2018全国Ⅱ卷理科数学及解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则 A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线A ．B ．C ．D ． 6．在中，，，则 A ．BCD ．12i12i+=-43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，A ()2e e x xf x x --=a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b 22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =y x =y =ABC △cos2C =1BC =5AC =AB =7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ． B ． C ． D ．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．B ．C ．D ．9．在长方体中，，与所成角的余弦值为A ．BCD10．若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．5012．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线在点处的切线方程为__________．11111123499100S =-+-++-…1i i =+2i i =+3i i =+4i i =+30723=+1121141151181111ABCDA B C D -1AB BC ==1AA 1AD 1DB 15()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 231213142ln(1)y x =+(0,0)14．若满足约束条件 则的最大值为__________．15．已知，，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。

17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．,x y 25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，z x y =+sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=S SA SB 78SA SAB△n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n Sy y t t 1217，，…，ˆ30.413.5y t =-+t 127，，…，ˆ9917.5yt =+19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．（12分）如图，在三棱锥中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C P ABC-AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC PAM 2()e x f x ax =-1a =0x ≥()1f x ≥()f x (0,)+∞a xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l设函数．（1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B8．C9．C10．A11．C12．D二、填空题 13． 14．915．16．三、解答题 17．解：（1）设的公差为d ，由题意得． 由得d =2．所以的通项公式为． （2）由（1）得． 所以当n =4时，取得最小值，最小值为−16． 18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数2y x =12-{}n a 13315a d +=-17a =-{}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--n S ˆ30.413.519226.1y=-+⨯=ˆ9917.59256.5y=+⨯=30.413.5y t =-+据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：（1）由题意得，l 的方程为． 设， 由得．，故． 所以．由题设知，解得（舍去），． 因此l 的方程为．（2）由（1）得AB 的中点坐标为，所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或 因此所求圆的方程为或． 20．解：（1）因为，为的中点，所以，且ˆ9917.5yt =+(1,0)F (1)(0)y k x k =->1221(,),(,)A y x y x B 2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>122224kx k x ++=122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=22448k k+=1k =-1k =1y x =-(3,2)2(3)y x -=--5y x =-+00(,)x y 00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩003,2x y =⎧⎨=⎩0011,6.x y =⎧⎨=-⎩22(3)(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =连结．因为，所以为等腰直角三角形， 且，． 由知． 由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取，所以．由已知可得．．解得（舍去），．所以． OB AB BC AC ==ABC △OB AC ⊥122OB AC ==222OP OB PB +=PO OB ⊥,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC O OB uu u rx O xyz -(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u rPAC (2,0,0)OB =u u u r(,2,0)(02)M a a a -<≤(,4,0)AM a a =-u u u rPAM (,,)x y z =n 0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n 20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,)a a =--n cos ,OB =uu u rn |cos ,|2OB =uu u r n 4a =-43a =4()3=-n又，所以所以与平面． 21．解：（1）当时，等价于．设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i ）当时，，没有零点； （ii ）当时，．当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以． (0,2,PC =-u u u r cos ,PC =uu u r n PC PAM 1a =()1f x ≥2(1)e 10x x -+-≤2()(1)e 1x g x x -=+-22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--1x ≠()0g'x <()g x (0,)+∞(0)0g =0x ≥()0g x ≤()1f x ≥2()1e x h x ax -=-()f x (0,)+∞()h x (0,)+∞0a ≤()0h x >()h x 0a >()(2)e x h'x ax x -=-(0,2)x ∈()0h'x <(2,)x ∈+∞()0h'x >()h x (0,2)(2,)+∞24(2)1eah =-()h x [0,)+∞(2)0h >2e 4a <()h x (0,)+∞(2)0h =2e 4a =()h x (0,)+∞(2)0h <2e 4a >(0)1h =()h x (0,2)0x >2e x x >33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．22．解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23．解：（1）当时，可得的解集为． （2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是()h x (2,4)a ()h x (0,)+∞()f x (0,)+∞2e 4a =C 221416x y +=cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞。