北师大版 数学归纳法 课时 检测
高中数学 1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2
§4 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项1k ＋B ．增加了两项12k ＋1，1k ＋C ．增加了两项12k ＋1，1k ＋，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项1k ＋，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立 一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝1k ＋.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解 由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋3k ＋>k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋，由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。
北师大数学选修45达标检测：第二章 §3 31 数学归纳法 含解析
[A 基础达标]1.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4解析：选C.当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项， ∴左边所得的代数式为1＋2＋3.2.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n ·(n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.边数最少的凸n 边形是三角形．3.用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A ．2k －2B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选D.等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”中， 当n ＝k 时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)，当n ＝k ＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)，∴从k 到k ＋1左边需增加的代数式为2k ＋1.4.用数学归纳法证明：“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当n ＝k 时命题成立，那么下一步应证明n ＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.∴n ＝k ＋2. 答案：k ＋2[B 能力提升]5.用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2< k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：选D.从k 到k ＋1的推理过程中未使用归纳假设，证明方法错误．6.用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3，且展开式中除k 3以外的各项和也能被3整除．7.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．32π解析：选B.n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π. 8.某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：选B.由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立，故选B.9.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1（n －1）（n ＋1） B ．12n （2n ＋1）C.1（2n －1）（2n ＋1） D ．1（2n ＋1）（2n ＋2）解析：选C.∵a 1＝13，由S n ＝n (2n －1)a n ，得a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2，解得a 2＝115＝13×5，a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3， 解得a 3＝135＝15×7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4， 解得a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.10.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”， ∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－111.用数学归纳法证明12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝1sin α·sin 2n ＋12α·cos2n －12α(α≠n π，n ∈N )，在验证n ＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．解析：由等式的特点知：当n ＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n －1)α，故左边计算所得的项是12＋cos α.答案：12＋cos α12.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n ·(3n ＋1)＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．证明：(1)n ＝1时，左边＝1×(3×1＋1)＝4，右边＝1×(1＋1)2＝4，左边＝右边． (2)假设n ＝k (n ∈N ＋)时，命题成立，即： 1×4＋2×7＋…＋k ·(3k ＋1)＝k ·(k ＋1)2当n ＝k ＋1时，左边＝1×4＋…＋k ·(3k ＋1)＋(k ＋1)·(3k ＋4) ＝k ·(k ＋1)2＋(k ＋1)·(3k ＋4) ＝(k ＋1)[k (k ＋1)＋3k ＋4] ＝(k ＋1)·(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)·(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知：对n ∈N ＋，1×4＋2×7＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.13.设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，试推测出a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：∵S 1＝a 1，∴a 1＝12(a 1＋1a 1)，解得正数a 1＝1； ∵a 1＋a 2＝S 2＝12(a 2＋1a 2)，∴2＋a 2＝1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0， 解得a 2＝2－1；∵S 2＋a 3＝S 3，即2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)，∴a 23＋22a 3－1＝0， 解得a 3＝3－ 2.观察a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2， 猜想a n ＝n －n －1.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，由以上知猜想式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，猜想式成立， 即a k ＝k －k －1.由S k ＋a k ＋1＝S k ＋1，有12(a k ＋1a k )＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)， 即12(k －k －1＋1k －k －1)＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)．亦即2k＋a k＋1＝1，a k＋1a2k＋1＋2k·a k＋1－1＝0，解得正数a k＋1＝k＋1－k即当n＝k＋1时，猜想式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意自然数猜想式a n＝n－n－1成立．。
北师大版数学高二4 数学归纳法 课时跟踪检测
课时跟踪检测（四） 数学归纳法一、基本能力达标1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D 要注意末项与首项，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.2．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析：选C n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n 22n >n 2. 3．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n ＞2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对解析：选B 由n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋2时命题也成立，又n ＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：选C 当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1.5．对于不等式 n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即 k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：选D 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的归纳假设，故选D.6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)，推证当n ＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)，故只需证明k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可．答案：k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：由a n >0，得S n >0， 由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1， 整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1， 得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1， 整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立． 二、综合能力提升1．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：选B 因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n∈N*，等式成立．上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设5．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.照此规律下去：(1)写出第五个等式；(2)你能作出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．解：(1)第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，用数学归纳法证明如下：①当n＝1时显然成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝4k 2＋1－5k ＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝4k 2＋4k ＋1＝[2(k ＋1)－1]2，而右边＝[2(k ＋1)－1]2，这就是说n ＝k ＋1时等式也成立． 根据①②知，等式对任何n ∈N *都成立．6．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22. ∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a3＝3222. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：a n＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，n2(n －1)2(n ≥2).下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1)2.∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2.这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n＝n2(n －1)2.∴这个数列的通项公式为a n＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，n2(n －1)2(n ≥2).。
北师大版高中数学选修1-2：归纳与类比 课时作业
归纳与类比课时作业第一课时A级基础巩固一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33 D．27[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9，12…故x＝20＋12＝32.2．下列关于归纳推理的说法错误的是(A)①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③D．③④[解析]归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是(B)A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是(A)A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．5．(山东高考)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[解析] 通过观察所给的结论可知，若f (x )为偶函数，则导数g (x )是奇函数．故选D ． 6．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( D )①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列{a n }的递推关系是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)． A ．①②④ B ．①③④ C ．①②D ．①④[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D ．二、填空题7．经计算发现下列正确不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a 、b 成立的条件不等式：__当a[解析] 各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20. 三、解答题 8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出S 1、S 2、S 3、S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1、2、3、4，可以求得S 1、S 2、S 3、S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝12；S 2＝11×2＋12×3＝12＋16＝46＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝23＋112＝912＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝34＋120＝1620＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．B 级 素养提升一、选择题1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如下图)，则第n 个正方形数是( C ) A ．n (n －1) B ．n (n ＋1) C ．n 2D ．(n ＋1)2[解析] 第n 个正方形数的数目点可排成每边都有n 个点的正方形，故为n 2. 2．将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：根据以上规律判定，从2 013到2 015的箭头方向是( B )[解析] 本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化．∵2 013＝4×503＋1，∴2 013的起始位置应与1的起始位置相同，故选B ． 3．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( A ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6[解析] a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6， a 6＝a 5－a 4＝－6－(－3)＝－3， a 7＝a 6－a 5＝－3－(－6)＝3， a 8＝a 7－a 6＝6.归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a 33＝a 6×5＋3＝a 3＝3，故应选A ． 4．如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )[解析] 由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转144°得到的，故由第三个图形顺时针旋转144°得到的图形应为A ．二、填空题5．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形中不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形中1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式：__1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π. [解析] 不等式的左边是n 个内角倒数的和，右边分子是n 2，分母是(n －2)π，故在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π成立．6．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆有4个，第(3)堆有10个…，则第n 堆有__16n (n ＋1)(n ＋2) 个小正方体．[解析] 第一堆有1个；第二堆有1＋(1＋2)＝4个；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个；…；第n 堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋…＋n )＝16n (n ＋1)(n ＋2)个．三、解答题 7．由下列各式： 1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋14＋…＋115>2， 请你归纳出一般结论．[解析] 将题中所给四个式子变形121－1>12，1＋12＋122－1>22， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋123－1>32， 1＋12＋13＋14＋…＋124－1>42， 归纳概括，猜测得1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n >4时，求f (n )(用n 表示)． [解析] (1)如图所示，可得f (4)＝5.(2)∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3， f (5)＝9＝f (4)＋4， f (6)＝14＝f (5)＋5. ……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n ＋1S n ＋2＝S n －S n －1.∴1S n＋S n －1＋2＝0. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)．第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( C )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各面都是全等的正三角形，任意相邻的两个面所成的二面角都相等； ③各面都是全等的正三角形． A ．① B ．①② C ．①②③D ．③2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．下列类比推理恰当的是(D)A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b nD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[解析]选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误．二、填空题4．观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为__4n＋4__.[解析]由已知四个式子可分析规律(n＋2)2－n2＝4n＋4.5．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：__夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等__.6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为__a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9__.[解析]等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.7．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为__S2△ABC＝S ·S△DBC__.△OBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．三、解答题8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并判断类比的结论是否成立；(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．[解析]平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．B 级 素养提升一、选择题1．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在▱ABCD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( C )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21)B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21)D ．4(AB 2＋AD 2)[解析] 如图所示，四边形AA 1C 1C 和BB 1D 1D 也都是平行四边形，从而有AC 21＋CA 21＝2(AC 2＋AA 21)，BD 21＋DB 21＝2(BD 2＋BB 21)，所以AC 21＋CA 21＋BD 21＋DB 21＝2(AC 2＋BD 2)＋4AA 21 ＝4(AB 2＋AD 2＋AA 21)．2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( A )A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， ∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2－ac ＝0，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A ． 二、填空题3．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝__b 2n －1n__. [解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .所以类比可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝b 2n －1n. 4．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝__πab __.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为__x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1 .[解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 5．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是S __S 2＝S 21＋S 22＋S 23__.[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ， ∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ， ∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ， ∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.三、解答题 6．点P ⎝⎛⎭⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝⎛⎭⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．7．我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式． [解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，其中，这个常数叫作公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数 .当n 为偶数时，前n 项和S n ＝5n2；当n 为奇数时，前n 项和S n ＝5(n －1)2＋2＝5n －12. 即S n＝⎩⎨⎧ 5n 2，n 为偶数，5n －12，n 为奇数. 8．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2； 第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ； 第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋…＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m . 上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *. 9．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程．[解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得 S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
北师大版数学高二选修2-2测评6 数学归纳法
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( )A.n ＝1B.n ＝2C.n ＝3D.n ＝4【解析】 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立.【答案】 C2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A.f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B.f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C.f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D.f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14【解析】 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.【答案】 D3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )【导学号：94210025】A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2【解析】 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.【答案】 D4.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A.若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B.若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C.若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D.若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立【解析】 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立.”【答案】 D5.已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立.判断以上评述( )A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确【解析】 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】 B二、填空题6.若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________.【解析】 ∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27.用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________.【解析】 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋3. 【答案】 122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2>12－1k ＋38.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________.【解析】 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋).【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立.10.用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1). 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k 2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立. 由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A.假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B.假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确【解析】 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确.故选B.【答案】 B2.对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）2＋（k＋1）＝k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()【导学号：94210026】A.过程全都正确B.n＝1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.【答案】 D3.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k ＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。
高中数学选修2-2 北师大版 数学归纳法 第二课时 课时检测(含答案)
04课后课时精练1. [2014·深圳高二检测]用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：n 0＝1时，21>12＋1不成立，n 0＝2时，22>22＋1不成立．依次验证，得n 0＝5时，25>52＋1成立，∴n 0取5.答案：C2. 设f (n )＝1＋12＋…＋1n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A. 1n B. 1n －1n ＋1C. 1n －1n －1D. 1n ＋1解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋…＋1n ＋1n ＋1，f (n )＝1＋12＋…＋1n ，∴f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1.答案：D3. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A. 增加12(k ＋1)B. 增加12k ＋1＋12(k ＋1)C. 增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D. 增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1. 答案：C4. [2014·三明高二检测]利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A. 1项B. k 项C. 2k －1项D. 2 k 项解析：∵f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1.∴增加了2k 项．答案：D5. 某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )A. 当n ＝4时命题不成立B. 当n ＝6时命题不成立。
2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：2.3.2 数学归纳法的应用 Word版含解析
3.2数学归纳法的应用课后篇巩固探究A组1.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+x解析:由贝努利不等式可得D项正确.答案:D2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时有<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.答案:A4.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.答案:+…+5.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.答案:x+≥n+1(n为正整数)6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案:7.用数学归纳法证明不等式1++…+<2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1++…+<2.则当n=k+1时,1++…+<2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.8.导学号35664046已知数列{a n}满足:a1=,且a n=---(n≥2,n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…a n<2n!恒成立.(1)解将条件变为1----,因此数列-为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得a n=-(n≥1,n∈N+).①(2)证明由①得a1a2…a n=---.为证明a1a2…a n<2n!,只要证明当n∈N+时,有--×…×-.②显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有--×…×-≥1-.③下面用数学归纳法证明③式:(ⅰ)当n=1时,显然③式成立,(ⅱ)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,即--×…×-≥1-,则当n=k+1时,--×…×--≥--=1-≥1-.即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n∈N+,③式都成立.利用③,得--×…×-≥1-=1---=1--.故原不等式成立.B组1.用数学归纳法证明+…+-(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析:当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B2.已知a1=1,a n+1>a n,且(a n+1-a n)2-2(a n+1+a n)+1=0,先计算a2,a3,再猜想a n等于()A.nB.n2C.n3D.答案:B<n(n∈N+,且n>1),第一步要证的不等式3.用数学归纳法证明1++…+-是.=1+,右边=2,故填1+<2.解析:当n=2时,左边=1+-答案:1+<24.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=a n+na n-1b,则M,N的大小关系为. 提示利用贝努利不等式令解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,则>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>a n+na n-1b.当n=1时,M=N.故M≥N.答案:M≥N5.导学号35664047已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=-1,且a n>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3,并猜想{a n}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,即+2a1-2=0.∴a1=-1或a1=--1(舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.∴a2=或a2=-(舍去).同理可得a3=.由a1,a2,a3,猜想a n=-(n∈N+).(2)证明①由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.②假设当n=k(k>3,k∈N+)时,通项公式成立,即a k=-.则当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=,将a k=-代入上式并整理得+2a k+1-2=0,解得a k+1=或a k+1=-(舍去).即当n=k+1时,通项公式也成立.由①②可知,对所有n∈N+,a n=-都成立.6.导学号35664048设数列{a n}满足a1=0,a n+1=c+1-c,n∈N+,其中c为实数. (1)证明:a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];(2)设0<c<,证明:a n≥1-(3c)n-1,n∈N+.证明(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明a n∈[0,1].当n=1时,a1=0∈[0,1].假设a k∈[0,1](k∈N+,k≥1),则a k+1=c+1-c≤c+1-c=1,且a k+1=c+1-c≥1-c≥0,故a k+1∈[0,1].由数学归纳法,知a n∈[0,1]对所有的n∈N+成立.综上可得,a n∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1].(2)设0<c<,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,∵a n=c-+1-c,∴1-a n=c(1--)=c(1-a n-1)(1+a n-1+-).∵0<c<,由(1)知a n-1∈[0,1],∴1+a n-1+-≤3,且1-a n-1≥0.∴1-a n≤3c(1-a n-1).∴1-a n≤3c(1-a n-1)≤(3c)2(1-a n-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.∴a n≥1-(3c)n-1(n∈N+).。
数学北师大版选修4-5检测：2.3.1 数学归纳法
§3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法课后篇巩固探究A组1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.答案:C2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1且为奇数)时命题为真,则还需证明()A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立解析:因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立,又k的下一个奇数是k+2,故选B.答案:B3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n 2+1)时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)[2(k+1)2+1]解析:当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.答案:B4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时,命题成立,即3(2+7k)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除,即当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.答案:D5.用数学归纳法证明:1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步应验证的等式是.解析:当n=1时,等式的左边为1-12=12,右边=12,所以左边=右边.答案:1-12=126.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为. 解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n)+n-17.若s(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),则s(5)-s(4)=.解析:依题意,s(5)=1+12+13+…+114,s(4)=1+12+13+…+111,于是s(5)-s(4)=112+113+114.答案:112+113+1148.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,结论成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,结论成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).因为3k-1-1(k∈N+,k≥2)是2的倍数,所以18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时,结论也成立.根据(1)和(2),可知对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.9.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2(n∈N+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×1×(1+1)2=1,左边=右边,等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·k(k+1)2.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·k(k+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k (k+1)·[(k +1)-k 2]=(-1)k ·(k+1)[(k+1)+1]2. 因此当n=k+1时,等式也成立,根据(1)(2)可知,对于任何n ∈N +等式成立.10.导学号35664042已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2+2a n =4S n .(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.解(1)当n=1时,a 12+2a 1=4S 1,即a 12+2a 1=4a 1,即a 12-2a 1=0,解得a 1=2(a 1=0舍去);当n=2时,a 22+2a 2=4S 2,即a 22+2a 2=4(2+a 2),即a 22-2a 2-8=0,解得a 2=4(a 2=-2舍去);当n=3时,a 32+2a 3=4S 3,即a 32+2a 3=4(2+4+a 3),即a 32-2a 3-24=0,解得a 3=6(a 3=-4舍去);当n=4时,a 42+2a 4=4S 4,即a 42+2a 4=4(2+4+6+a 4),即a 42-2a 4-48=0,解得a 4=8(a 4=-6舍去).由以上结果猜想数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).(2)下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N +).①当n=1时,a 1=2,由(1)知,结论成立.②假设当n=k (k ∈N +)时,结论成立,即a k =2k ,这时有a k 2+2a k =4S k ,即S k =k 2+k.则当n=k+1时,a k+12+2a k+1=4S k+1,即a k+12+2a k+1=4(S k +a k+1),所以a k+12-2a k+1=4k 2+4k ,解得a k+1=2k+2=2(k+1)(a k+1=-2k 舍去).故当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,结论对任意n ∈N +都成立.B 组1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1(n ∈N +)”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23 解析:当n=1时,左边为1+2+22+23. 答案:D2.设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为f (k ),则f (k+1)与f (k )的关系是( )A.f (k+1)=f (k )+k+1B.f (k+1)=f (k )+k-1C.f (k+1)=f (k )+kD.f (k+1)=f (k )+k+2解析:当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l ,则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k ),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点).又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f (k )+k=f (k+1).答案:C3.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n (na-b )+c 对一切n ∈N +都成立,则a ,b ,c 的值为( )A.a=12,b=c=14B.a=b=c=14C.a=0,b=c=14D.不存在这样的a ,b ,c解析:由于该等式对一切n ∈N +都成立,不妨取n=1,2,3,则有{1=3(a -b )+c ,1+2×3=9(2a -b )+c ,1+2×3+3×32=27(3a -b )+c ,解得a=12,b=c=14.答案:A4.在数列{a n }中,a 1=13,且S n =n (2n-1)a n (n ∈N +),通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为 .解析:由a 1=13,S n =n (2n-1)a n 求得a 2=115=13×5,a 3=135=15×7,a 4=163=17×9. 猜想a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +).答案:a n =1(2n -1)(2n+1)(n ∈N +)5.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =3n-1+a n-1(n ≥2).(1)求a 2,a 3;(2)证明:a n =3n -1(n ∈N +). (1)解由a 1=1,得a 2=3+1=4,a 3=32+4=13.(2)证明①当n=1时,a 1=1=31-12.故命题成立.②假设当n=k (k ≥1)时命题成立,即a k =3k -12.那么当n=k+1时,a k+1=a k +3k =3k -12+3k=3k -1+2·3k 2=3k+1-12, 即当n=k+1时,命题也成立.由①②知,命题对n ∈N +都成立,即a n =3n -12(n ∈N +). 6.导学号35664043设a n =1+12+13+ (1)(n ∈N +),是否存在关于n 的整式g (n ),使得等式a 1+a 2+a 3+…+a n-1=g (n )·(a n -1)对大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论. 解假设g (n )存在,则当n=2时,a 1=g (2)(a 2-1),即1=g (2)(1+12-1),故g (2)=2.当n=3时,a 1+a 2=g (3)(a 3-1),即1+(1+12)=g (3)(1+12+13-1), 故g (3)=3.当n=4时,a 1+a 2+a 3=g (4)(a 4-1),即1+(1+12)+(1+12+13) =g (4)(1+12+13+14-1),故g (4)=4.由此猜想g (n )=n (n ≥2,n ∈N +).下面用数学归纳法证明当n ≥2,n ∈N +时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n (a n -1)成立.(1)当n=2时,a 1=1,g (2)(a 2-1)=2×(1+12-1)=1,结论成立.(2)假设当n=k (k ∈N +,k ≥2)时结论成立,即a 1+a 2+…+a k-1=k (a k -1)成立.那么当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k-1+a k =k (a k -1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1=(k+1)·(a k +1k+1-1)=(k+1)(a k+1-1),说明当n=k+1时,结论成立. 由(1)(2)可知,对一切大于1的自然数n ,存在g (n )=n ,使等式a 1+a 2+…+a n-1=g (n )(a n -1)成立.由Ruize收集整理。
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课时跟踪检测(四十一) 数学归纳法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明2n ＞2n ＋1，n 的第一个取值应是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n ＞2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n ＞2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n ＞2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.5．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．二保高考，全练题型做到高考达标1．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析：选B 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2.2．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C ．n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：选A假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k ＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案：2k＋17．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)28．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n－1)2＝a n S n，通过计算S1，S2，S3，猜想S n＝________.解析：由(S1－1)2＝S21得：S1＝1 2；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝2 3；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝3 4.猜想S n＝nn＋1.答案：n n＋19．(2016·安庆模拟)已知数列{a n}满足a1＝a＞2，a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)．(1)求证：对任意n∈N*，a n＞2；(2)判断数列{a n}的单调性，并说明你的理由．解：(1)证明：用数学归纳法证明a n＞2(n∈N*)．①当n＝1时，a1＝a＞2，结论成立；②假设n＝k(k≥1)时结论成立，即a k＞2，则n＝k＋1时，a k＋1＝a k＋2＞2＋2＝2，所以n＝k＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n∈N*，都有a n＞2成立．(2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .故{a n }是单调递减的数列．10．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标 为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝⎛⎭⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.答案：4 n 2－n ＋22．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立． 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－⎣⎡⎦⎤12k 2－1(k ＋1)3 ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．。