4)在所以'+-=1.a ba b所以i $士汴=子匪&当-=&=尹£ 占力 £ 即尸為色=呂时取等号. 故直线J 的方程为4卄厂8=0. 答案 4x+ -S =017. _________________________________ 已知圆C 的圆心与抛物线 y 2= 4x 的焦点关于直线y = x 对称，直线4x — 3y — 2= 0与圆C 相交于A , B 两点，且|AB = 6，则圆C 的方程为 . 解析设所求圆的半径是r ,依题意得，抛物线y 2= 4x 的焦点坐标是(1 , 0), 则圆C 的圆心坐标是(0 , 1),圆心到直线4x — 3y — 2 = 0的距离故圆C 的方程是X 2 + (y — 1)2= 10. 2 2答案 x + (y — 1) = 10x — 2y 》0,2218•已知D 是由不等式组*所确定的平面区域，则圆x 2+ y 2= 4在区域D 内的弧长为 _________ .x + 3y >0解析作出可行域D 及圆x 2 + y 2 = 4如图所示，图中阴影部分所在圆心角 0 = a + 3所对的弧长即为所求.易|4 X 0— 3X 1— 2| /2+(— 3)=1,. . 2 2 . . 2 2 . . . .19 •已知数列｛a n ｝,圆 C ： x + y — 2a n x + 2&)+1y — 1 = 0 和圆 C 2： x + y + 2x + 2y — 2 = 0，右圆 C 与圆 C 2 父于A ,B 两点且这两点平分圆C 2的周长.(1) 求证：数列｛a n ｝是等差数列；(2) 若a 1=— 3,则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 的方程.(1)证明由已知，圆 C 的圆心坐标为(如一a n +1), 半径为 r 1 =、-..； a n + a n +1 + 1, 圆C 2的圆心坐标为(一1, — 1)，半径为「2= 2.又圆C 与圆C 2交于A , B 两点且这两点平分圆 G 的周长, ••• | CC 2|2+ r != r 1.2 2 2 2( a n + 1) + ( 一 a n + 1 + 1) + 4 = ch + a n + 1 + 1 , 5•••n € N * ,•当n = 2时，m 可取得最小值,此时，圆C 1的方程是：x + y + x + 4y — 1 = 0.5•・ a n + 1— a n = • •数列｛a n ｝是等差数列.⑵解 ••• a 1 = — 3,.・.a n = |n —乎. 则 r 1 = ■• j a + a n +1 + 1=1 ； (5n — 11) 2+( 5n — 6) 2+ 4知图中两直线的斜率分别为1、— 1，得 tan12，tan0 = tan( a — 3 )==1,得n2(R 为圆的半径).—170n + 161.20 .如图，椭圆有两顶点 A — 1, 0)、耳1 , 0)，过其焦点F (0, 1)的直线l 与椭圆交于 C D 两点，并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q(1)当I CD = 2 "2时，求直线I 的方程;⑵ 当点P 异于A B 两点时，求证：O P- &为定值.(1)解因椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 2x£= 1( a >b >0),由已知得 b = 1, c = 1 ,.•. a =-J 2.2则椭圆方程为+x 2= 1. 直线I 垂直于x 轴时与题意不符.设 I 的方程为 y = kx + 1, C (x 1, yd , D (x 2, y 2).由y = kx + 1y 2，消去 y 得，(k + 2) x + 2kx — 1 = 0. 勺 + x =1心2k —1则X1 + X2=—2^p，X1X2=亓R2.|CD =1 + k2・(X1+ X2)2—4X1X2= 2；2( k2+ 1) 由迳+F=k2+ 2孕，解得k =±2.l 的方程为y = .2x + 1 或y =—.2x+ 1.(2)证明直线l垂直于x轴时与题意不符.，0；设I的方程为y= kx+ 1( k z0且k z 土1) , • P点的坐标为i —k设QX1, yd , D(X2, y2),2k —1由(1)知X i + X2=—2+ k2，X i X2= 2 + k2,V1直线AC的方程为y= —(x+ 1),X1+ 1直线BD的方程为y=—J(x—1),将两直线方程联立，消去y 得舟=y i （育因为一1 V X i , X 2< 1,(1 + X 1)( 1 + X 2) 1 — X 1)( 1 — X 2)—2k — 1 1 + k 2+ 2 + k 2+ 2 k — 1 2 1 + 2k + -1 =用 .1 +卡+卡2又 yy 2= k X 1X 2+ k (X 1+ X 2) + 1 =2 (1 + k ) 2 k — 12 ・k + 2 k + 1'因此Q 点坐标为（一k , y Q ）. 因此Q 点坐标为(一k , y Q ).OP- 0Q= — £ 0 • ( — k , y Q ) = 1.故&为定值. 21.已知集合(x , y ) |y —3 = a +1 >B = {( x , y )|( a 2— 1)x + (a — 1)y = 15}，求 a 为何值时,解集合A 、B 分别为平面xOy 上的点集, 直线丨1： (a + 1) x — y — 2a + 1 = 0(x 丰2),212： ( a — 1)x + (a — 1)y — 15= 0.由(a +1)( a — 1 ) = (— 1)・( a 2— 1),—1x(— 15)^( a — 1)(— 2a + 1),解得a =± 1.①当a = 1时，显然有B= ?，所以A n B = ?；x + 1 x —V 2~异号(X 1+ 1)(X 2— 1 )(1 — k )(1 + k )k 2+ 2••• k ++^1 与 yy 异号,X+ 1 _k — 1^与"iX — 1同号.x + 1 X — k — 1沖，解得X =— k .A H B=所以2 / 八 2 2讨 2 (X 1+ 1) 2— 2X 24I R② 当3=- 1时，集合启为直线_pr= 3 (^2),集合万为直线产-亍两直线平行，所汰/帖=呵 ③ 由玉可知⑵3)砌当⑵3)Eb 时，即 2(a*— 1) +3(a~ 1) —15=0,5可得尸$或尸-4,此时彳■^铠综上所述』当3=-4』—1,扌比£门^=心*_ 2 222 .已知圆O x + y = 4和点M 1 , 解⑴由条件知点M 在圆0上, 所以 1 + a 2= 4,贝U a =±3.当 a = 3，点 M 为(1，咲3) , koi = 3, k 切=一可,3此时切线方程为 y —■. 3 = — ^(x — 1).即 x + 3y — 4= 0. 、［3 当 a =— 3时，点 M 为(1 , — 3) , k oM =—3, k 切=g .此时切线方程为 y + 3 = -33(x — 1).即 x —"J 3y — 4= 0. 所以所求的切线方程为x + 3y — 4 = 0 或 x — 3y — 4 = 0.⑵设0到直线AC BD 的距离分别为 d 1, d 2(d 1, d 2> 0),则 d 1+ d 2= 0M= 3.又有 AC = 2 4— d 1, BD= 2 4 — d 2, 所以 AO BD= 2 4 — d 2 + 2 .4 — d 2.则(AO BD 2= 4(4 — d 2+ 4— d 2+ 2 4— d 4 — d 2) =4［5 + 2 16 — 4 (d 2 + d 2)+ d 1d ；］ =4(5 + 2 . 4+ cfd 2).因为 2d 1d 2< d 2 + d 2= 3，所以 d 2d 2w 9，所以• 4+ d ?d ?< 2,所以(AO BD )2< 4X '5+ 2X 2 卜 40. 所以 AO BDC 2 .10, 即AO BD 的最大值为 2 10.a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆 0相切，求实数a 的值，并求出切线方程; ⑵若a = 2，过点M 的圆的两条弦AC, BD 互相垂直，求 AC+ BD 的最大值.当且仅当d i = d 2=23. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y = x2- 6x+ 1与坐标轴的交点都在圆C上.(1) 求圆C的方程；⑵若圆C与直线x—y + a= 0 交于A B两点，且OAL OB求a的值.解析：⑴曲线y = x2—6x + 1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3 + 2 2, 0) , (3 —2 2, 0), 故可设圆C的圆心为(3 , t)，则有32+ (t —1)2= (2 2)2+12，解得t = 1.则圆C的半径为.32+ t —1 2= 3.所以圆C的方程为(x —3)2+ (y —1)2= 9.(2) 设A(X1, yj , B(X2, y2)，其坐标满足方程组：x— y+ a= 0,x —3 2+ y —1 2= 9.消去y，得到方程2x2+ (2 a —8)x + a2—2a+ 1 = 0.2由已知可得，△ = 56 —16a—4a >0.由根与系数的关系可知2a —2a+ 1 金X1 + X2= 4 —a, X1X2= 22由OALOB 可得X1X2 + y1y2= 0,又y1 = X1 + a, y2= X2+ a,所以2x1X2+ a(X1 + X2)+ a = 0.②由①②得a=—1，满足△ >0,故a=— 1.24. 如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M N点M在点N的左侧)，且| MN(1)求圆C的方程；2 2⑵过点M任作一直线与圆O x + y = 4相交于A, B两点，连接AN BN求证：k AN+ k BN为定值. 解析：⑴因为圆C 与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(n>0),⑵证明：由山知MW'AU 叽当直线Q 的斜率为0时7易知h 尸加 =0,即tc+fe.v=O f 当直线曲的斜率不为0时’设直线*3 ；1十0*将V — 1十sy 代入x : +j i —4—0,并整理得卩(卢十I)}1十5=0设曲1, J]), 5(1： j }■'：)>综上可知，出+E 为亢值.25.在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为圆心的圆被直线 x — 3y + 4= 0截得的弦长为2 3.(1)求圆O 的方程;(2)若斜率为2的直线I 与圆O 相交于A B 两点，且点D ( — 1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线 l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：⑴ 设X + y? = r ：圆心(0,0)至U 直线x — 3y + 4= 0的距离d = 2,又因为截得的弦长为 2 3，所以r=..3 2+ 22= .7,圆 O 的方程为 x 2 + y 2= 7. (2)设斜率为2的直线I 的方程为y = 2x + b ,与圆相交于 A , B 两点，设A (X 1, y" , 0X 2, y 2).2 ・ .2得 5x + 4bx + b — 7 = 0,2△ = 140— 4b >0, 4b——X 1 + X 2 =— 则X 1X 2 =冲5已知点 D ( — 1,0)在以 AB 为直径的圆的内部，所以 DA- D^0,即DA DB^ (X 1+ 1, yj ・(X 2+ 1,抽=5x 1X 2则圆C 的半径为m 又I MN = 3,所以m =4+ 3 225 5=-r,解得m=,所以圆 2 4 2C 的方程为 5 2225x —2 + (y -2)=才_,r 1'1 +j ：= - _L则心+址怜+旨右+由*r- 22x + y = 7, y= 2x + b , ~i- + V~ 6f fit+ (2b+ 1)(X1+ X2) + b2 + 1 =習5 4b4b—6<0,解得-3<b<5,满足△ >0.所以直线I在y轴上的截距的取值范围为(一3,5).。

高中直线与圆题型归纳总结

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

高考数学专题突破第一部分专题五第一讲直线与圆理

表现形式位置关系
几何表现：圆心距d与r1，r2
的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程
组的解的情况
相离外切相交
内切
内含
d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋
r2 d＝|r1－ r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－ r2|(r1≠r2)
无解有一组解两组不同实数解
有一组解
解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋a2 ＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2
＝8
热点三直线与圆的位置关系
例3 (2011年高考课标全国卷)在平面直角坐标
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－ a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
()
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
【解析】 (1)∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直线 3x－2y＝0 的斜率是32，∴直线 l 的方程是 y＝32 (x－1)，即 3x－2y－3＝0.
(2)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)．
第一部分方略

高考文数直线与圆知识点

高考文数直线与圆知识点在高考数学的考试中，直线与圆是非常重要的几何知识点。

掌握直线与圆的相关性质和计算方法，对于解题有着重要的指导意义。

本文将介绍一些高考中常见的直线与圆知识点，希望能帮助同学们更好地理解和学习。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相切和直线与圆相离。

当直线与圆相交时，可能会有两个交点或者一个交点。

这要根据直线与圆的位置关系来判断。

如果直线穿过圆的两个交点，则称为直线与圆相交于两点；如果直线与圆只有一个交点，则称为直线与圆相切。

当直线与圆相离时，直线与圆之间没有任何交点。

2. 直线与圆的性质（1）切线性质：过圆外一点，可作无数条与圆相切的直线，这些相切直线上的切点和该点到圆心的线段相等。

当直线与圆相切时，该直线被称为切线。

切线与圆相切于一个点，且切点到圆心的距离与切点到该点的距离相等。

（2）切线定理：切线所构成的角与该切点与圆心连线所构成的角相等。

当直线与圆相切时，切线与该切点与圆心连线所构成的角相等。

（3）幅度定理：圆心角的幅度是其所对应扇形的幅度的两倍。

圆心角是以圆心为顶点的角，其幅度定义为其所对应扇形的幅度的两倍。

（4）正切定理：切线与半径的正切相等。

当直线与圆相切时，该切线与切点处的半径的正切相等。

3. 直线与圆的计算方法（1）直线方程的计算方法：已知直线上的两个点，可以求出直线的方程。

设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。

（2）圆的方程的计算方法：已知圆心和半径，可以求出圆的方程。

设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。

通过计算直线方程和圆的方程，可以解决很多与直线与圆有关的几何问题。

4. 直线与圆的应用在实际生活和工作中，直线与圆的知识点也有很多应用。

【高中数学】高中数学知识点：直线与圆的位置关系

【高中数学】高中数学知识点：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：由直线与圆的公共点的个数，得出结论以下直线和圆的三种边线关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）切线：直线和圆存有唯一公共点时，叫作直线和圆切线，这时直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

其图像如下：直线和圆的位置关系的性质：（1）直线l和⊙o平行d＜r（2）直线l和⊙o切线d=r；（3）直线l和⊙o嗟乎d＞r。

直线与圆边线关系的认定方法：(1)代数法:判断直线ax+by+c=0和圆x2+y2+dx+ey+f=0的位置关系，可由面世mx2+nx+p=0，利用判别式△展开推论．△>0则直线与圆相交；△=0则直线与圆切线；△<0则直线与圆相离．(2)几何法:未知直线ax+by+c=0和圆，圆心到直线的距离d<r则直线和圆平行；d=r则直线和圆相切；d>r则直线和圆嗟乎．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心至直线的距离展开认定较为简便，而判别式法也适用于于直线与椭圆、双曲线、抛物线边线关系的推论．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.直线与圆边线关系的认定方法列表如下：直线与圆相交的弦长公式：（1）几何法：如图所示，直线l与圆c平行于a、b两点，线段ab的长即为l与圆平行的弦长。

设弦心距为d，半径为r，弦为ab，则有|ab|=（2）代数法：直线l与圆处设直线l的斜率为k，则有当直线ab的倾斜角为直角，即为斜率不存有时，|ab|=。

2019高考数学考点解读命题热点突破专题15直线与圆理

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专题15 直线与圆【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 【命题热点突破一】直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1、【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________. 【答案】4【变式探究】(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 (1)C (2)B解析 (1)当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，则两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5.但必须满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．(2)依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1.所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2，所以8m 2＋44m －24＝0. 所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0 答案 C解析由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0. 故C 正确．【命题热点突破二】圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2、【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2 【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【变式探究】(1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4答案 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D. (2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________． (2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.【命题热点突破三】直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3、【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22t -≤+【解析】（2）因为直线l∥OA，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+.因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.【变式探究】(1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( ) A ．3B.212C ．22D ．2 答案 (1)A (2)D(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.【特别提醒】 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【变式探究】(1)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则△OAB 的面积为( ) A ．1B.2C ．2D ．2 2(2)两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－32D ．3 答案 (1) A (2)C(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9. 由(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C.【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（）（A ）43-（B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．2.【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 3.【2016高考新课标3理数】已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________________. 【答案】44.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。