3[1][1].迹点,线线位置,直角投影定理
直角投影定理及推广的证明
直⾓投影定理及推⼴的证明2019-04-14直⾓投影定理在“机械制图”中的点、线、⾯的内容是⼀个很重要的定理。
之所以重要，是由于其在解决点、线、⾯在空间中的相对位置以及度量问题⽅⾯，起到了很关键的作⽤。
⽽画法⼏何中此类内容所占的分量⼜很⼤，所以熟练掌握该定理，也就抓住了画法⼏何中的关键点。
下⾯就直⾓投影定理及其推⼴定理的证明作详细介绍。
⼀、直⾓投影定理及逆定理的证明 1直⾓投影定理⼀边平⾏于某⼀投影⾯的直⾓，在该投影⾯上的投影仍是直⾓。
2定理的证明如图1所⽰：图1 已知：AB∥H⾯，∠ABC是直⾓。
求证：∠abc仍是直⾓。
证明：AB∥H⾯，BbH⾯，ABBb。
⼜ABBC，ABBb，AB投射⾯BCcb。
AB//H⾯，ab// AB。
由于ab∥AB，AB投射⾯BCcb，即得ab投射⾯BCcb。
abbc，即∠abc仍是直⾓。
证毕。
由以上定理可以得到其反⽅向的推断，称为逆定理。
3直⾓投影定理的逆定理⼀夹⾓的两边在投影⾯上的投影是直⾓，且夹⾓的其中⼀边平⾏于该投影⾯，则此夹⾓必为直⾓（如图1所⽰）。
4逆定理的证明已知：H⾯上投影abbc，且AB∥H⾯。
求证：ABBC。
证明：由正投影原理可知：投射⾯BbcCH⾯。
由已知abbc，⼜由于正投影⽽知BbH⾯，Bbab，abBbcC。
由题知AB∥ab，ABBbcC，ABBC。
证毕。
以上两条定理是表征⼀直⾓的状态，即两条相交直线的状态，把它们作推⼴，可以应⽤到两条异⾯垂直（即交叉垂直）的直线状态上，其推⼴得到的结论，称为定理推论。
⼆、定理推论及其证明1定理推论空间交叉垂直的两直线，当其中有⼀条直线平⾏于投影⾯时，则两直线在该投影⾯的投影仍相互垂直（如图2所⽰）。
2定理推论的证明如图2所⽰：图2 已知：空间交叉垂直的两直线ABCD，且AB∥H⾯。
求证：abcd。
证明：⾸先作⼀条辅助线，如图2（a）所⽰，过AB直线上任⼀点（取B点）作直线BE∥CD，则有BEAB。
由直⾓投影定理可知：beab。
高中数学投影定理
高中数学投影定理高中数学中的投影定理是一项非常重要的定理，它在几何学中有着广泛的应用。
投影定理是指在三维空间中，一个点在某个平面上的投影，可以通过该点到该平面的垂线来确定。
在本文中，我们将详细介绍高中数学中的投影定理。
我们来看一下投影定理的定义。
在三维空间中，一个点P在平面α上的投影点P'，可以通过从点P到平面α的垂线来确定。
具体来说，我们可以将点P到平面α的垂线与平面α的交点作为点P'，这个点就是点P在平面α上的投影点。
接下来，我们来看一下投影定理的应用。
在几何学中，投影定理可以用来求解各种几何问题。
例如，我们可以利用投影定理来求解两个平面之间的夹角。
具体来说，我们可以将两个平面的法向量分别投影到一个共同的平面上，然后计算它们在该平面上的夹角，就可以得到两个平面之间的夹角。
投影定理还可以用来求解三角形的各种性质。
例如，我们可以利用投影定理来求解三角形的高、中线、角平分线等。
具体来说，我们可以将三角形的各个顶点投影到对应的边上，然后利用投影点之间的关系来求解三角形的各种性质。
除此之外，投影定理还可以用来求解各种空间图形的体积。
例如，我们可以利用投影定理来求解棱柱、棱锥、圆锥等空间图形的体积。
具体来说，我们可以将空间图形投影到一个平面上，然后利用平面图形的面积来求解空间图形的体积。
我们来看一下投影定理的一些注意事项。
首先，投影定理只适用于三维空间中的点和平面。
如果我们要求解其他类型的几何问题，就需要使用其他的几何定理。
其次，投影定理在实际应用中，需要注意投影点的位置和投影方向。
如果投影点的位置或投影方向不正确，就会导致计算结果出现误差。
高中数学中的投影定理是一项非常重要的定理，它在几何学中有着广泛的应用。
通过投影定理，我们可以求解各种几何问题，包括平面之间的夹角、三角形的各种性质、空间图形的体积等。
在实际应用中，我们需要注意投影点的位置和投影方向，以确保计算结果的准确性。
直角投影定理
直角投影定理
1 垂直投影定理
垂直投影定理是指两个平面或空间的垂直投影的距离的平方等于
两点之间的距离的平方。
他可以用于计算任意物体以及它在任意角度
上的投影。
垂直投影定理是很有用的，有时可以用来确定某个物体在
空间中的大小或位置。
垂直投影定理可用于求解三维空间中物体的面积和体积。
例如，
假设有一个三角形的三条边，每条边的长度都已知，我们可以用垂直
投影定理来确定这个三角形的面积。
如果想估算一个物体的投影大小，可以根据垂直投影定理来计算。
即将物体的长度或宽度的平方乘以它和投影平面间的角度的余弦。
例如，如果一个矩形的长度是5米，宽度是2米，距离投影平面20度，
则可以用垂直投影定理估算它在投影平面上的大小。
垂直投影定理也经常用于地图制作，即将三维地形数据转换为二
维地图。
它可以帮助分析一些特定问题，例如，它可以计算山谷的宽度，求出不同山峰之间的距离，或者确定河流的流向等。
2 总结
垂直投影定理是一个非常强大的定理，不仅可以用于计算三维物
体的大小和面积，还可以用于估算投影大小，以及在制作地图时对三
维地形数据的转换。
它给我们提供了一种快速的方式来处理复杂的数学问题，给我们开拓了新的思维方式。
数学投影的基本知识
数学投影的基本知识1. 介绍数学投影是一个广泛应用于工程、计算机图形学、物理学等领域的概念。
投影是一种将一个空间中的对象映射到另一个空间中的技术，通常用于将高维空间中的问题简化为低维空间的问题。
在数学中，投影可以用来描述一个向量在另一个向量上的投影，或描述一个对象在一个平面或空间上的投影。
2. 投影的概念在数学中，投影是指将一个空间中的对象沿着某个方向映射到另一个空间中的技术。
在二维空间中，投影通常指将一个点映射到一个直线上的投影点。
在三维空间中，投影可以是向量在另一个向量上的投影，或者是对象在一个平面或空间上的投影。
3. 向量投影向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影。
给定两个向量$\\mathbf{u}$和$\\mathbf{v}$，$\\mathbf{v}$在$\\mathbf{u}$上的投影定义为：$$ \\text{proj}_{\\mathbf{u}}\\mathbf{v} = \\frac{\\mathbf{v} \\cdot\\mathbf{u}}{\\|\\mathbf{u}\\|^2} \\mathbf{u} $$其中，$\\cdot$表示向量的点积，$\\|\\cdot\\|$表示向量的模长。
向量投影在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
4. 直线投影直线投影是指将一个点沿着某条直线映射到这条直线上的投影点。
在二维空间中，点(x,y)在直线ax+by+c=0上的投影点为：$$ \\left(\\frac{b(bx - ay) - ac}{a^2 + b^2}, \\frac{a(ay - bx) - bc}{a^2 +b^2}\\right) $$直线投影在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来计算点在直线上的投影，从而实现图形的投影效果。
5. 面投影面投影是指将一个物体投影到一个平面或空间上的技术。
在三维空间中，可以通过投影矩阵将一个物体的三维坐标映射到一个二维平面上，从而实现透视效果。
直角投影定理
★★★★★§2—5 直角投影定理两直线的相对位置除上述情况之外，还有一种情况有必要讨论因为它是处理一自然风光垂直问题睥基础作图经常会遇到，即一边平行投影面的直角投影定理。
一、直线平行投影面的垂直相交两直线的投影垂直相交的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影同上的投影也必定互相垂直。
反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。
如图2—26a 、b 所示，设相交两直线AB ⊥AC 且AB ∥H 面。
显然，直线AB 垂直于ca AC （因为AC AB Aa AB ⊥⊥,）。
今ab ∥AB ，则ab ⊥平面AacC,因此，ab ⊥ac,亦即∠bac= 90。
[例2—5] 如图2—27所示，已知一菱形ABCD 的一条对角线AC ，以及菱形的一边AB 位于直线AE 上，求该菱形的投影。
分析 菱形的两对角线互相垂直，且交点平分对角线的线长度。
作图步骤（如图2—27b 、c 所示）：（1）在对角线AC 上取中点K ，K 点也必定是另一对角线的中点。
（2）AC 是正平线，故另一对角线的正面投影垂直于c a ''。
先过k '作c a b k ''⊥''，并与e a ''交于b '，由b k '求出kb.（3）在对角线KB 的延长线上取一点D ，使KB=KD （b k d k ''=''，kd=kb ）,则d b ''和bd 即为另一对角线的投影。
连接各顶点A 、B 、C 、D 的同面投影，即得菱形ABCD 的两面投影。
二、一直线平行投影面的交叉垂直两直线的投影上述定理可推广到交叉成直角的两直线的投影情况。
垂直交叉的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影也必定互相垂直。
投影定理公式
投影定理公式投影定理是由德国数学家马库斯弗里德里希弗兰德诺等于1822年发明的一组空间几何关系的简要表述。
投影定理可以用来描述两个相交的平面之间的关系，它解决了几何中关于角度，角平行线，位置，距离等问题。
它可以定义两个平面之间的关系，可以用来描述两个平面之间的距离及其角度，这对于理解三维图形或复杂立体图形非常有用。
投影定理公式是一个简单而强大的数学工具，它可用于描述平面相交的特征，以及它们之间的关系。
它可以以投影的形式来涵盖和描述两个平面之间的关系，可以分析出平面之间的夹角，线段，和距离。
这对于几何分析和设计有重要的作用。
投影定理公式由条件 frac{sin(α)}{sin(β)} =frac{|overrightarrow{PQ}|}{|overrightarrow{RS}|}成，其中α和β是投影定理中的两个角，PQ和RS是投影定理中的两根线段。
用投影定理进行投影之后，其距离将会是从线段PQ到线段RS的距离的一半。
投影定理的应用广泛，它可以用来解决平面几何中的各种问题，比如投影定理可以使几何问题的解决变得更加容易。
例如，在绘制一棵树的图谱时，可以使用投影定理来求出两个分支间的夹角，从而使图谱更加规整。
投影定理也可以用于计算平面图形中各种长度和角度之间的关系，它可以帮助我们计算给定的距离和角度之间的关系，以及能够从中获得的信息和内容。
同时，投影定理公式也可以用于几何投影，它可以用来投影多维几何图形到二维空间，从而实现更精确的建模和设计。
例如，在机械设计中，投影定理可以用来投影三维模型到二维平面，以便进行细节设计。
投影定理在很多方面被广泛使用，它可以用来将几何问题转换为更加容易处理、更易于理解的形式，从而更容易地计算几何问题的解，绘制三维几何图形，甚至使用几何投影进行建模和设计。
不管是在平面几何，几何解析，几何投影中，投影定理都具有重要的作用，是理解和研究几何问题不可缺少的工具。
简述直线上的点的投影规律
简述直线上的点的投影规律
一、点的投影规律：直线上的点在投影过程中遵循以下规律：
1. 点到直线的投影距离是最短的：对于直线上的任意一点P，它到直线上的投影点P'的距离是P到直线距离的最短值。
这是因为直线上的两点之间的距离是最短的。
2. 投影点在直线上：点P'是点P在直线上的投影点，因此它必然在直线上。
这是由于投影是点到直线的垂直距离，而垂直距离只能在直线上得到。
3. 投影点在垂直于直线的线上：直线上的任意一点P'都在直线垂直于直线的线上。
这是由于投影是垂直距离，而垂直距离只能在垂直线上得到。
二、点的投影规律的应用：
1. 几何测量：点的投影规律在几何测量中被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以通过点的投影确定建筑物的阴影位置和大小。
2. 图像处理：点的投影规律在图像处理中也有重要应用。
例如，在
三维渲染中，可以通过点的投影将三维场景投影到二维平面上，以显示给用户。
总结：点的投影规律是直线上的点在投影过程中遵循的规律。
它不仅是几何测量和图像处理中的重要概念，也是理解投影变换的基础。
投影定理知识点总结
投影定理知识点总结一、投影的定义在三维空间中，当一个点P在一个平面上投影到另一个平面上时，它在投影平面上的投影点P'就是点P在投影平面上的垂线与该平面的交点。
投影的过程可以理解为点P向某个方向投射到另一个平面上的过程。
二、投影的性质1. 平行投影性质：如果被投影体与投影平面之间的边的方向相同，那么它们的投影将是相似的。
2. 零投影性质：如果被投影体与投影平面之间的边互相垂直，那么它们的投影将是共线的。
3. 线段投影性质：被投影体上的线段在投影平面上的投影是被投影线段的两个端点对应的投影点组成的线段。
4. 面投影性质：被投影体的面在投影平面上的投影是这个面在投影平面上的正射影。
三、投影的应用1. 工程测量中的投影：在建筑工程、地理测量和制图等领域中，投影定理常常用来确定物体在平面上的投影，从而进行测量和绘图。
2. 三维图形的展示：在计算机图形学中，投影定理被广泛应用于三维图形的投影和展示，例如计算机辅助设计、虚拟现实等领域。
3. 高等数学中的应用：在高等数学的几何向量、线性代数等课程中，投影定理常常用于分析向量的投影、直线和平面的相交等问题。
四、投影定理的例题讲解1. 例题一：已知直线l经过点A(1,2,3)且与平面2x+3y+z=4垂直，求l在平面上的投影。
解：由于直线l与平面2x+3y+z=4垂直，所以直线l在平面上的投影是l在该平面上的垂线与该平面的交点。
2. 例题二：已知空间中有一个正方体，其底面上的对角线AB的中点为O(1,1,1)，求AB的中点在正方体上的投影。
解：由于正方体的底面为一个正方形，在平面上投影时，正方体的底面上的对角线AB的中点在平面上的投影即为该对角线中点在平面上的投影。
5. 例题三：已知三维空间中有一个直线l，其方程为x=2t,y=3t,z=4t，求直线l在平面x+y+z=1上的投影。
解：直线l在平面x+y+z=1上的投影即为直线l在该平面上的垂线与该平面的交点。
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b′ V 1′ ′ 3(4 ′) c′ d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B ′ a A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● 3(4 ′)
●
1′
● ●
b′ d′ O
2′
●
4
●
d b
c
3 1(2)
b H
●
3 1(2)
投影特性
投影可能相交， 交点” ★ 同面投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 个点的投影规律。 交点” 重影点的投影， ★ “交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其 交点 是两直线上的一对重影点的投影 可帮助判断两直线的空间位置。 可帮助判断两直线的空间位置。
②
a″ ″ d″ ″
AB // CD
对于特殊位置直线， 对于特殊位置直线， 只有两组同面 只有两组同面投影互相 平行，空间直线不一定 平行，空间直线不一定 平行。 平行。
10
⒉ 二直线相交
V c′ a′ C A X a c k k′ K b′ d′ D O d b H a c k d b B a′ ′ c′ ′ b′ ′ k′ ′ d′ ′
c' b'
a' d'
相交吗？ 相交吗？ 不相交！ 不相交！ 为什么？ 为什么？ 判断？ 判断？
a
d b c
1. 应用侧面投影 2. 应用比例关系 应用比例关系
12
利用侧面投影判断 利用侧面投影判断
c′ b′ a" d′ d" b" c"
a ′
a
d b c
13
相交。 例：过C点作水平线 与AB相交。 点作水平线CD与 相交
9
当只给出两组同面投影对应平行时
①
a′ ′ a c′ ′ c c′ ′ d′ ′ c b d a b a′ ′ b′ ′ b″ ″ d c″ ″ b′ ′ d′ ′ a″ ″ c″ ″ b″ ″ d″ ″
AB // CD
对于一般位置直线， 对于一般位置直线， 只要有两组同面 只要有两组同面投影互 相平行， 相平行，空间两直线就 平行。 平行。
6
二、两直线的相对位置
7
空间两直线的相对位置
共面：平行二直线 共面：平行二直线 相交二直线 异面： 异面：交错二直线
8
⒈ 二直线平行
V c′ a ′ C c d d′ A a b H b′ B D a a′ ′ c′ ′ c b d b′ ′ d′ ′ a″ ″ c″ ″ b″ ″ d″ ″
空间二直线平行，则其各同面投影必相 空间二直线平行，则其各同面投影必相 各同 互平行，反之亦然。 互平行，反之亦然。 若AB//CD 则 ab//cd、 ab// cd、 ab// cd 、
24
课堂练习
P16P16-19 P17P17-22
25
课堂练习分析与答案
P16-19求两平行线AB、CD之间的距离L P16-19求两平行线AB、CD之间的距离L 求两平行线AB 之间的距离 分析 作图
a 2 b2 c2d2
26
P17-22求出交错直线AB、CD的 投影， P17-22求出交错直线AB、CD的W投影，并判断其 求出交错直线AB H、W面投影中重影点投影的可见性
（1）分析： ）分析： 等边△的高与底边垂直且平分底边，现在高AK已 等边△的高与底边垂直且平分底边，现在高 已 因此可先作出高然后求解。 知。因此可先作出高然后求解。
21
（2）作图
22
例3 求作矩形ABCD。已知边AB，而邻边BC 的端点C在V面上，并在H面上方25。
分析： （1）分析： 矩形邻边垂直， 矩形邻边垂直， 即有CB⊥AB CB⊥AB。 即有CB⊥AB。 已知AB为一般位置， AB为一般位置 已知AB为一般位置， 由直角投影定理知， 由直角投影定理知， 只有将AB AB边转换成 只有将AB边转换成 投影面的平行线才 能作出垂直关系。 能作出垂直关系。 因此可用辅投影 法求解。 法求解
18
两直线垂直的投影图
(a)直线BC为水平线 (a)直线BC为水平线 直线BC
（b）直线EF为正平线 直线EF为正平线 EF
19
直角投影定理的应用
例1 求点K到水平线AB的距离L。 求点K到水平线AB的距离L AB的距离
20
例2 已知点A的H投影a，求作一等边三角形ABC， 其边BC在水平线MN上，高AK=30。
空间二直线相交，则其同面投影必相交， 空间二直线相交，则其同面投影必相交，且交 点的投影符合空间一点的投影特性。 点的投影符合空间一点的投影特性。 若AB CD =>K: k、k、k 则ab cd => k、ab cd => k 、ab cd => k
11
直线AB、 是否相交 是否相交？ 直线 、CD是否相交？
16
三、直角投影定理 及其应用
17
空间两直线垂直相交， 空间两直线垂直相交， 若其中一直线平行于 某一投影面时， 某一投影面时，它们 在该投影面上的投影 相互垂直。反之， 相互垂直。反之，相 交两直线在某一投影 面上的投影成直角， 面上的投影成直角， 而其中一直线平行于 该投影面， 该投影面，则该两直 线在空间必定垂直相 如图所示。 交，如图所示。 该性质可称为直角 该性质可称为直角 投影定理。 投影定理。其亦适用 于垂直交错的两直线。 于垂直交错的两直线。
27
课后作业
P14-15、 P15-17、 P14-15、16, P15-17、18 P16P17P16-20, P17-21 P18-23、 P18-23、24 下次内容 平面投影，点、线、面的从属关系等 平面投影， 教材P44教材P44-52 P44
28
4
（2）命名：直线与H面的交点称为水平 命名：直线与H 迹点， 表示；直线与V 迹点，用M表示；直线与V面的交点称为正 面迹点， 表示。 面迹点，用N表示。 特性： （3）特性：迹点是直线和投影面的公共 因此迹点的投影一个在轴上， 点，因此迹点的投影一个在轴上，另一个 则与本身重合， 则与本身重合，且其各投影在直线的同面 投影上。 投影上。 用途之一：判断直线在空间的方位。 （4）用途之一：判断直线在空间的方位。
20082008-2009
现代机械 工程图学 (3)
1
内 容
(教材 教材P43-44，P56-59) 教材 ，
一、直线的迹点 二、两直线的相对位置 三、直角投影定理及其应用
2
一、直线的迹点
3
1.迹点 1.迹点的概念与特性 迹点的概念与特性 定义：直线与投影面的交点。 （1）定义：直线与投影面的交点。
5
2.迹点的投影作图 2.迹点的投影作图
根据特性， 根据特性，作图过 程如下图： 程如下图：延长 a′b′与轴 相交， 与轴X a′b′与轴X相交，交 点为水平迹点M 点为水平迹点M的正面 投影m′ m′， m′作轴 作轴X 投影m′，由m′作轴X 的垂线， ab的延长 的垂线，与ab的延长 线相交于m 线相交于m，即为水平 迹点M的水平投影。 迹点M的水平投影。 同理，延长ab ab与轴 同理，延长ab与轴 相交， X相交，交点为正面迹 的水平投影n 点N的水平投影n，由n 作轴X的垂线， 作轴X的垂线，与 a′b′的延长线相交 a′b′的延长线相交 n′， 于n′，即为正面迹点 的正面投影。 N的正面投影。
b′ ′ c′● a′ ′ k′ ′ d′ ′
先作V面投 先作 面投 影
a c k
●
d b
14
⒊ 二直线交错
b′ c′ d ′ a′ X a d c b O V c′ a′ A a b′ d′ B C c D d b H
两直线相交吗？ 两直线相交吗？
不相交！ 不相交！
为什么？ 为什么？
交点不符合一个点的 投影规律！ 投影规律！
23
（2）作图
作使直线AB成为投影面平行 作使直线AB成为投影面平行 AB 线的辅投影a 并过b 线的辅投影a1b1，并过b1作 的垂线与距轴X 25的平 a1b1的垂线与距轴X1为25的平 行线相交，交点即为C 行线相交，交点即为C点的辅 投影c 投影c1。 作轴X 的垂线并与轴X 由c1作轴X1的垂线并与轴X相 交点即为C点的H投影c 交，交点即为C点的H投影c， 再作出其V投影c′ c′。 再作出其V投影c′。分别连接 bc、b′c′完成边BC的投影 完成边BC的投影。 bc、b′c′完成边BC的投影。 由矩形对边平行， 由矩形对边平行，其平行性 投影不变的原理完成矩形ABCD 投影不变的原理完成矩形ABCD 的投影。 的投影。