人教B版选修1-1高中数学3.1.2《瞬时速度与导学》word课后知能检测
【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：3.1.2瞬时速度与导数(含答案解析)
选修 1-1第三章3.1课时作业22一、选择题f x0＋Δx － f x0中，Δx不行能 ()1．在 f′(x0)＝ limΔxΔx→0A．大于0B．小于0C．等于0D．大于 0或小于 0分析：由导数定义知Δx不过无穷趋近于0，应选 C.答案： Cf x0－Δx － f x0等于() 2．设 f(x)在 x＝ x0处可导，则 limΔxΔx→0A．－ f′(x0) B ．f ′(－x0)C． f ′(x0)D． 2f′(x0)f x0－Δx － f x0分析： limΔxΔx→0＝lim－ f x0－ f x0－ΔxΔxΔx→0＝－ lim f x0－fx－Δx＝－f′(xΔx→0Δx0)．答案： A23．设函数 f(x)在点 x0邻近有定义，且 f(x0＋Δx)－ f(x0)＝ aΔx＋ b(Δx)(a，b 为常数 )，则 () A． f′(x0)＝－ a B ． f′(x0)＝－ bC． f′(x0)＝ a D． f′(x0)＝ b分析：∵ f( x＋Δx)－ f(x2，00)＝aΔx＋b(Δx)∴f x0＋Δx －f x0＝a＋bΔx.Δxf x0＋Δx － f x0(a＋bΔx)．∴ limΔx ＝ limΔx→0Δx→0∴f′(x0)＝ a.应选 C.答案： C4．一物体的运动方程是 s＝1a t2(a 为常数 )，则该物体在t＝ t0时的刹时速度是 ()2A． at0 B ．－ at01C ． 2at 0D ． 2at 0s s t 0 ＋ t － s t 0 1分析：∵t ＝ t＝2a t ＋ at 0，Δs∴ lim＝at 0.Δt→0 Δt答案： A二、填空题x5．过曲线 y ＝ 2 上两点 (0,1)， (1,2)的割线的斜率为 ______．2－ 1分析：由均匀变化率的几何意义知k ＝＝ 1.答案： 1f x－ f a2，则 lim＝ ________. 6．已知 f( x)＝ x x →ax － a 分析：令 x － a ＝Δx，则 x ＝ a ＋Δx，f x － f a f a ＋Δx － falimx － a＝ limΔxx →aΔx→02－2－ 22＝ lima ＋ Δx aΔx ＝ lim＝－2.Δx→0Δx→0aa ＋Δx a2答案：－ a 21，且 f ′(m)＝－ 1，则 f(m) ＝________.7．已知 f( x)＝ x 16分析：∵ f( x)＝1，x∴ f ′(m)＝ lim f m ＋ Δx － f mΔxΔx→01 － 1－ 11＝ limm ＋Δx mΔx ＝ lim＝－2Δx→0Δx→0mm ＋ Δx m.又 f ′(m)＝－1 1116 ，∴－ 2m＝－16.1 1∴m ＝ ±4.∴ f( m)＝ m ＝ ±4.1 答案： ±4三、解答题x ， x ≥08．已知函数 f(x)＝1＋ x 2， x<0 ，求 f ′(1)f ′(·－1)的值．Δy f＋Δx －f 解：当 x＝ 1 时，＝ΔxΔx＝1＋Δx－ 1＝1.Δx1＋Δx＋ 1由导数的定义，得f′(1)＝ lim1＝1.Δx→01＋Δx＋ 12Δy f － 1＋Δx － f－当 x＝－ 1 时，＝ΔxΔx1＋－ 1＋Δx2－1－－2＝Δx＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝ lim(Δx－2) ＝－ 2.Δx→0因此 f′(1)f′(·－1) ＝1×(－2)＝－ 1. 29．高台跳水运动中，运动员相关于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位： s)之间的关系式为h(t)＝－ 4.9t2＋ 6.5t＋ 10，求运动员在t＝65s 时的刹时速度，并解说此时的98运动情况．65解：令 t0＝，Δt为增量．则 h t 0＋Δt－ h t0Δt－t0＋Δt2＋t0＋Δt＋ 10＋ 4.9t02－6.5t0－ 10＝Δt－ 4.9Δt t0＋Δt＋ 6.5Δt＝Δt＝－ 4.9(6549＋Δt)＋ 6.5.∴lim h t0＋Δt－ h t0Δt→0Δt65＝Δt→0lim[－ 4.9(49＋Δt)＋ 6.5] ＝0，65即运动员在t0＝s 时的刹时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。
人教B版选修(1-1)3.3.1《瞬时速度与导数》word学案
课题：学习目标：1.知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数．2.体会由特殊到一般的思维方法3.感受导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值，树立学好数学的信心．重点：瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念使用说明及学法指导：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一．相关知识已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，令)()()()(,xfxxfxfxfyyyxxx-∆+=-=-=∆-=∆则当0≠∆x时，比值xyxxfxxf∆∆=∆-∆+)()(叫做函数f(x)在x0到xx∆+之间的平均变化率。
二．教材助读1、一般的如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在ttt∆+到这段时间内，当0t→∆时，即v=2、设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量x=x0附近改变x∆时，函数值相应地改变如果当x∆趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的可以记作3、函数在x0的瞬时变化率，定义为f(x)在x=x0处的导数，记作xxy)(=''或xf。
可以写作：4、如果f(x)在开区间（a,b）内的每一点x倒数都存在，则称f（x）在区间（a,b）内可导。
这样对于开区间（a,b）内每一个x都对应一个确定的导数)(xf'，于是在区间（a,b）内)(xf'构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数f(x)的简称为三．预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 203．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一． 学始于疑---我思考、我收获学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速
瞬时速度与导数
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• 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精 确定义．
• 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻 的瞬时速度及瞬时变化率．
• 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导 数的方法．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
fx0＋hh－fx0＝f′(x0)，
仅与 x0 有关，与 h 无关，故选 B.
答案：B
• 4．函数y＝x2在x＝1处的导数为__________．
解析：f′(1)＝ lim Δx→0
1＋Δx2－1 Δx
＝lim (2＋Δx)＝2. • 答案Δ：x→20
知识点三
导数的实际意义
• 5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s) 的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)， 并解释它的实际意义．
求瞬时速度
• 1．y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是( )
• A．2
B．3
• C．4 D．5
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx， 则ΔΔyx＝3ΔΔxx＝3， • 答∴案当：BΔx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于 3.故选 B.
• 2．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是 米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是 ()
ΔΔst＝Δlitm→0
(4Δt＋12)＝12(米/秒)．
• 答案：C
知识点二
导数的定义
3.函数
f(x)在
x0
处可导，则lim h→0
fx0＋hh－fx0(
人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计课程目标本课程旨在使学生：1.掌握瞬时速度的概念，并能够将其应用于实际问题中；2.了解导数的概念及其与瞬时速度的关联，进而能够求解一些简单的导数；3.提高数学思维及解决实际问题的能力。
教学内容1.瞬时速度的概念与意义；2.限速牌与瞬时速度的关系；3.导数的概念与求导法则；4.利用导数求解瞬时速度等实际问题。
教学步骤本课程分为三个部分：瞬时速度，导数课程设计，实际应用。
部分一：瞬时速度步骤一：引入在学生已经掌握速度的概念基础上，以限速牌为例，引出瞬时速度的概念。
步骤二：定义通过图像和数学语言对瞬时速度的概念进行定义，并引入切线概念。
步骤三：练习在学生理解后，发放一些练习题，帮助学生巩固瞬时速度的概念。
部分二：导数课程设计步骤一：引入在学生已经掌握切线概念基础上，引出导数的概念。
步骤二：定义通过数学语言和图形展示，对导数概念进行定义，并引入一阶导数和高阶导数的概念。
步骤三：练习发放一些练习题，帮助学生巩固求导法则和导数的基本概念。
部分三：实际应用步骤一：引入在学生已经掌握求导法则和导数的基础上，引出实际应用问题。
步骤二：解题方法引导学生逐步解决实际问题，如求解瞬时速度、求解极值等问题。
步骤三：练习提供多种类型的实际应用题目，帮助学生巩固和拓展相应的知识点。
教学评估本课程主要以平时表现、作业、测试形式进行综合评估。
其中，平时表现包括课堂表现、参与讨论和课后作业；作业包括课后作业和课堂练习；测试主要为考察学生对知识点的掌握程度。
实施建议为了提高本课程的效果，建议教师在课程实施中，注意以下几点：1.认真备课，拓宽课程知识面；2.注重课堂互动，提高学生学习积极性；3.合理布置作业，加强巩固；4.适当拓展应用场景，提高学生实际解决问题的能力。
总结瞬时速度与导数课程设计旨在让学生掌握瞬时速度的概念，并且能够知道如何求解一些常用的导数操作。
在实际应用中，学生将能够应用导数和瞬时速度的知识解决实际问题。
数学人教B版选修1-1课件：第三章 3.1.2 瞬时速度与导数
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
简记为一差，二比，三极限.
解析
lim
Δx→0
fx0＋2·ΔΔxx－fx0，
＝2 lim 2Δx→0
fx0＋22··ΔΔxx－fx0＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数.
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，ΔΔxy＝2Δx＋16， Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
题型二 求物体运动的瞬时速度
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋
t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1
＝
Δt
＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
lim ，即f′(x0)＝ Δx→0
Δx
.
2.导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这 样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个 确定的导数f′(x) ，于是在区间(a， b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数.记为 f′(x)(或yx′、y′). 3.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即
(1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，
高中数学 1.1.2 瞬时速度与导学课后知能检测 新人教B版选修22(1)
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.2 瞬时速度与导学课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．下列各式正确的是( )A．＝limΔx→0f x0－Δx－f x0ΔxB．f′(x0)＝limΔx→0f x0－Δx－f x0ΔxC．＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0f x0－f x0－Δx－Δx【解析】由导函数定义知C正确．【答案】 C2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，V＝s′(1)＝li mΔt→0(－3Δt－6)＝－6.3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是图中的( )【解析】本题主要考查导数的物理意义，位移关于时间的函数．故选A.【答案】 A4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝li mΔx→0aΔx＋bΔx2Δx＝li mΔx→0(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】 C5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )A．1 B．－1C．±1D．3 3【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3得3x20＝3，∴x0＝±1.二、填空题图1－1－36．如图1－1－3，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.【解析】 ∵f (0)＝4， ∴f (f (0))＝f (4)＝2.由A (0,4)，B (2,0)，得函数f (x )＝－2x ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝－2.【答案】 2 －27．设c 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为c ＝c (q )，当产量为q 0时，产量的变化Δq 对成本的影响可用增量比Δc Δq＝cq 0＋Δq －c q 0Δq刻画，如果Δq 无限趋近于0时，ΔcΔq 无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为q 0时，增加单位产量需付出的成本为A ，它是实际付出成本的一个近似值．若某一产品的成本c 与产量q 满足函数关系c ＝3q 2＋1，则当产量q ＝30时的边际成本是________．【解析】 ∵Δc ＝3(30＋Δq )2＋1－(3×302＋1) ＝180Δq ＋3(Δq )2， ∴Δc Δq ＝180Δq ＋3Δq 2Δq ＝180＋3Δq .∴A ＝li m Δq →0ΔcΔq ＝li m Δq →0(180＋3Δq )＝180.∴当产量q＝30时的边际成本为180.【答案】1808．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.【解析】∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，∴ΔyΔx＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，∴f′(－1)＝limΔx→0[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.【答案】 1三、解答题9．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．【解】∵Δy＝[1x＋Δx2＋2]－(1x2＋2)＝－2xΔx－Δx2x＋Δx2·x2，∴ΔyΔx＝－2x－Δxx＋Δx2·x2.∴y′＝limΔx→0－2x－Δxx＋Δx2·x2＝－2x3.∴y′|x＝1＝－2.10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．(1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v＝limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v ＝s 2－s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位：℃)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x 2＋20，0≤x ≤1，－2049x 2－2x －244，1<x ≤8.求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 【解】 ∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x ≤1时，f (x )＝80x 2＋20， ∴Δf x Δx ＝f 0.25＋Δx －f 0.25Δx＝800.25＋Δx2＋20－80×0.252＋20Δx＝80[0.5Δx ＋Δx 2]Δx＝40＋80Δx .∴f ′(0.25)＝li m Δx →0 Δf xΔx ＝li m Δx →0 (40＋80Δx )＝40.又当1<x ≤8时，f (x )＝－2049(x 2－2x －244)，∴当x ＝4时， Δf x Δx＝－2049[4＋Δx2－24＋Δx －244]＋204942－2×4－244Δx＝－2049[6Δx ＋Δx 2]Δx ＝－2049(6＋Δx )，∴f ′(4)＝li m Δx →0Δf x Δx ＝li m Δx →0[－2049(6＋Δx )] ＝－2049×6＝－12049.在第15分钟与第4 h 时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－12049，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40 ℃/h 的速率上升；在第4 h 附近，沥青温度大约以12049℃/h 的速率下降.。
2017-2018学年高中数学(人教B版)选修1-1 名师课件： 第一部分 第三章 3.1 3.1.2 瞬时速度与导数
f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)
.
fx0＋Δx－fx0 lim Δx ＝ Δx→0
4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在 ，则称 f(x) 在区间(a，b)可导． (2)导函数定义 若 f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值 x，都 对应一个确定的导数 f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一 个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数 y＝f(x)的导函数，简称 导数，记为 f′(x)(或 y′x、y′) ．
求函数在某点处的导数
[例 1] 1 求函数 y＝x在 x＝1 处的导数．
[思路点拨]
[精解详析]
法一：(定义法)
1－1＋Δx －Δx 1 Δy＝ －1＝ ＝ ， 1＋Δx 1＋Δx 1＋Δx －1 Δy 1 ＝－ ，∴函数在 x＝1 处的导数 lim ＝－1. Δx 1＋Δx 1 ＋ Δ x Δx→0 法二：(求导函数的函数值法)． －Δx 1 1 x－x＋Δx Δy＝ － ＝ ＝ ， x＋Δx x x＋Δx· x x＋Δx· x －1 －1 Δy 1 ＝ ，∴y′＝ lim ＝－ 2， Δx x＋Δx· x x x Δx→0 x＋Δx· ∴当 x＝1 时，导数值为 y′|x＝1＝－1.
Δt→0
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 Δs f1＋Δt－f1 ＝ Δt Δt 29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32 ＝ Δt ＝3Δt－12. (10 分)
Δs ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为lim ＝lim (3Δt－12)＝－12， Δ t Δt→0 Δt→0 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s. (12 分)
人教新课标版数学高二人教B选修1-1讲义 3-1-12瞬时速度与导数
3．1导数3．1.1函数的平均变化率3．1.2瞬时速度与导数1．理解函数在某点附近的平均变化率．(重点)2．会求函数在某点处的导数．(难点)3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易错点)教材整理1变化率问题阅读教材P75～P76例1以上，完成下列问题．函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．()(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2导数的概念阅读教材P78～P81例以上部分，完成下列问题．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()(4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________平均变化率(1)00________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝________. 【导学号：25650096】【自主解答】(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)Δx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx)2＋3Δx，∴Δy Δx ＝－(Δx)2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3(2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3．得平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.1．求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为：k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．【精彩点拨】 根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝3(Δt )2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．求物体瞬时速度的步骤1．设非匀速直线运动的规律s ＝s (t )．2．求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． 3．求平均速率v ＝ΔsΔt .4．计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt →v (常数)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度．【解】v＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→02×(2＋Δt)2－2×22Δt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8(cm/s)，v＝s(3)－s(1)3－1＝2×32＋3－(2×12＋3)2＝8(cm/s)．函数在某点处的导数探究【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数．【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解．【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝12.(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx ＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1．求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致lim Δx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．3．求函数y＝x－1x在x＝1处的导数. 【导学号：25650097】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴Δy Δx ＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a＋b·Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴lim Δt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→02(Δt)2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 【导学号：25650098】【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴Δy Δx ＝2(Δx)2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 瞬时速
度与导学课后知能检测 新人教B 版选修1-1
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0
D ．不等于0
【解析】 Δx 是一个增量，根据其意义可知Δx 不等于0. 【答案】 D
2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2
)，若v ＝s 1＋Δt －s 1 Δt ，则下列
说法正确的是( )
A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度
B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度
C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度
D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s 1＋Δt －s 1
Δt
＝5Δt ＋10.故应选D.
【答案】 D
3．(2013·惠州高二检测)某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2
＋3t
(t 的单位是秒，s 的单
位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.12316米/秒
B.125
16米/秒 C ．8米/秒
D.67
4
米/秒 【解析】 ∵Δs
Δt ＝ 4＋Δt 2
＋34＋Δt －16－
34Δt
＝
Δt 2
＋8Δt ＋－3Δt 4 4＋Δt
Δt
＝Δt＋8－
3
16＋4Δt
，∴lim
Δt→0
Δs
Δt
＝8－
3
16
＝
125
16
.
【答案】 B
4．函数y＝x3在x＝1处的导数为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【解析】Δy
Δx
＝
x＋Δx 3－x3
Δx
＝3Δx·x2＋3 Δx 2·x＋ Δx 3
Δx
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，
∴lim
Δx→0Δy
Δx
＝3x2.
∴y′|x＝1＝3.
【答案】 C
5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为( ) A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
【解析】Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x20－6x0＝6x0·Δx＋3Δx2＋6Δx，
∴lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
(6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.
∴x0＝－1，y0＝－2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(s的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．
【解析】v′(5)＝lim
Δt→0s 5＋Δt －s 5
Δt
＝lim
Δt→0
(10＋Δt)＝10.
【答案】10米/秒
7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
【解析】f′(1)＝lim
Δx→0a 1＋Δx ＋4－a－4
Δx
＝lim
Δx→0
aΔx
Δx
＝2，∴a＝2.
【答案】 2
8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么lim
Δx→0f a＋Δx －f a－Δx
Δx
＝________.
【解析】∵lim
Δx→0f a＋Δx －f a
Δx
＝m，
则lim
Δx→0f a－Δx －f a
－Δx
＝m.
∴lim
Δx→0f a＋Δx －f a－Δx
Δx
＝lim
Δx→0f a＋Δx －f a ＋f a －f a－Δx
Δx
＝lim
Δx→0f a＋Δx －f a
Δx
＋lim
Δx→0
f a－Δx －f a
－Δx
＝m＋m＝2m.
【答案】2m
三、解答题
9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2
＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，
∴Δf
Δx
＝
2x0Δx－2Δx＋ Δx 2
Δx
＝2x0－2＋Δx，
f′(x0)＝lim
Δx→0Δf
Δx
＝lim
Δx→0
(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.
10．设质点作直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
Δs Δt ＝
s 2＋Δt －s 2
Δt
＝3 2＋Δt 2＋2 2＋Δt ＋1－3×4－2×2－1
Δt
＝14Δt＋3 Δt 2
Δt
＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
(2)t＝2时的瞬时速度为：
v＝lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(14＋3Δt)＝14.
11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】∵s(t)＝1
2
at2，
∴Δs＝s(t1＋Δt)－s(t1)
＝1
2
a(t1＋Δt)2－
1
2
at21
＝at1Δt＋1
2
a(Δt)2，
Δs Δt ＝
at1Δt＋
1
2
a Δt 2
Δt
＝at1＋
1
2
aΔt.
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为
v＝lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(at1＋
1
2
aΔt)＝at1.
由题意a＝5×105 m/s2，
t1＝1.6×10－3s，
∴v＝at1＝5×105×1.6×10－3
＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。