人文社科考研数学二历年真题2003—2013

2013年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是 （ ）(A) 比x 高阶的无穷小(B) 比x 低阶的无穷小(C) 与x 同阶但不等价的无穷小(D) 与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）(A)2 (B)1 (C)1- (D) 2-（3）设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤<⎧=⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）(A) x π=是函数()F x 的跳跃间断点 (B) x π=是函数()F x 的可去间断点 (C) ()F x 在x π=处连续但不可导 (D) ()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）(A) 2α<- (B) 2α>(C) 20α-<< (D) 02α<<（5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则z z x y ∂∂+=∂∂（ ）(A) 2()yf xy(B) 2()yf xy -(C)2()f xy x (D) 2()f xy x-（6）设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰(1,2,3,4)k =，则（ ）(A)10I >(B) 20I >(C)30I >(D)40I >（7）设,,A B C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且B 可逆，则（ ） (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ） (A)0,2a b ==(B)0,a b =为任意常数 (C)2,0a b ==(D)2,a b =为任意常数二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． （9）1ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （10）设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dy dx== ．（11）设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66ππr θθ=-≤≤，则L 所围成平面图形的面积是 ．（12）曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于的点处的法线方程为 ．（13）已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某2阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件000,1x x y y =='==的解y = ．（14）设()ij A a =为3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0i j i j a A +=(,1,2,3)i j =，则A = ．三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10 分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

（16）（本题满分10 分）设D 是由曲线13y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。

（17）（本题满分10 分）设平面区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成，计算2Dx dxdy ⎰⎰（18）（本题满分10 分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明：（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=；（Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=。

（19）（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

（20）（本题满分11 分）设函数1()ln f x x x=+ （I ）求()f x 的最小值。

（II ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在并求此极限（21）（本题满分11 分）设曲线L 的方程211ln (1)42y x x x e =-≤≤， （I ）求L 的弧长；（II ）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。

（22）（本题满分11 分）设110a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C ，使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

（23）（本题满分 10 分）设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为222y y +。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线s i n ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dxy x y -=⎰⎰(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.设100010001001aaAaa⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，11β⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪⎝⎭(I) 计算行列式A；(II) 当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x=的秩为2，(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换x Qy=将f化为标准形.2011年考研数学试题（数学二）一、选择题A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-4 2.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(lim x x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知 A )0(2f '- B )0(f '- C )0(f ' D03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为A0 B1 C2 D34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y yA )(x x e e a λλ-+B )(x x e e ax λλ-+C )(x x be ae x λλ-+D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。