2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2013考研数学二真题及参考答案
2013考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
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（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013年考研数学二真题及答案
2013年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,那么dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)．设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,那么函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4)．=＿＿＿＿＿＿. (5)． 曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,那么()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)． (1)．当x →时,变量211sin x x是( )．(A)． 无穷小 (B)． 无穷大(C)． 有界的,但不是无穷小 (D)． 有界的,但不是无穷大(2)． 设2|1|,1,()12, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩那么在点1x =处函数()f x( )．(A)． 不连续 (B)． 连续,但不可导 (C)． 可导,但导数不连续 (D)． 可导,且导数连续(3)． 2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,那么()F x 为 ( )．(A)．31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B)． 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C)． 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D)． 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩(4)． 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )．(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0 (5)． 假设()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,那么()f x 在(,0)-∞内 ( )．(A)． ()0,()0f x f x '''<< (B)． ()0,()0f x f x '''<> (C)． ()0,()0f x f x '''>< (D)． ()0,()0f x f x '''>>三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．(1)． 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)． 求lim )x x x →-∞.(3)． 求401cos 2xdx x π+⎰.(4)． 求3(1)xdx x +∞+⎰. (5)． 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(此题总分值9分)．设二阶常系数线性微分方程xy y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)．设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)．作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)．设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a++<.八、(此题总分值6分)．设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)． (1)．【答案】：0(2)．【答案】：222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-(3)．【答案】：104x <≤ (4)．【答案】：1/22cos x C -+(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222x x x ++-- (5)．【答案】：(C)．三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)． (1)．{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅.()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)．应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x →-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰[]4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx x ππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos0)]ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)．用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)x x dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 1220121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdxx x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-.四、(此题总分值9分)．要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x x y e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式 2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比拟同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方 程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==. 所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(此题总分值9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,那么边界限为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时, 2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,那么cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,那么边界限为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示.当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,那么1,x t dx dt =+=,所以 120(2)(2)x x x x dx ---⎰21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰. 再令sin t θ=,那么cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰[]00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43V x x x x dx πππ=---=-⎰.六、(此题总分值9分)．这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.ADOCB由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(此题总分值9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a+<+.证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,那么()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>. 从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,那么21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x -'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<,所以有ln()ln a x aa x a+<+,即 ()a a x a x a ++<.八、(此题总分值9分)． 证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的根本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一.证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。
2013年考研数学二真题及答案解析
2
2
当 x 0 时， (x) 0 ， sin (x) (x)
(x) 1 x ，即 (x) 与 x 同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 2
2、已知
y
f
(x) 由方程 cos(xy) ln
y
x
1 确定，则 lim
n[
f
2 ()
1]
（
）
n
n
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
Dk
3
（A） I1 0 【答案】（B）
（B） I2 0
（C） I3 0
（D） I4 0
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算
【难易度】★★
【详解】根据对称性可知， I1 I3 0 .
I2 ( y x)dxdy 0 （ y x 0 ）， I4 ( y x)dxdy 0 （ y x 0 ）
f (t)dt f (t)dt
F(
)
lim
x
0
0
x
0
，
F(
)
lim
x
0
0
x
2，
F( ) F( ) ，故 F (x) 在 x 处不可导.选（C）.
1
4（、A）设函 数2
f
(
x)
（(Bx）1)
1
D2
D4
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
2013年全国硕士研究生入学考试数学二试题答案(详解)
，
⎜⎝ a3 ⎟⎠
⎜⎝ b3 ⎟⎠
（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα T + ββ T ；
∫∫ x2dxdy
D
【详解】
第 3页（共 7页）
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x2dxdy =
2
dx
0
3 x
x
x
2dy
+
6
dx
2
8− x
x
x
2dy
D
3
3
∫ ∫ =
2 8x3 dx +
6 x2 (8 − 4 x)dx
03
2
3
= 32 + 384 = 416 33 3
（18）（本题满分 10 分）设奇函数 f (x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f (1) = 1，证明：
f
(x)
=
⎧ ⎪⎪ ( x ⎨
1 − 1)α−1
,1 <
x
<
e
，若反常积分
+∞
f (x)d x 收敛，则（
⎪ ⎪⎩
x
1 lnα
+1
x
,
x≥e
1
）
(A) α < −2
【答案】D
(B) α > 2
(C) −2 < α < 0 (D) 0 < α < 2
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 ∂z + ∂z = （ ）
=
1
确定，则
lim
n→∞
n
⎛ ⎜⎝
f
(
2 n
)
−
1⎞⎟⎠
=（
2013数学二考研真题
∫
π−
0
sin xdx = − cos x
π+ π−
π−
0
= 2，
π+
0
F (π + ) = ∫ sin xdx + ∫ 2dx = − cos x
0
π−
= 2，
F (π ) = ∫ sin xdx + ∫ 2dx = − cos x
0
π−
π
π+
0
π−
= 2，
所以 F ( x ) 在 x = π 处连续，但 F ( x ) 在 x = π 处不可导，故选（C） 。 【注】 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 1.64】.
= 1 π 1 + cos 6θ π 1 6 dθ = + sin 6θ π ∫ 2 −6 2 12 24
π
6
−
π
6
=
π
12
。
【注】类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 7.34】 【例 7.35】.
（12）曲线 ⎨
⎧ ⎪ x = arctan t
2 ⎪ ⎩ y = ln 1 + t
上对应于 t = 1 ;∞
1
f ( x ) dx 收敛，则 ∫
e
1
1
( x − 1)
α −1
dx 和 ∫
e
1 dx 收敛，于是 x lnα +1 x
。 α − 1 < 1, α + 1 > 1 ⇒ 0 < α < 2 ，故选（D） 【注】 类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 4.51】.
（5）设 z =
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数二真题及详细解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数学二试题及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小【答案】（C ）【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】cos 1sin ()x x x α-=⋅，21cos 12x x --21sin ()2x x x α∴⋅-，即1sin ()2x x α-∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα1()2x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）. 2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n →∞-=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【答案】（A ）【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★【详解】当0x =时，1y =.002()12(2)1(2)(0)lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x xn→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得1sin()()10xy y xy y y''-++⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''==所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ）【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰，(0)2F π+=，(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.()()()lim 0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰，0()()()lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()e f x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>所以，02α<<，选D. 5、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 221[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x∂∂''∴+=-+++∂∂ 11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）.6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★【详解】根据对称性可知，130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰（0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（0y x -<）因此，选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）【考点】等价向量组 【难易度】★★【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=，1(,,)n C γγ=由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0. 因此，22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒=将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 【答案】12e【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim (1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x xx x xx xx xx x x x x eex x→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x xx x x →→→→-+-++⋅-====+故原式=12e10、设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dxdy== .【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】由题意可知，(1)0f -=1()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围平面图形的面积是 . 【答案】12π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰12、曲线arctan ,ln x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .【答案】ln 204y x π+--=【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】由题意可知，12//1dy dy dt t dx dx dtt-===+，故11t dy dx == 曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 当1t =时，4x π=，ln 2y =.法线方程为ln 2()4y x π-=--，即ln 204y x π+--=.13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 【答案】32xx x y ee xe =--【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★【详解】312x x y y e e -=-，23xy y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 通解为32xx x y ee xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .【答案】-1【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★【详解】**0T T ij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00TAA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★【详解】00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34lim lim n n x x x x x x x x ax ax →→+++--⋅⋅= 1003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x xax anx-→→---++== 2036cos 616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x-→++=- 故20n -=，即2n =时，上式极限存在.当2n =时，由题意得001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164limlim 188n x x x x x x x x ax a a→→-⋅⋅++++==== 7a ⇒= 2,7n a ∴==16、（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★【详解】根据题意，15523330033()55aax V x dx x a πππ===⎰177333066277a ay V x x dx xa πππ=⋅==⎰. 因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy ⎰⎰【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★【详解】根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩故2368222233xxx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())x x x xf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=[()]0x x e f x e ''⇔-=令()()xxg x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=. 19、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★【详解】设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 令()0f x '=，得唯一驻点1x =当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增. 又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在，设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足 （Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得1111S ====⎰⎰⎰⎰221111111()(ln )22424eee x dx x x x +=+=+=⎰ （Ⅱ）由形心的计算公式，得22111ln 242100111ln 24210011(ln )4211(ln )42ex x D e x x Dxdxdyx x x dx dx xdy x dxdy x x dx dx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分） 设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫=⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)Tη=方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭.23、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）证明：2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0TT αβαβ== 因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123TTTTTTr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<，所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （ ）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0
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（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
（2）设函数 y = f (x) 由方程
确定，则
lim
n→∞
n
f
(
2 n
)
−1
=（
）
（A） 2
（B）1
（C） −1 （D） −2
sin x, 0 ≤ x < π
x
∫ （3）设函数 f (x)=
1 a 1 2 0 0
（8）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A）=a 0= , b 2
（B） a = 0,b为任意常数
（C） a = 2,b = 0
（D） a = 2,b为任意常数
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 x3 − xy + y3 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分 11 分）
设函数 f (= x) ln x + 1 ， x
（I）求 f (x) 的最小值
（II）设数列{xn} 满足 ln xn
+
1 xn
<
1，证明
6
6
为
．
x = (12)曲线
= y
arctan t ln 1+ t2
上对应于 t
= 1的点处的法线方程为
．
(13)已知 =y1 e3x − xe2x ， y=2 ex − xe2x ， y3 = −xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该
方程满足条件 y x=0 = 0 y′ x=0 = 1的解为 y =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(9)
lim(2 −
ln(1 +
x)
)
1 x
=
．
x→∞
x
∫ (10) 设 函 数 f= (x) x 1− et dt ， 则 y = f (x) 的 反 函 数 x = f −1( y) 在 y = 0 处 的 导 数 −1
dx dy
y=0 =
．
(11) 设 封 闭 曲 线 L 的 极 坐 标 方 程 为=r cos 3θ (− π ≤ θ ≤ π ) ， 则 L 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（ ） 2
．
（ 14 ） 设 A = (aij) 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A | 为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ， 若
aij + Aij = 0(i, j= 1, 2, 3),则 A = ____
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
lim
n→∞
xn
存在，并求此极限.
（21）（本题满分 11 分）
设曲线 L 的方程为 y= 1 x2 − 1 ln x 42
（1）求 L 的弧长；
(1 ≤ x ≤ e) ，
（2）设 D 是由曲线 L ，直线=x 1,=x e 及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标。
（22）（本题满分 11 分）
当 x → 0 时，1− cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos 3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。
（16）（本题满分 10 分）
1
设 D 是由曲线 y = x3 ，直线=x a(a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一
周所得旋转体的体积，若Vy = 10Vx ，求 a 的值。
1 −1)α −1
,
x
1 lnα +1
x
,
1< x <e
+∞
∫ ，若反常积分 f (x)dx 收敛，则（ 1
x≥e
）
（A）α < −2 （B）α > 2 （C） −2 < α < 0 （D） 0 < α < 2
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （ ）
（17）（本题满分 10 分）
∫∫ 设平面内区域 D 由直= 线 x 3= y, y 3x 及 x + y =8 围成.计算 x2dxdy 。 D
（18）（本题满分 10 分）
设奇函数 f (x) 在[−1,1]上具有二阶导数，且 f (1) = 1.证明：
（I）存在ξ ∈（0,1），使得 f ′(ξ ) = 1 ；（II）存在η ∈（0,1），使得 f ′′(η) + f ′(η) = 1。
2,
， F (x) = f (t)dt ，则（
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导
（4）设函数
f
(x)=
( x
Dk
（）
（A） I1 > 0 （B） I2 > 0 （C） I3 > 0 （D） I4 > 0
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C,则B可逆，则
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
x
x
{ } ∫∫ （6）设 Dk 是圆= 域 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 Ik =( y − x)dxdy(k = 1, 2,3, 4) ，则
= 设 A
= 11 a0 , B
0
1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
−
CA
= B ，并求所有矩阵
C
。
（23）（本题满分 11 分）