非线性矩阵方程X+A~＊ X~(-q) A=Q的Hermite正定解
非线性规划的MATLAB解法及其应用
题 目 非线性规划的MATLAB 解法及其应用（一） 问题描述非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。
例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存 费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。
对于静态的最优化 问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。
具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
本实验就是用matlab 软件来解决非线性规划问题。
（二） 基本要求掌握非线性规划的MATLAB 解法,并且解决相关的实际问题。
题一 ：对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？题二： 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.符号说明：z(x 1,x 2)表示总利润；p 1，q 1，x 1分别表示甲的价格、成本、销量； p 2，q 2，x 2分别表示乙的价格、成本、销量； a ij ，b i ，λi ,c i （i ，j =1，2）是待定系数.题三：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x 万元, 则可得效益x 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.（三） 数据结构题一:设剪去的正方形的边长为x ，则水槽的容积为：x x )23(2-;建立无约束优化模型为：min y=-x x )23(2-， 0<x<1.5题二：总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z 最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值.题三：设变量i x 表示第i 年所使用的资金数,则有 4,3,2,1,04.5321.121.1331.14841.121.14401.1400..max 43213212114321=≥≤+++≤++≤+≤+++=i x x x x x x x x x x x t s x x x x z i（四） 源程序题一：编写M 文件fun0.m:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序为wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval题二：建立M-文件fun.m:function f = fun(x)y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2;输入命令:x0=[50,70];x=fminunc(‘fun ’,x0),z=fun(x)题三：建立M 文件 fun44.m,定义目标函数:function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));建立M 文件mycon1.m 定义非线性约束：function [g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0主程序youh4.m 为:x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五） 运行结果题一:运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.题二：运行结果为:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.题三：运行结果为：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六） 相关知识用Matlab 解无约束优化问题一元函数无约束优化问题21),(m in x x x x f ≤≤常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x ，fval]= fminbnd （...）（4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...）（5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。
(最新整理)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组的全部内容。
基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组已知非线性方程组如下221122121210801080x x x x x x x ⎧-++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F 。
m 保存到工作路径中：function f=F （x ）f （1）=x(1)^2—10＊x(1)+x （2)^2+8；f （2)=x(1）*x （2)^2+x(1)-10＊x(2)+8;f=[f(1) f （2）]；建立函数DF （x),用于求方程组的Jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中:function df=DF(x)df=[2＊x （1)—10，2＊x （2）；x （2）^2+1,2＊x(1）＊x （2）-10］；编程牛顿迭代法解非线性方程组,将newton 。
m 保存到工作路径中：clear ；clcx=[0，0]'；f=F （x);df=DF(x);fprintf （'％d ％。
7f ％.7f\n’,0，x （1），x （2）);N=4；for i=1:Ny=df\f'；x=x —y;f=F （x);df=DF （x ）;fprintf （'％d ％.7f ％。
关于非对称矩阵正定的一个等价定理及其正定性的判定
非对称矩阵正定是指一个非对称矩阵（即其转置矩阵不等于自身）在所有可能的情况下都是正定的。
非对称矩阵正定的一个等价定理是：一个非对称矩阵 A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，有x^T A x > 0。
这个定理表明，一个非对称矩阵A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，其与矩阵A 的乘积x^T A x 大于0。
此外，我们还可以使用下列方法来判定非对称矩阵 A 的正定性：
1.计算矩阵A 的特征值。
如果矩阵A 的所有特征值均大于0，则矩阵A 是正定的。
2.计算矩阵A 的行列式值。
如果矩阵A 的行列式值大于0，则矩阵A 是正定的。
3.将矩阵A 转化为对称矩阵的形式，再使用对称矩阵正定的判定方法。
如果矩阵A 转化为对称矩阵后是正定的，则矩阵A 是正定的。
非线性代数方程组的数值解法
a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a
i 1 m
i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭 代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
Hermite矩阵
Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。
定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。
AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。
定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。
设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。
000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。
正定Hermitian矩阵的分解法的概述及应用
正定Hermitian 矩阵的分解法的概述及应用［摘要］对正定Hermitian 矩阵的定义、性质以及Cholesky 分解法做简单的概括、分析。
利用正定Hermitian 阵的Cholesky 分解法来解决一些题目，由此，我们可以看出一些矩阵可以分解成一些具有特殊特定性质的矩阵。
［关键词］矩阵分解、正定Hermitian 矩阵、Cholesky 分解法 1.定义关于矩阵的分解，一般的理论有①矩阵的三角分解（Crout 分解、TLDL 分解、Doolittle [5]分解等等），②矩阵的正交三角分解（方阵的QR 分解，长方阵的QR 分解），③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异分解。
现在我要给出一种特殊的三角分解：正定Hermitian 矩阵的分解及应用。
为此，先引入 定义[1]1，设n nA C⨯∈，若HAA =，则称A 是Hermitian 矩阵；若H A A =-，则称A 是反Hermitian 矩阵。
定义2.对于Hermitian 矩阵的二次齐式，(),,H n f x X AX X C =∈下列命题是等价： (1)()f x 是正定的；(2)对于任何n 阶可逆矩阵P 都有HP AP 为正定矩阵； (3)A 的n 个特征值全大于零；(4)存在n 阶可逆矩阵P ，使得HP AP E =； (5)存在n 阶可逆矩阵Q ，使得HA=Q Q(6)存在正线上三角矩阵R ，使得HA R R =，且分解是唯一的。
2. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解 (或平方根分解或对称三角分解)2.1. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解的可行性 1.以下两个命题等价： 命题[1]1，设n nA C⨯∈是正定Hermitian 矩阵一，则A 可分解为1/21/2()()H H A LDLDLL == 其中1/2L LD= ，L 是单位下三角矩阵，1/2D diag = ， (1,2,,k k n = 是A 的k 阶顺序主子式。
矩阵方程(A ＊XA,B ＊XB)=(C,D)有Hermite半正定解的条件
引言
文［】 １由振动 理论 的一个 逆 问题提 出 了线性 矩 阵方 程 Ａ ＝Ｃ 和 （ ， 一ＹＤ） Ｄ，） Ａ Ｘ４ Ａ ＝（ ０ 具有 半正
定 解 的 可 解 条 件 ，且 利 用 矩 阵 的 奇异 值 分 解 给 出 了 一般 解 的 表 达 式 ．文 【】 论 了更 一 般 的矩 阵 方程 ２讨
ｕ ｉ ｇｔ ｅｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｉ ｇ ｌｒ ａ ｕ ｅ ｏ ｏ ｓｔ ｎ Ｔ ｅｆ ｒ ｆ ｅ ｅ ａ ｏｕ ｉ ｎ ａ ｅａ ｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ． ｓｎ ｅ ｅ ａ ｉ ｄｓｎ ｕ ａ ｌｅｄ ｃ ｍｐ ｉ ｏ ． ｈ ｍｓｏ ｇ ｎ ｒ ｌ ｌ ｔ ｌｏｐ ｅ ｅ ｔｄ ｈ ｚ ｖ ｉ ｏ ｓ ｏ ｒ Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：ｍａｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ｃ ｍｐ ｅ ｓ ｉ ｅ ｓ ｍｉ ｅ ｎ ｔ ；Ｈｅ ｉ ｏ ｉ ｖ ｅ ｄ ｆｎｔ ；ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｉｇ ｌ ａｕ ｔ ｘ ｑ ａ ｉ ； ｏ ｌｘ ｐ ｉ ｖ ｅ ｄ ｆ ｉ ｉ ｏ ｏ ｔ ｉ ｅ ｍ ｅ ｒ ｔ ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｍｉ ｅ ｉ ｉ ｉ ｅ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｓｎ ｕ ａ ｖ ｌ ｅ ｚ ｒ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｉｏ ｉ
（ ， Ｂ ＝ Ｃ Ｄ 存在半正定解的充分必要条件， Ａ Ｂ Ｘ ） （ ，） 且利用矩阵的广义奇异值分解给出了一般解的表 达式． ３、【 也对上述线性矩阵方程问题进行了讨论， ５ 文【 ４ 】 】 文【】 讨论矩阵方程 （’ ＡＢＸ ） （， ） ＡＸ ， ‘Ｂ ＝ Ｃ Ｄ 有复半
矩阵方程X-A~＊ X~(-a)A=O的Hermite正定解
表示 矩阵 的Ｆｏｅｉ 范数． （ ） Ａ （ 分别表示矩 阵 的最大特 ｒ ｎｓ ｂ ｕ Ａ 和 … Ｍ）
Ａ Ａ ０～ Ａ。故Ｘ ∈ ［ ｐ＋Ａ Ａ ． ０， ０ ］证毕．
定 理 ２２ 如 果 对 任 意 的Ｘ ∈ ［ ， Ａ ９ Ａ ， ＿ ｐ ０＋ ］有
ｑＪ 。＜Ａ （ ＡＩ Ｉ 『 Ｑ）， 则矩阵方程（ ） １有唯一正定解 ． 证
Ａ Ａ ０ Ａ成 立， 矩 阵 方程 （） 在 正定 解 ； 还满 足 则 １存 若
２ １ 年０ 月 ０１ ３
内 蒙 古 民 族 大 学 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｅ ｎ ｏｉ ｉｅｓｔ ｏ ｔ ｎ ｌｉｓ ｏ ｒａ ｆＩｎ ｒＭｏ ｇｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｆｒ Ｎａｉ ａｉ ｅ ａ ｙ ｏ ｔ
Ｍａ ．０ｌ ｒ２ １ Ｖｏ ＿７ Ｎｏ２ ｌ１ ．
第 １卷 第 ２ ７ 期
（ Ｚ ０ １— ９ １ Ｘ Ｄ ９０ ０— ）
［ 作者简介 ］ 邵星峰 ， 西华大学数学与计算机学 院硕士研究 生。
５
Ａ Ｘ一 Ａ≤ Ａ 一 Ｑ 成立 。有 Ｑ≤
） Ｑ ＋Ａ Ｑ～ ． 以 ）∈ ． Ａ 所
由 Ｂｏｗ ｒ ｒｕ ｅ不动 点定 理可知，有一个不动点 ∈－ 即 ：厂ｘ）＝Ｑ＋Ａ ． 厂 ｒ ２， （
方程 的应用 相当广泛， 包括控制理论 、 规划 、 动态 统计 、 随机渗入 、 队理论 、 排 梯型网络等多个领域都有重要的应用 ． 本 文 中的矩 阵均指 Ｈ ｒｉ 正定矩 阵， 中的解均指 Ｈ ｒｉ 正定解， 表示全体 ｎ ｎ 实 ） 阵， ｅ ｔ ｍｅ 文 ｅ ｔ ｍｅ ￣ 复（ 矩 矩 阵． 对于方阵 是矩阵 Ｍ的共 轭转 置， ｌ Ｉ 表示全体 ｒ ｎ ｔ 阶 ￣
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Ｑ 一（ 时，
则 对 ① 式 变 形 可 得
（ ） 一 （ 一 ｇ ，
—
：
≥ 一 Ａ ≥ （ ： ， ） 一 Ａ （ 一 Ａ ，
则有
Ａ＊ Ｘ－ ｑ Ａ＞（
即
则方程 （ １ ）有 正定 解 ， 且如 果
霍金丹 ， 梁丽 ， 于娇
（ 东北林业大学）
【 摘
要】非线性矩 阵方程 Ｘ＋ Ａ 一 Ａ＝ Ｑ ， 这里 Ａ是 ｎ阶非奇异复数 阵， Ｑ
为ｑ ≥１阶 Ｈ ｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ正 定距 阵． 在ｇ ≥１时上 面矩 阵方 程有 正定 解 ， 或 者是 此 正定 解 唯一， 并 给 出它们 的 充 分 以及 必要 条 件 ， 接 着 又给 出 了求 上 面方 程 正 定 解 的 迭 代
Ｃ 奴 且 ， Ｂ—
（ Ｂ —
， １ 一 一
是非 奇异 的 ， 则
） 一 ＝ Ｂ一 一 Ｂ一 Ｕ（ Ｖ Ｂ 一 Ｕ 一
有 Ｘ ＜Ｑ， Ａ Ｘ Ａ ＜Ｑ， 根 据不 等式 性质 ， 后 一个 不 等式 可变为 Ｑ ＞Ｘ ＞ Ａ Ｑ Ａ ， 同时也 有 Ｑ
法．
【 关键词】奇异值 ； 酉不变范数 ； 不动点 ； 特征值 ； 谱 范数
中图 分 类 号 ： ０ ２ ４ １ ． ６ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２— ０ ０ ２ ４— ０ ３
≥ Ａ ＞ ０．
０ 引言
奇异 复矩 阵 ， Ｑ是 凡阶 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ 正定 阵 ， 且 ｑ≥ １ ， 为未 知矩 阵 ， 这 样 的非 线 性 矩 阵方 程在 梯 形 网
络， 随机过 滤 ， 动 态 规划 和统 计 中应 用 广 泛 ］ ， 同 时通过众 多 的学者 的研 究 学 习也 取 得 了一定 的成 绩 ．
㈣ ｈ ＝ｑ ｌ ｌ ｌ Ａ ｌ （ （ Ｑ一
（ 妻 吕 ） Ａ Ｑ ） ） Ａ ： （ Ｑ 一
＜ １，
）
Ｑ— Ｘ ＝Ａ Ｘ 一 Ａ ＞［ Ａ ｉ （ Ｑ ） ］ ｑ － １ ×
［ Ａ （ Ｑ） ］ 卜 Ａ Ｑ ～ Ａ，
数 的算子 ， 且令 Ａ 、 为 两个 与 ０有 关 系下界 的正 定算 子 ， 即 Ａ ＞ａ Ｉ 和 Ｂ ＞ａ Ｉ ， 其中 。 为 正数 ， 如果
存 在ｆ 。 ） ， 则 对 于每一个 酉不 变 范数 ｌ ｌ・ｌ ｌ ， 有 ｌ Ｉ （ Ａ）一 （ ）ｌ ｌ ＜ｆ ｏ ）Ｉ Ｉ Ａ 一日 ｌ １ ．
在 这里 要给 出方程
＋Ａ Ａ ＝Ｑ （ １ ）
则 ４ ≤ （ ） Ｂ ｔ ， Ａ ≤ （ ）
ｆ Ｌ１ ｍ ２
正定解 存在 的充 分和 必要条 件 ， 其 中 Ａ是 ｎ阶非
引理 １ ． ３ ７ ３ 令Ｉ 厂为 在 （ ０ ， ∞ ）上 的单 调 函
则
则 方程 （ １ ）有 唯一 的正定 解． 证 明 考 虑 映射 Ｇ （ Ｘ）＝Ｑ— Ａ Ｘ～ Ａ， 且令 Ｘ∈ （ ＝｛ Ｘ： Ｑ— ， ≤ Ｘ ≤ Ｑ一
Ｑ ＞［ １ ￣ ａ ｒ ｉ ｎ （ Ｑ）ｑ － ， ［ Ａ （ Ｑ） ］ Ａ Ｑ１ Ａ ＋Ｘ，
该 文 中遇到 的难题 都可 以根据 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ的不
动点定 理 和 Ｂ ｒ ｏ ｕ ｗ ｅ ｒ 不动 点定 理来 解 决 ， 接 着 根 据方 程 （ １ ）正定 解 存 在 的充 分 和 必 要 条 件 求 出 方程 的解 ， 最后 又给 出 了求解 方 程 （ １ ）正定 解 的
＜Ｘ～， 则 根据 引理 １ ． ２ ， 上面 两式 变 为 Ｘ ＜
引理 １ ． ２ ＿ ６ 令 Ａ和 是 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 问 上
的正算 子 ， 且
ｌ
，≥ Ａ ≥ ｍ１ ， ≥ ０， Ｍ２ ，≥ ≥ｍ ２ ，＞０和
（
Ｑ （ ￣￥ － ｉ ｌ Ｑ
（
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ９— ２ ８
第 ２期
非线性矩阵方程 Ｘ＋ Ａ Ｘ— ｑ Ａ＝Ｑ的 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ正定解
２ ５
②， Ｙ ， ． Ｃ ａ 方程（ １ ） 可变形为
Ｑ —Ｘ ＝Ａ Ｘ～ Ａ ．
定理２ ． ２ 如果当Ｘ ∈［ Ｑ一￣ ／ Ａ Ｑ － Ａ ，
且 Ｘ ∈（ Ｓ， Ｔ ） ， 这里
１ 引用 定理
弓 Ｉ 理 １ ． １ Ｅ Ｓ ］ 令 Ｂ ∈Ｃ ， Ｕ∈Ｃ ， Ｖ∈
Ｓ ＝ √ Ａ Ｑ Ｉ １ Ａ ＋ Ａ Ｑ － １ ［ （ Ａ Ｑ ＿ １ Ａ ） 一 寺一 Ｑ － １ ］ Ｑ － １ Ａ ，
＝
Ｑ一［ Ａ ｉ （ Ｑ 一 ］ 一 。 ［ Ｊ Ｉ （ Ｑ 一 ） ］ 一 Ａ Ｑ 一 Ａ ． 证 明 由于 Ｘ是 方程 （ １ ）的一 个正 定解 ． 则
２ 主 要定 理及 证 明
定理 ２ ． １ 如果 方 程 （ １ ）有 一 个 正定 解 ，
则
Ｑ 一（ Ａ Ｑ Ａ ） ＞
另一 种方 法 ， 即迭 代 法 ， 与此 同 时又 给 出 了推 导 迭代 法 收敛 的一个 充分条 件．
［ Ａ （ Ｑ）
［ Ａ （ Ｑ） ］ 卜 Ａ Ｑ～ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＡ，
第３ １卷
哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ ＵＲ ＡＬ Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｓ Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲ ＢＩ Ｎ Ｎ ＯＲＭＡＬ Ｕ ＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ １ ， Ｎ ｏ ． ２ ２ ０ １ ５
第 ２期
非 线 性 矩 阵 方 程 Ｘ＋ 术 Ｘ Ａ＝Ｑ 的 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ正 定 解