高三数学一轮复习 7-7数学归纳法课件 北师大版
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第5节 数学归纳法
+…+
+
3×5
(2-1)(2+1)
(2+1)(2+3)
+1
=
2+1 2
+
+1
2+3
+1
=
2+1
(+2)(2+1)
·
2(2+3)
=
=
(+1)
(+1)2
+
2(2+1)
(2+1)(2+3)
(+1)[(+1)+1]
,
2[2(+1)+1]
即当 n=k+1,时等式也成立.
由 f(3)=70 得 9a+3b+c=70,③
联立①②③,解得
(+1)
a=3,b=11,c=10.∴f(n)=
(3n2+11n+10)(n∈N+).
12
证明:当 n=1 时,显然等式成立;假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立,
即
(+1)
(+1)(+2)(3+5)
2
f(k)= 12 (3k +11k+10)=
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
考点三
归纳—猜想—证明
1
例3有一个关于正整数n的恒等式1×22+2×32+…+n(n+1)2= 12 n(n+1)(?),
其中问号处只能看出它是关于n的二次多项式,具体的系数看不清楚.请你
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：7.3 归纳与类比 .pdf
(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的
倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. ( × )
(5)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是
an=n(n∈N+). ( × ) (6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (
×)
知识梳理 考点自诊
-6-
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( C )
A.在数列{an}中,a1=1, 的通项公式
(n≥2),由此归纳数列{an}
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质
C.两直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线与
第三条直线形成的同旁内角,则∠A+∠B=180°
知识梳理 考点自诊
-4-
-5-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正
确. ( × ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理. ( × )
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对
考点4
思考形的归纳有几种?
-15-
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某 些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般 性命题(猜想).
2.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)与数字有关的等式的推理:观察数字的变化特点,找出等式左 右两侧的规律及符号可解. (2)与式子有关的归纳推理:
解析:由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数等于其 上一行两肩上的数字的乘积.
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
高三数学一轮复习 7-7数学归纳法 北师大版
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第六章 数列
(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
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第六章 数列
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
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第六章 数列
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
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第六章 数列
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第六章 数列
[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
2017届一轮复习北师大版 数学归纳法 课件
1 1 1 1 1 1 证明： 法一： ＋ ＋„＋S ＝ 2＋ 2＋„＋ 2 S1 S2 1 2 n n
1 1 1 1 1 1 > ＋ ＋„＋ ＝ 1－2 ＋ 2－3 1×2 2×3 nn＋1 1 1 1 n ＋„＋n－n＋1 ＝ 1 － ＝ . n＋ 1 n＋ 1
1 1 1 1 k 则当 n＝ k＋ 1 时， ＋ ＋ „ ＋ S ＋ > ＋ S1 S2 Sk＋1 k＋1 k
演练冲关
k＋1 1 k 1 1 ， 又 ＋ － ＝ 1 － ＋ 2 2 k ＋ 1 k ＋ 1 k ＋ 1 k ＋ 2 k ＋ 1 1 (2)求数列a 的前 n 项 1 1 1 k 1 n ＝ － 2－1＋ 2＝ k＋2 k＋2 k＋1 k＋2k＋12 1 1 k＋1 和 Sn ，并证明： ＋ S1 S2 >0， 1 n 1 1 1 1 k＋1 ＋„＋S > . ∴ ＋ ＋„＋S ＋ > ， n n＋ 1 S1 S 2 Sk＋1 k＋2 k ∴原不等式成立．
{an}各项均为正 数， 且满足 an＋1 ＝an－a2 n.
演练冲关
求证：对一切 n≥ 2 ， 都 有 1 an≤ . n＋ 2
2
4
等式成立， 假 设 当 n ＝ k(k≥2) 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 1 ak≤ ， k＋2
第七节
数学归纳法
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究
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考点二
应用数学归纳法证明不等式注意的两个问题
典题悟法
(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他 办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立， 推 证 n＝k＋1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采 用分析法、 综合法、 求差(求商)比较法、 放缩法等证明．
高三一轮复习6.7 数学归纳法
)
【解析】 当 n＝1 时，左边＝1＋2＋22，故选 C.
3．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋„＋(n＋n) n3n＋1 * ＝ ( n ∈ N )的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n 2 ＝k时的等式左边的差等于________．
答案
解析
3k＋2
n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k
答案 B
)
B．8 D．10
1 1－ n 1 1 1 2 127 解析 1＋ ＋ ＋„＋ n－1＝ > 2 4 1 64 2 1－ 2 整理得2n>128，解得n>7 ∴初始值至少应取8.
2.用数学归纳法证明 1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n 2－1(n∈N*)
＋ ＋
的过程中，在验证 n＝1 时，左端计算所得的式子应为( A．1 C．1＋2＋22 B．1＋2 D．1＋2＋21 6×8
＋„＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2] k 1 ＝ ＋ 4k＋1 4k＋1k＋2 kk＋2＋1 k＋12 ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋1 ＝ ， 4[k＋1＋1]
即n＝k＋1时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
5 1 1 1 1 > ＋( ＋ ＋ － ) 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 5 1 1 5 > ＋(3× － )＝ 6 3k＋3 k＋1 6 ∴当n＝k＋1时不等式亦成立． ∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
探究2
由n＝k到n＝k＋1时，要弄清命题的变化，
应用放缩技巧． 思考题2 1 (2009· 陕西理)已知数列{xn}满足x1＝ ，xn 2
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 7.6 数学归纳法
§7.6 数学归纳法数学归纳法证明某些与正整数n 有关的命题，它的基本步骤是： (1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开始的正整数n 都成立．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立． ( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． ( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 凸n 边形的边最少有三条，故第一个值n 0取3. 3．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案 答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案12n ＋1－12n ＋2解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n)＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2k解析 当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项.题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．思维启迪 证明时注意等式两边从n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化． 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n ∈N ＋等式成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N ＋，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1n ＋1.思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a 的范围，进而求a ； (2)利用数学归纳法证明．(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a 26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎨⎧f (12)≥18，f (14)≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)．于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N ＋，不等式a n <1n ＋1成立．思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52. ∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N ＋.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．思维启迪 通过计算a 1，a 2，a 3寻求规律猜想{a n }的通项公式，然后用数学归纳法证明． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N ＋，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．思维升华 (1)猜想{a n }的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2、a 3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解 ∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1，∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增． 于是由a 1≥1得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时结论成立，即a k ≥2k －1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.归纳—猜想—证明问题典例：(12分)设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．思维启迪 通过计算a 2，a 3，a 4观察规律猜想a n ，然后用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a . [2分] 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N ＋)．[4分] (2)证明 ①易知，n ＝1时，猜想正确．[6分] ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a ，[8分]则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．[11分] 由①②知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝a(n －1)＋a .[12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N ＋)成立．第三步：假设n ＝k (k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N ＋成立．温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 失误与防范1．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1；2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ∵n ＝1时，21＝1,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C3．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)答案 C解析 左边应增添的式子等于 (k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k ＋1)](k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)·…·(2k )＝2(2k ＋1)．4．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)答案 C解析 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).二、填空题6．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n 解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用 n 表示)．答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 三、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N ＋有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. 10．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n .求证：当n ∈N ＋时，a n <a n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1，则由a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立，根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N ＋都成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．下列代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )答案 D 解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k ∈N ＋成立．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N ＋)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝_____. 答案 2n －12n －1 解析 ∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32， a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 4．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N ＋. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3] ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立．5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24， 即2624>a 24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证得不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以a 的最大值等于25.。
高考数学北师大(理)一轮复习课件：7.5 数学归纳法
+
4)
(n∈N+)中,当n=1
时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等
式左边的项为:1+2+3+4,故选D.
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-5-
3.(2018河北武邑中学二调,7)用数学归纳法证明 1+12 + 13+…+2���1���-1<n(n∈N+,n>1)时,由n=k(k>1)时不等式成立,推证
考点1
考点2
考点3
-11-
解
(1)Sn=1+2+������…! +������
=
������ +1
2.
(������-1)!
(2)������2 = 2 , ������3 = 11 , ������4 = 7,
������2 3 ������3 6 ������4 2
2 3
=
4������
+
=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
=(k+1)
f(k+1)-������
1 +1
-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)
=(k+1)[f(k+1)-1],
∴当 n=k+1 时结论成立.
由(1)(2)可知,当 n≥2,n∈N+时,f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1].
n=k+1时,左边应增加的项数是( C )
A.2k-1 B.2k-1
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第六章 数列
6．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，1＋2＋22＋23 ＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________， 从k到k＋1时需添加的项是__________．
[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3 ＋25k＋4
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[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若 n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题 也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝ k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C.
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2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x ＋y整除”，第二步归纳假设应该写成( )
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A．假设当n＝k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 [答案] D
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第六章 数列
[解析] ①显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能 被x＋y整除
第六章 数列
4．欲用数学归纳法证明2n＞n2，n的第一个取值应是
()
A．1
B．2
C．5
D．6
[答案] C
[解析] ∵21＞12,22＝22,23＜32,24＝42,25＞52,26＞62，
∴n的第一个数应是5.
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5．若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n＞2m4对 n ∈N*都成立，则正整数 m 的最大值为____________．
[答案] 11
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第六章 数列
[解析] 设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n， ∴f(n＋1)＝n＋1 2＋n＋1 3＋…＋2n1＋1 ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＋2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1 ＝f(n)＋(2n1＋1－2n1＋2)＝f(n)＋2n＋112n＋2＞f(n)， ∴f(n＋1)＞f(n)＞…＞f(1)＝12＝1224，∴m＝11.
基础自测 1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命 题成立，那么可推知n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C
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7．已知数列{an}，其中 a2＝6 且aann＋ ＋11＋ －aann－ ＋11＝n. (1)求 a1，a3，a4； (2)求数列{an}的通项公式． [解析] (1)∵a2＝6，aa22＋－aa11－＋11＝1， aa33－＋aa22＋－11＝2，aa44－＋aa33＋－11＝3， 解得 a1＝1，a3＝15，a4＝28.
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第六章 数列
3．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的
内角和 f(k＋1)＝f(k)＋____________( )
π A.2
B．π
C.32π
D．2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三
角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
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考纲解读 1．了解数学归纳法的原理； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 考向预测 1．归纳——猜想——证明将是2012年高考热点； 2．与函数、不等式等知识交汇命题．
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[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
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第六章 数列
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立 ，即有 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1 则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
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(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
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Hale Waihona Puke 下页末页第六章 数列
∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1) ＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1) ＝(k＋1)(2k2－k－1) ＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)． ∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]． 即当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②可知，{an}的通项公式为 an＝n(2n－1)．
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
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