2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2013考研数学二真题及参考答案
2013考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
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（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013年考研数学二真题及答案
2013年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,那么dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)．设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,那么函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4)．=＿＿＿＿＿＿. (5)． 曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,那么()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)． (1)．当x →时,变量211sin x x是( )．(A)． 无穷小 (B)． 无穷大(C)． 有界的,但不是无穷小 (D)． 有界的,但不是无穷大(2)． 设2|1|,1,()12, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩那么在点1x =处函数()f x( )．(A)． 不连续 (B)． 连续,但不可导 (C)． 可导,但导数不连续 (D)． 可导,且导数连续(3)． 2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,那么()F x 为 ( )．(A)．31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B)． 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C)． 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D)． 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩(4)． 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )．(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0 (5)． 假设()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,那么()f x 在(,0)-∞内 ( )．(A)． ()0,()0f x f x '''<< (B)． ()0,()0f x f x '''<> (C)． ()0,()0f x f x '''>< (D)． ()0,()0f x f x '''>>三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．(1)． 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)． 求lim )x x x →-∞.(3)． 求401cos 2xdx x π+⎰.(4)． 求3(1)xdx x +∞+⎰. (5)． 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(此题总分值9分)．设二阶常系数线性微分方程xy y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)．设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)．作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)．设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a++<.八、(此题总分值6分)．设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)． (1)．【答案】：0(2)．【答案】：222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-(3)．【答案】：104x <≤ (4)．【答案】：1/22cos x C -+(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222x x x ++-- (5)．【答案】：(C)．三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)． (1)．{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅.()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)．应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x →-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰[]4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx x ππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos0)]ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)．用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)x x dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 1220121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdxx x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-.四、(此题总分值9分)．要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x x y e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式 2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比拟同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方 程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==. 所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(此题总分值9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,那么边界限为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时, 2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,那么cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,那么边界限为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示.当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,那么1,x t dx dt =+=,所以 120(2)(2)x x x x dx ---⎰21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰. 再令sin t θ=,那么cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰[]00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43V x x x x dx πππ=---=-⎰.六、(此题总分值9分)．这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.ADOCB由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(此题总分值9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a+<+.证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,那么()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>. 从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,那么21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x -'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<,所以有ln()ln a x aa x a+<+,即 ()a a x a x a ++<.八、(此题总分值9分)． 证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的根本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一.证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。
2013年考研数学二真题及答案解析
2
2
当 x 0 时， (x) 0 ， sin (x) (x)
(x) 1 x ，即 (x) 与 x 同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 2
2、已知
y
f
(x) 由方程 cos(xy) ln
y
x
1 确定，则 lim
n[
f
2 ()
1]
（
）
n
n
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
Dk
3
（A） I1 0 【答案】（B）
（B） I2 0
（C） I3 0
（D） I4 0
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算
【难易度】★★
【详解】根据对称性可知， I1 I3 0 .
I2 ( y x)dxdy 0 （ y x 0 ）， I4 ( y x)dxdy 0 （ y x 0 ）
f (t)dt f (t)dt
F(
)
lim
x
0
0
x
0
，
F(
)
lim
x
0
0
x
2，
F( ) F( ) ，故 F (x) 在 x 处不可导.选（C）.
1
4（、A）设函 数2
f
(
x)
（(Bx）1)
1
D2
D4
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
2013年全国硕士研究生入学考试数学二试题答案(详解)
，
⎜⎝ a3 ⎟⎠
⎜⎝ b3 ⎟⎠
（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα T + ββ T ；
∫∫ x2dxdy
D
【详解】
第 3页（共 7页）
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x2dxdy =
2
dx
0
3 x
x
x
2dy
+
6
dx
2
8− x
x
x
2dy
D
3
3
∫ ∫ =
2 8x3 dx +
6 x2 (8 − 4 x)dx
03
2
3
= 32 + 384 = 416 33 3
（18）（本题满分 10 分）设奇函数 f (x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f (1) = 1，证明：
f
(x)
=
⎧ ⎪⎪ ( x ⎨
1 − 1)α−1
,1 <
x
<
e
，若反常积分
+∞
f (x)d x 收敛，则（
⎪ ⎪⎩
x
1 lnα
+1
x
,
x≥e
1
）
(A) α < −2
【答案】D
(B) α > 2
(C) −2 < α < 0 (D) 0 < α < 2
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 ∂z + ∂z = （ ）
=
1
确定，则
lim
n→∞
n
⎛ ⎜⎝
f
(
2 n
)
−
1⎞⎟⎠
=（
2013数学二考研真题
∫
π−
0
sin xdx = − cos x
π+ π−
π−
0
= 2，
π+
0
F (π + ) = ∫ sin xdx + ∫ 2dx = − cos x
0
π−
= 2，
F (π ) = ∫ sin xdx + ∫ 2dx = − cos x
0
π−
π
π+
0
π−
= 2，
所以 F ( x ) 在 x = π 处连续，但 F ( x ) 在 x = π 处不可导，故选（C） 。 【注】 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 1.64】.
= 1 π 1 + cos 6θ π 1 6 dθ = + sin 6θ π ∫ 2 −6 2 12 24
π
6
−
π
6
=
π
12
。
【注】类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 7.34】 【例 7.35】.
（12）曲线 ⎨
⎧ ⎪ x = arctan t
2 ⎪ ⎩ y = ln 1 + t
上对应于 t = 1 ;∞
1
f ( x ) dx 收敛，则 ∫
e
1
1
( x − 1)
α −1
dx 和 ∫
e
1 dx 收敛，于是 x lnα +1 x
。 α − 1 < 1, α + 1 > 1 ⇒ 0 < α < 2 ，故选（D） 【注】 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 4.51】.
（5）设 z =
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数二真题及详细解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
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（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
（2）设函数 y = f (x) 由方程
确定，则
lim
n→∞
n
f
(
2 n
)
−1
=（
）
（A） 2
（B）1
（C） −1 （D） −2
sin x, 0 ≤ x < π
x
∫ （3）设函数 f (x)=
1 a 1 2 0 0
（8）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A）=a 0= , b 2
（B） a = 0,b为任意常数
（C） a = 2,b = 0
（D） a = 2,b为任意常数
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 x3 − xy + y3 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分 11 分）
设函数 f (= x) ln x + 1 ， x
（I）求 f (x) 的最小值
（II）设数列{xn} 满足 ln xn
+
1 xn
<
1，证明
6
6
为
．
x = (12)曲线
= y
arctan t ln 1+ t2
上对应于 t
= 1的点处的法线方程为
．
(13)已知 =y1 e3x − xe2x ， y=2 ex − xe2x ， y3 = −xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该
方程满足条件 y x=0 = 0 y′ x=0 = 1的解为 y =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(9)
lim(2 −
ln(1 +
x)
)
1 x
=
．
x→∞
x
∫ (10) 设 函 数 f= (x) x 1− et dt ， 则 y = f (x) 的 反 函 数 x = f −1( y) 在 y = 0 处 的 导 数 −1
dx dy
y=0 =
．
(11) 设 封 闭 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为=r cos 3θ (− π ≤ θ ≤ π ) ， 则 L 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（ ） 2
．
（ 14 ） 设 A = (aij) 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A | 为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ， 若
aij + Aij = 0(i, j= 1, 2, 3),则 A = ____
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
lim
n→∞
xn
存在，并求此极限.
（21）（本题满分 11 分）
设曲线 L 的方程为 y= 1 x2 − 1 ln x 42
（1）求 L 的弧长；
(1 ≤ x ≤ e) ，
（2）设 D 是由曲线 L ，直线=x 1,=x e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标。
（22）（本题满分 11 分）
当 x → 0 时，1− cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。
（16）（本题满分 10 分）
1
设 D 是由曲线 y = x3 ，直线=x a(a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一
周所得旋转体的体积，若Vy = 10Vx ，求 a 的值。
1 −1)α −1
,
x
1 lnα +1
x
,
1< x <e
+∞
∫ ，若反常积分 f (x)dx 收敛，则（ 1
x≥e
）
（A）α < −2 （B）α > 2 （C） −2 < α < 0 （D） 0 < α < 2
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （ ）
（17）（本题满分 10 分）
∫∫ 设平面内区域 D 由直= 线 x 3= y, y 3x 及 x + y =8 围成.计算 x2dxdy 。 D
（18）（本题满分 10 分）
设奇函数 f (x) 在[−1,1]上具有二阶导数，且 f (1) = 1.证明：
（I）存在ξ ∈（0,1），使得 f ′(ξ ) = 1 ；（II）存在η ∈（0,1），使得 f ′′(η) + f ′(η) = 1。
2,
， F (x) = f (t)dt ，则（
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导
（4）设函数
f
(x)=
( x
Dk
（）
（A） I1 > 0 （B） I2 > 0 （C） I3 > 0 （D） I4 > 0
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C,则B可逆，则
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
x
x
{ } ∫∫ （6）设 Dk 是圆= 域 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 Ik =( y − x)dxdy(k = 1, 2,3, 4) ，则
= 设 A
= 11 a0 , B
0
1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
−
CA
= B ，并求所有矩阵
C
。
（23）（本题满分 11 分）