噶米高数二下学期复习课(第八章第九章)

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2019-2020学年新教材人教版必修第二册 第8章 章末复习课 课件(40张)

2019-2020学年新教材人教版必修第二册 第8章 章末复习课 课件(40张)
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动力学方法和能量观点的综合运用
1.动力学方法:利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问 题.
2.能量的观点:利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒 定律以及一些功能关系求解力学问题.
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3.应用技巧 涉及动力学方法和能量观点的综合题,应根据题目要求灵活选 用公式和规律. (1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线 运动的问题时,可用牛顿运动定律. (2)用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律 求解过程要简单,变力作用下的问题只能用能量观点.
2R=12gt2 s=vCt 联立解得s=2R. [答案] (1)52mgR (2)2R
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八种常见功能关系的理解
功能关系 表达式
物理意义
重力做功是重
重力做功与重
力势能
W=-ΔEp 力势能变化的
原因
弹力做功是弹 弹簧弹力做功
与弹性势能 W=-ΔEp 性势能变化的 原因
正功、负功含义 W>0 势能减少 W<0 势能增加 W=0 势能不变 W>0 势能减少 W<0 势能增加 W=0 势能不变
5.机械能守恒定律
(1)三种表达式 ①Ek1+Ep1= Ek2+Ep2 . ②ΔEk= -ΔEp . ③ΔEA=-ΔEB . (2)守恒条件:只有 重力 或 弹力
做功.
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6.能量守恒定律:能量既不会凭空 产生 ,也不会凭空_消__失_, 它只能从一种形式 转化 为另一种形式,或者从一个物体转移到别 的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量 保持不变 .
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[解析] (1)小球恰好能通过最高点C,设通过C点的速度为vC, 则:
mg=mvR2C,得vC= gR 小球从A到C的过程中,设所求弹簧的弹性势能为Ep,由机械能 守恒定律可得:

同济版高数第二册9-8

同济版高数第二册9-8

2. 关系 可微 方向导数存在
偏导数存在 3. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 梯度的特点
方向: f 变化率最大的方向
f grad f el l
模: f 的最大变化率之值
§8. 多元函数的极值 问题的提出
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤: f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0 第一步 解方程组 求出实数解,得驻点及不可导点.
第二步 对于每一个极值可疑点( x 0 , y0 ) ,
极值可 疑点
进一步判定.对驻点,求出二阶偏导数的值 A,B,C. 2 第三步 对二阶偏导存在的驻点,定出AC B 的符 号,再判定是否取得极值,取得极值时,是极 大值还是极小值.
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 z( , ) , z( , ) , 2 2 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 Nhomakorabea2 2极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值.
2 2 函数 z x y 例2 在 (0,0) 处有极大值.
例3 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值.
2、多元函数取得极值的必要条件
定理 1 (必要条件) 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 ) 处有极值,则它在该

新人教A版高中数学第二册(必修2)课件:第九章统计章末复习课

新人教A版高中数学第二册(必修2)课件:第九章统计章末复习课

要点三 样本的百分位数 1.四分位数:第25分位数,第50分位数,第75分位数,这三个分位数把一组由小到大
排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 2.由频率分布直方图求百分位数时,一般采用方程的思想,设出第p百分位数,根据
其意义列出方程求解.
【例3】 欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2013年全球主要20个国家和地区 的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量,结果如下表:
(2)由频率分布直方图可知,样本中“贫困户”的频率为0.06,所以估计该县100 万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.06=6(万户).
【训练4】 某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷, 成绩如下表:
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
【例2】 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位: cm):
区间界限 [122,126) [126,130)
人数
5
8
区间界限 [142,146) [146,150)
人数
20
11
[130,134) 10
[150,154) 6
[134,138) [138,142)
22
1n∑ i=n1 (xi--x)2.
要点一 抽样方法的应用 1.抽样方法有:简单随机抽样、分层随机抽样. 2.两种抽样方法比较
【例1】 一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320 人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层 随机抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别 是( )
33
[154,158]

《高数下第八章》课件

《高数下第八章》课件

球面坐标系
球面坐标系将点的位置与球坐 标和两个角度联系起来。
球面坐标系下的三重积 分计算
可以通过变量替换将三重积分 转化为球面坐标下的计算。
相关应用
用于计算球面坐标图形的体积、 质心坐标等。
总结
本章重点内容概述
回顾并总结本章重点知识和概念。
解答问题技巧与方法
分享解答高数问题的技巧和方法。
重要的公式和定理
介绍与二重积分和三重积分相关的重要公式 和定理。
课程思考题解析
解析本章课程思考题,并提供答案和解析。
《高数下第八章》PPT课 件
本PPT课件将详细介绍《高数下》第八章的内容,涵盖二重积分、三重积分, 以及不同坐标系下的应用。欢迎同学们认真学习和实践。
第一节:二重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。ห้องสมุดไป่ตู้
3
定义
二重积分是对二元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
应用举例
用于计算平面图形的面积、质心坐标 等。
相关应用
用于计算极坐标图形的面积、 质心坐标等。
第四节:三重积分在柱面坐标下的应 用
1 柱面坐标系
柱面坐标系将点的位置与柱坐标和极角两个数值联系起来。
2 柱面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为柱面坐标下的计算。
3 相关应用
用于计算柱面坐标图形的体积、质心坐标等。
第五节:三重积分在球面坐标下的应用
第二节:三重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。
3
定义
三重积分是对三元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。

高二下学期数学第九章复习(3)

高二下学期数学第九章复习(3)

高二下学期数学第九章复习(3)高二下学期数学第九章复习〔3〕空间向量的〔坐标 〕运算〔1〕一、知识要点:1.向量定义: ;相等向量: ; 共线〔平行〕向量: ;共面向量: ; 2.向量加法与数乘向量的差不多性质:〔1〕a b b a +=+ 〔2〕()()a b c a b c ++=++ 〔3〕()a b a b λλλ+=+. 3.空间向量数量积:〔1〕要紧性质:①||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>〔能够用来求角〕; ②0a b a b ⊥⇔⋅=〔能够用来证明线线垂直〕; ③2||a a a =⋅〔能够用来求线段长〕. 〔2〕运算律:①()()a b a b λλ⋅=⋅; ②a b b a ⋅=⋅; ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅.4.共线向量定理: ;空间直线的向量参数方程:OP OA ta =+或(1)OP OA t AB t OA tOB =+⋅=-+〔其中l 过点A ,P 在直线l 上,O 为空间任意一点,a 是l 的方向向量AB a =〕由此判定,,P A B 三点共线⇔ .5.共面向量定理: ; 据此判定,,,P A B C 四点共面⇔ . 6.空间向量差不多定理: ; 专门地,假设基底为单位正交基底〔常用,,i j k 表示〕,那么能够建立空间直角坐标系。

7.空间直角坐标系〔右手直角坐标系〕:假设123a a i a j a k =++,那么123(,,)a a a a = 8.空间向量的坐标运算:123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,那么a b += ;a b -= ;a λ= ;a b ⋅= ;//a b ⇔ ;a b ⊥⇔ ;假设111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,那么212121(,,)AB x x y y z z =---. 9.夹角和距离公式:〔1〕夹角公式:123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,那么||a = ;HG ODCBA||b = ;a b ⋅= ;cos ,a b <>= ;〔2〕两点间距离公式:111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,那么AB d = ;〔3〕向量与平面垂直的意义:假设表示a 的有向线段AB 所在直线垂直于平面α,那么称那个向量垂直于平面α,记为:a α⊥,现在a 叫做平面α的法向量.二、例题分析:例1.12,e e 不平行,122AB e e =+,12332BC e e =+,1224BD e e =+,试判定:,,,A B C D 四点共面吗?并证明你的结论. 提示:⑴能够求得23AB BC =,⑵,,,A B C D 四点共线,从而共面.例2.空间四边形OABC 中,,G H 分不是ABC ∆,OBC ∆的重心,设OA a =,OB b =,OC c =,⑴试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH ;⑵证明://GH 平面OAB .答案:⑴()13OG a b c =++,13GH a =-;例3.如图在正方体1AC 中,,,M N F 分不是棱11,,AA BB BC 的中点,⑴求证:11D N B F ⊥;⑵求直线CM 与1D N 所成角的余弦值; ⑶求直线1B M 与1D N 所成角的正弦值.答案:⑵1cos 9θ=;⑶sin 5θ=.AB C DA1B1C1D1MNFABC三、课后练习: 班级 学号 姓名1.在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为AC 与BD 的交点,假设11A B a =,11A D b =,1A A c =,那么1B M =()12c b a +-. 2.设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ,那么AB 的中点M 到C 点的距离||CM = 〔 C 〕()A ()B 532()C ()D 3.假设(4,1,5),(4,1,5)M AB -=-,那么 〔 D 〕()A M 与A 重合 ()B M 与B 重合 ()C M 在AB 上 ()D OM AB =4.假设0a b c ++=且||3,||1,||4a b c ===,那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=13-. 5.(1,2,1),(4,2,3),(6,1,4)A B C --,那么ABC ∆的形状是锐角三角形,ABC S ∆=6.||22p =||3q =,,4p q π<>=,求52a p q =+,3b p q =-为边的平行四边形的对角线的长.答案:15,7.:(,4,1)a x =,(2,,1)b y =--,(3,2,)c z =-,//a b ,b c ⊥,求:⑴,,a b c ;⑵()a c +与()b c +所成角的余弦值. 答案:⑴()()()2,4,1,2,4,1,3,2,2a b c ==---=-,⑵ 219-8.在Rt ABC ∆中90,30,1ACB BAC BC ∠=∠==,现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ∆的位置,1AA =M 是1CC 的中点,⑴求异面直线1AB 与1A M 所成角;⑵假设P 是1A M 中点,Q 是1AB 中点,求线段PQ 的长.答案:⑴90;⑵4。

大学高等数学第二册复习资料

大学高等数学第二册复习资料

第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容 (一)微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间,再小区间[]dx x x +,。

求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =,从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。

(二)平面图形的面积1.由平面曲线()x f y =,直线a x =,b x =和0=y 所围图形的面积:()dxx f A b a⎰=。

2.由平面曲线()x f y 1=,()x f y 2=和直线a x =,b x =所转图形的面积:()()⎰-=b adxx f x f A 21。

3.由极坐标曲线()θγγ=, αθ=、βθ=转的图形的面积:()⎰=βαθθγd A 221。

4.由参数方程()t x x =,()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==,()()βx b x ==,0=y 所围图形的面积:()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。

(三)体积1.由曲线()x f y =和直线a x =,b x =,0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积:()⎰+=ba x dxx f V 2π。

2.由曲线()y x x =和直线c y =,d y =,0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积:()⎰=dc y dyy x V 2π。

3.垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积:()⎰=ba dxx A V 。

(四)平面曲线的弧长1.直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0:()[]⎰'+=b adxx f L 21。

2.参数方程曲线()t x x =,()t y y =,βα≤≤t :()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。

3.极坐标曲线()θγγ=,βθα≤≤:()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。

(五)定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量,积分区间,求出所求量的微元,利用微元法求解。

高中第二册(下A)数学第九章 综合复习

高中第二册(下A)数学第九章 综合复习

第九章综合复习●教学目标(一)教学知识点1.高中数学中的主要数学思想.2.化归与类比思想在立体几何中的应用.3.分类讨论思想在立体几何中的应用.4.整体思想在立体几何中的应用.5.函数思想和方程思想在立体几何中的应用.(二)能力训练要求1.使学生能够体会各种数学思想在解题中的作用.2.使学生深刻领悟化归与类比思想在立体几何中的应用.3.使学生深刻领悟分类讨论思想在立体几何中的应用.4.使学生深刻领悟整体思想在立体几何中的应用.5.使学生深刻领悟函数思想和方程思想在立体几何中的作用.(三)德育渗透目标1.继续体验事物与事物之间的普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点.2.培养学生用运动变化的辩证唯物主义观点分析、解决问题.●教学重点体验各种数学思想在解题中的应用.●教学难点怎样以数学思想为指导,准确选用数学方法解决具体问题.●教学方法启发引导式通过例题的分析,启发学生体验各种数学思想在解题中的重要作用,引导学生去意识只有正确的数学思想作指导,才能选择出恰当具体的数学方法于解题中.●教具准备投影片四X.第一X:化归与类比思想的应用(记作A)第二X:分类讨论思想的应用(记作B)第三X:整体思想在解题中的应用(记作C)第四X:函数思想与方程思想的应用(记作D)●教学过程Ⅰ.复习回顾[师]数学思想是数学知识在更高层次上的概括,它蕴含在每一个数学问题的发生、发展和应用的过程中,这节课,我们来讨论数学思想在立体几何问题中的体现.Ⅱ.讲授新课[师]在前面的学习中,我们经常提到的数学思想有哪些呢?[生]化归与类比的思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体性思想、函数与方程思想.[师]下面,我们一起体会以上数学思想在解决立体几何问题中的应用.分析:由于△ABC 的重心在中线AO 上,而AO 、DM 在同一平面内,所以可将问题转化成平面AMPD 的问题.证明:如图,连结PM 、AD ,并设AO ∵对角面AMPD 是平行四边形, ∴PM =DA .∵△OMG ∽△ADG , ∴OG ∶AG =OM ∶AD =1∶2.∵AO 是△ABC 的边BC 的中线,且AG ∶GO =2∶1,∴点G 是△ABC 的重心.[师]本题是将有关元素化归到辅助平面AMPD 中,再利用平面几何的方法解决的,这是3△ABC 如果能注意到只有棱AC 的长为6,其他棱长都是5,就可以过AC 的中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥,使问题转化为求小三棱锥的体积.解:取AC 的中点D ,则直线AC ⊥平面PBO ,于是有 V P —ABC =V A —PBD +V C —PBD =31AD ·S △PBD +31CD ·S △PBD =31(AD +CD )·S △PBD =31×6·S △PBD =2S △PBD . ∵PB =5,BD =PD =4,∴S △PBD =4395,∴V P —ABC =2395. [师]以上这种通过分割几何体使问题由未知转化成已知的方法在求几何体的面积、体积等计算题中常常用到.下面,体会分类讨论思想在立体几何中的应用.(打出投影片B )解:(1)当AB ⊥l 时,显然α+β=90°.(2)当AB 与l 不垂直时,在平面P 内作AC ⊥l ,C 为垂足,连结BC . ∵平面P ⊥平面Q , ∴AC ⊥平面Q .∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角, 即∠ABC =β.在平面Q 内作BD ⊥l ,垂足为D ,连结AD , 同理得∠BAD =α.在Rt △BDA 和Rt △ACB 中,BD <BC . ∴AB BD <ABBC ,即sin α<sin BAC . ∵α与∠BAC 均为锐角, ∴α<∠BAC .而∠BAC +β=90°,∴α+β<90°. (3)若AB 与l 重合时,α+β=0°. 综上可得0°≤α+β≤90°.[师]由于几何问题中各元素的位置关系不定,对于所有可能的情况,必须分开一一进行研究.组对棱相等,可联想到长方体对面不平行的对角线也具有这种性质,从而将此三棱锥补成一个长方体.解:可将如图(1)的三棱锥补成图(2)的长方体,设AD =a ,DB =b ,DC =c . ∴a 2+b 2=152,b 2+c 2=132,a 2+c 2=142.(1)PABC(2)解得a =126,b =99,c =70.又∵V P —ABC =V AFPG —DBEC -4V A —BCD =abc -4·31·21abc =31abc =4255.[师]以上题目让我们体会到通过利用整体思想将三棱锥补成一个长方体,从而使问题简便快捷地得到解决.另外,函数思想和方程思想在立体几何中也起着非常重要的作用,一起来体会两个例题.解:∵PA ⊥平面ABC ,∴AD 是PD 在平面ABC 内的射影. 又∵AD ⊥BC ,即BD ⊥AD , ∴BD ⊥PD .在Rt △PDB 和Rt △PDC 中,θ=∠BPD -∠CPD .∵tan BPD =x 2,tan CPD =x1,∴tan θ=tan(∠BPD -∠CPD )=x x x x 12112⋅+-=22+x x(x >1).∴tanθ=xx 21+≤221=42. 当且仅当x =x2,即x =2时“=”成立. ∴tan θ的最大值为42.解:如图,在四面体S —ABC 中,BC =x ,其余棱长都为1,取BC 中点为D ,连结AD ,则AD ⊥BC ,且AD 平分∠BAC ,∴S △BAC =21BC ·AD =21x ·2)2(1x -=41x ·24x -.设点O 为S 在平面ABC 上的射影,则OA =OB =OC ,过O 作OE ⊥AB 交AB 于点E ,连结SE ,则SE ⊥AB ,∴△AOE ∽△ABD .∴ADAEBD OE =, 即2)2(1212xx OE -=. ∴OE =242xx-.∴SO =22OE SE -=)4(4)23(222x x --=2243x x -- ∴V S —ABC =31S △ABC ·OS =F (x ).∴F (x )=31·244x x -·2243xx -- =12x·23x - (0<x <3) =12x 423x x -=12122)23(49--x . ∴当x 2=23,即x =26时,F (x )m a x =121·23=81; 当0<x ≤26时,F (x )单调递增; 当26≤x <3时,F (x )单调递减. [师]以上两例中选取变元,构造函数关系去解决问题,这是运用函数思想的较高层次,需要同学们在平时的学习中多加训练并注意不断积累,才能做到得心应手.Ⅲ.课堂练习1.长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,则这个长方体的一条对角线长是多少? 解:设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,对角线长为d ,则⎩⎨⎧=++=++.24)(4,11)(2c b a ac bc ab 由②得a +b +c =6,∴对角线d =222c b a ++ =)(2)(2ac bc ab c b a ++-++.① ②∴d =1136 =5.2.球面上四点P 、A 、B 、C ,且PA 、PB 、PC 两两垂直,PA =PB =PC =a ,求球的半径是 多少?解:以PA 、PB 、PC 为棱补成一个正方体,则这个正方体就是球的内接正方体. ∴正方体的对角线是球的直径.设球的半径为R ,则2R =3a . ∴R =23a . Ⅳ.课时小结1.化归与类比思想:在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题变为简单问题,将难解问题变为容易求解的问题,将未解的问题转化为已解决的问题.2.分类讨论思想:一种培养思维品质的条理性和概括性的数学思想方法.引起分类的因素有:概念、公式、性质、定理、参数变化、等价变换过程、几何图形不确定性等.3.整体思想:通过研究问题的整体形式、整体结构,并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法.4.函数思想和方程思想:函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想是从问题的数量关系分析入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,再通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.Ⅴ.课后作业三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O ,且P 到三个平面的距离分别为3、4、5,求OP 的长.答案:52.“空间问题平面化思想”的教学将空间问题平面化,是立体几何中常常用到的一种化归与类比思想,在教学中必须重视这种思想的渗透.1.在知识形成过程中的渗透(1)空间图形的斜二测画法是将空间图形的问题转化为它的直观图这一平面图形的问题. (2)两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是将这些空间角转化为平面角.(3)棱柱、棱锥的侧面积公式的推导过程是将它们展平,从而使空间曲面的面积转化为平面图形的面积.(4)三垂线定理是判定平面的斜线和该平面内直线垂直的一种重要方法.定理的应用过程就是将平面的斜线和该平面内直线垂直的这一空间问题转化为平面内直线与该斜线在平面内的射影垂直的问题.2.在分析问题解决问题中的渗透[例题]在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB、C1D1的中点,则A1B1与截面A1ECF 所成的角是多少?分析:连结A1C、B1C,则面A1B1C⊥面A1ECF,∴A1B1在平面A1ECF内的射影为A1C,∠B1A1C为所求角.1A解:设正方体棱长为a,则B1C=2a,A1C=3a.∵sin B1A1C=aa32=36,∴所求角的大小为arcsin36.评述:在求线面所成的角时,找出该直线在平面内的射影是问题的关键.。

高等数学下 第2版

高等数学下 第2版

同理可算得余弦函数的拉氏变换
s L[cos t ] 2 s 2
二 两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t )
0 t 0 单位阶梯函数 I (t ) 的图像如下页左图所示, 1 t 0
1 由例1知,它的拉氏变换 L[ I (t )] ,将 I (t ) 的图像向右 s 0 t a 平移 a 个单位,即得 I (t a) 1 t a
F (s) e
0 st
sin tdt

0
1

e st d cos t 1 s s (



0

1 s2
1
s
e
st
cos tdt
0
e st sin tdt )
由此可得

2
F (s)
F ( s) 2 s 2
例4 求狄拉克函数 (t a) 的拉氏变换。
s 解:由 L[ (t )] 1 及 L[ f (t )] e F (s) 可得:
L[ (t a)] eas L[ (t )] eas
同理可得:
e as L[ I (t a)] s
e as L[sin(t a)] 1 s2
设 a b ,则
0 t a或t b I (t a) I (t b) at b 1
其图像如下页右图所示。
y
y
1
1
0
x
0
a
b
x
2. 狄拉克函数
定义:设
0 1 (t ) 0 t0 0t t
当 0 时,函数序列 的极限 (t ) lim (t ) 称为 0 狄拉克函数或单位脉冲函数,记为 函数。
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两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2

n1 n2
n1 n2 1
2019/9/6
23
特别有下列结论:
n2
(1) 1 2
( ax , ay , az ),
b
(bx
,by ,bz ),

为实数,则
定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
平当行a向 量0 时对,应坐标成比例: bx by bz ax ay az
bx ax by ay
bz az
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模 : a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
a
i jk
ab ax ay az
bx by bz
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第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱 面 四、二次曲面
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定义1 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形,若
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主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节
多元函数的基本概念 偏导数 全微分 多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
第六节 多元微分学的几何应用
第七节 方向导数与梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
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第一节 多元函数的基本概念
定义1 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
z
消去 z 得投影柱面
C
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
y
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x 19
C
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向

求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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关系图: 函数连续
函数可偏导
函数可微
偏导数连续
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第四节 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性
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一、多元复合函数的求导法则
定理 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
z f (u,v) z
uv tt
则称 A 为函数
记作 lim f (P) A
PP0
定义3 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚点P0 D ,
如果存在
lim
PP0
f (P)

f (P0 )
则称 n 元函数 f (P) 在点P0 连续。如果函数在 D 上
2各019/9点/6 处都连续, 则称此函数在 D 上连续.
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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例1 椭球面
x2 a2

y2 b2
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3
1. 空间直角坐标系
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点

z z 轴(竖轴)

• 坐标轴

• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)

yoz面

o xoy面
y

y轴(Ⅵ纵轴)
点 M 11 有序数组
11 向径
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若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数 记为
z , y
f , y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
注: 初等函数的偏导数为初等函数 ,故在其定义区域内 是连续的 ,因此求初等函数的高阶导数可选择方便的 求导顺序.
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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第三节 全微分
一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习
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G(x, y, zS) 2 0
L
S1
F(x, y, z) 0
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
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称它为空间曲线的参数方程.
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三、曲面的参数方程
一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
四、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
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f yx (x, y);
y
(
z y
)

2 y
z
2

f y y (x, y)
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定理 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则 f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
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空间直线方程
一般式

A1x A2 x

B1 B2
y y

C1z C2 z

D1 D2
0 0
对称式
参数式

x y

x0 y0
mt nt
z z0 p t
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第九章 多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
y x
特别地,当a = b时
x2 y2 a2z
为绕 z 轴的旋转抛物面.
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第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程 四、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
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4、向量的模
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 有
例: 单位向量
z R
o P
x
M Q y
N
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第二节 数量积 向量积
1、两向量的数量积 2、两向量的向量积
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1. 数量积的坐标表示
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
中间变量是多元函数的情形,如
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x

f u

u x

f v

v x
z
uv
z f u f v y u y v y
z x

fx (x, y) ,
z y

f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) 2z y x xy
a b axbx ayby azbz
2. 两向量夹角的余弦的坐标表示
当 为非零向量时,
cos

ab
ax2

a
2 y

az2
bx2 by2 bz2
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3. 向量积的定义
设 a , b的夹角为 ,定义
向量 方向 : c a , c b 且符合右手规则

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围:
(2)与坐标面的交线:椭圆
x2 a2

y2 b2
1,
z 0
y2 b2

z2 c2
1,
x 0
x2 a2

z2 c2
1
y 0
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例2 椭圆抛物面
z
x2 y2 z a2 b2
(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
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