2020百题人精推100-高考数学(理科版)

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2020届高考数学百题精炼系列3(文理合卷) 精品

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2020届高考数学百题精炼系列3一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位.......置上...5.若ω13=-+i 22,则246ωωω++ 等于 5.答案: 06.已知数列{a n }的前n 项和3nn s r =+,则数列{a n }成等比数列的充要条件是r = .6.答案: r = -1 7.计算2211(1)(1)i ii i -++=+-7.答案:-18.观察下列等式:332123,+=33321236,++=33332123410+++=,……,根据上述规律,第五个等式为 ____ ________. 8.【答案】333333212345621.+++++=9.已知复数z 满足34i z --=2,则z 的最大值为 . 9.答案:710.设+++=31211)(n f …1()31n n *+∈-N ,则=-+)()1(n f n f . 10.答案:23113131++++n n n11.已知函数2)()(a x x x f -=在2=x 处有极大值,则a = 。

11.答案:612.12. 已知函数f(x) 在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8,则f ’(1)= . 12.答案: 213.已知扇形的圆心角为2α(定值),半径为R (定值),分别按图一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α,则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 13.答案:2tan 2R α14.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于 .14.[答案]:1-或25-64[解析] 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ,所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-,又(1,0)在切线上,则00x =或032x =-, 当00x =时,由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-,当032x =-时,由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-,二、解答题2α2α图一第12题图图二16.(本小题满分14分)已知p :28200x x -++≥,q :22210(0)x x m m -+-≤>.⑴ 若p 是q 充分不必要条件,求实数m 的取值范围;⑵ 若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 16、(本题14分)解:P :210x -≤≤,Q :11m x m -≤≤+ …………2分 ⑴∵P 是Q 的充分不必要条件, ∴[]2,10-是[]1,1m m -+的真子集. ……………4分0,12,110,m m m >⎧⎪∴-≤-⎨⎪+≥⎩ 9m ∴≥. ……………7分∴实数m 的取值范围为9≥m . ……………8分 ⑵∵“非P ”是“非Q ”的充分不必要条件,∴Q 是P 的充分不必要条件. ……………10分0,12,110,m m m >⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩03m ∴<≤. ……………13分∴实数m 的取值范围为30≤<m .……………18. (本题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *). (1)试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式; (7分) (2)用数学纳法证明你的猜想,并求出a n 的表达式. (8分)(1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n ≥2)∴Sn=n2(Sn-Sn-1),∴Sn=122-n n Sn-1(n ≥2)∵a1=1,∴S1=a1=1.∴S2=34,S3=23=46,S4=58, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分猜想Sn=12+n n(n ∈N*). ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分(2)证明 ①当n=1时,S1=1成立.②假设n=k (k ≥1,k ∈N*)时,等式成立,即Sk=12+k k,当n=k+1时,Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+12+k k, ∴ak+1=()()122++k k ,∴Sk+1=(k+1)2·ak+1=()212++k k =()()1112+++k k ,∴n=k+1时等式也成立,得证.∴根据①、②可知,对于任意n ∈N*,等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分又∵ak+1=)1)(2(2++k k ,∴an=)1(2+n n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分19.(本小题满分16分)两县城A 和B 相距20km ,现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)按下列要求建立函数关系式:(i )设CBA θ∠=(rad ),将y 表示成θ的函数;并写出函数的定义域. (5分) (ii )设AC x =(km ),将y 表示成x 的函数;并写出函数的定义域. (5分) (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小? (6分)解:(1)(i )由题意知, AC=20sin θ, BC=20cos θ,224 (0,)400sin 400cos 2k y πθθθ=+∈---------------------------------2分其中 当4x π=时,y=0.065 , 所以k=9所以2249 (0,)400sin 400cos 2y πθθθ=+∈------------------------------3分(ii )如图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,224(020)400ky x x x =+<<- -----7分其中当102x =时,y=0.065,所以k=9A B C x所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<--------------------10分(2)(i)222222222249400sin 400cos 149=(sin cos ) () 400sin cos 19sin 4cos 13261=(13)400cos sin 40016y θθθθθθθθθθ=++++⨯++≥=g -------------------------------4分当且仅当6tan θ=即当AC 410=时, 即当C 点到城A 的距离为410时, 函数2249 (0,)400sin 400cos 2y πθθθ=+∈有最小值.---------------------------------16分(ii )2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--,令'0y =得422188(400)x x =-,所以2160x =,即410x =, 当0410x <<时, 422188(400)x x <-,即'0y <所以函数为单调减函数,当4620x <<时,422188(400)x x >-,即'0y >所以函数为单调增函数------14分 .所以当410x =时, 即当C 点到城A 的距离为10时,函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值. --16分解法二: (1)同上.20.(本小题满分16分)已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-,且在点(1,(1))f --处的切线与直线510x y -+=垂直. (1) 求实数,b c 的值;(2) 求()f x 在[1,]e - (e 为自然对数的底数)上的最大值; (3) 对任意给定的正实数a ,曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ,使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上?20.(1)当1x <时,2'()32f x x x b =-++, ………2分 由题意得:(1)2'(1)5f f -=⎧⎨-=-⎩,即22325b c b -+=⎧⎨--+=-⎩, ………4分解得:0b c ==。

2020届高考数学百题精炼系列6(文理合卷) 精品

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2020届高考数学百题精炼系列63. 下列结论错误的...是 ( )A .命题“若p ,则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B .命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥,命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; C .“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D .若q p ∨为假命题,则p 、q 均为假命题.【答案】C【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。

【解析】根据四种命题的构成规律,选项A 中的结论是正确的;选项B 中的命题p 是真命题,命题q 是假命题,故p q ∨为真命题,选项B 中的结论正确;当0m =时,22a b am bm <⇒=,故选项C 中的结论不正确;选项D 中的结论正确。

【考点】常用逻辑用语 【点评】本题属于以考查知识点为主的试题,要求考生对常用逻辑用语的基础知识有较为全面的掌握。

4.求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积,其中正确的是( )A.12()S x x dx=-⎰B.12()S x x dx=-⎰C.12()S y y dy=-⎰D.10()S y y dy=-⎰【答案】B【分析】根据定积分的几何意义,确定积分限和被积函数。

【解析】两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[]0,1上,2x x≥,故求曲线2y x=与y x=所围成图形的面12()S x x dx=-⎰。

6.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()正视图侧视图俯视图O thhtOhtOO thA .B .C .D . 【答案】B【分析】可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断。

【解析】容器是一个倒置的圆锥,由于水是均匀注入的,故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少,表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少,正确选项B 。

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={x|log2x<1},集合B={y|y=√2−x},则A∪B=()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,+∞)2.已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),M(−2,−1),则点N的坐标为()A. (5,5)B. (−3,1)C. (1,3)D. (1,1)3.已知命题p:∃x∈R,使得x2−x+2<0;命题q:∀x∈[1,2],使得x2≥1.以下命题为真命题的是()A. ¬p∧¬qB. p∨¬qC. ¬p∧qD. p∧q4.已知点是角α终边上一点,则)A. √32+12B. −√32+12C. √32−12D. −√32−125.已知函数f(x)=xcosx+(a−1)x2是奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x−y=0B. x−y=0C. 2x+y=0D. x−2y=06.若直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数y=tanωx图象的对称中心为()A. (k2,0),k∈Z B. (k,0),k∈ZC. (kπ2,0),k∈Z D. (kπ,0),k∈Z7.已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=e x−1+e1−x−3(e为自然对数的底),则函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为()A. 6B. 8C. 12D. 148.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若,且,则面积为()A. √2B. 2C. 3D. √39.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°,且满足|a⃗−2b⃗ |=2,则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 310. 已知a >1,三个数lna+1a、1a+1、1a 的大小关系是( )A. lna+1a >1a>1a+1B. 1a >lna+1a >1a+1C. 1a >1a+1>lna+1aD. 1a+1>1a >lna+1a11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1),且关于直线x =2π3对称,则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴,则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3],k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)12. 若方程x 3−3ax +2=0(a >0)有三个不同实根,则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a >0C. 1<a <3D. 0<a <1二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 若函数f(x){1,x >0(12)x ,x ≤0则满足f(a)=2的实数a 的值为______.14. 化简1sin70∘−√3cos70°=______. 15. 在△ABC 中,∠B =∠C =60°,AB =2,且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______________. 16. 在△ABC 中,若b =1,c =√3,∠C =2π3,则a =______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(α2)=45,0<α<π3,求cosα的值.18.对于任意非零实数x1,x2,函数f(x)满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2),(1)求f(−1)的值;(2)求证:f(x)是偶函数;(3)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,若f(2x−1)<f(x),求x取值范围.19.如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,∠ACD=45°,∠BCD=90°.(Ⅰ)求证:BC=√2AC;(Ⅱ)若AB=√5,求BC的长.20.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若对任意的−1<x<0,都有f(x)<(a−2)x,求a的取值范围.21.如图,某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果同种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200m,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ的总长度为200m,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1m,AQ段围墙高1.5m,造价均为每平方米100元.若建围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?22.已知函数f(x)=(x2+a)lnx.(1)当a=0时,求f(x)的最小值.(2)若f(x)在区间[1e2,+∞)上有两个极值点x1,x2(x1<x2).(ⅰ)求实数a的取值范围.(ⅰ)求证:−2e2<f(x2)<−12e.【答案与解析】1.答案:D解析:解:A ={x|0<x <2},B ={y|y ≥0}; ∴A ∪B =[0,+∞). 故选:D .可求出集合A ,B ,然后进行并集的运算即可.考查描述法、区间的定义,对数函数的单调性,以及并集的运算.2.答案:C解析:本题考查向量的坐标,属于基础题.设N (a,b ),则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4),即可得N . 解:设N (a,b ),则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4), 所以{a +2=3b +1=4,解得{a =1b =3,所以N(1,3). 故选C .3.答案:C解析:本题主要考查了复合命题的真假判断,属于基础题.解决此题的关键是分别判断命题p 和q 的真假,再结合复合命题的真假判断方法即可求解. 解:对于命题p ,因为△=(−1)2−8<0,故不等式无解,所以p 为假命题; 对于命题q ,因为函数y =x 2在[1,2]上为增函数,所以y min =1,所以∀x∈[1,2],使得x2≥1为真命题,即q为真命题,故¬p∧q为真命题,故选C.4.答案:D解析:本题考查了任意角的三角函数和诱导公式,属于基础题目.现由任意角的三角函数得出,再由诱导公式得出结果.解:由点是角α终边上一点,可得.故选D.5.答案:B解析:解:函数f(x)=xcosx+(a−1)x2,若f(x)为奇函数,可得f(−x)=−f(x),则−xcosx+(a−1)x2=−xcosx−(a−1)x2,即为(a−1)x2=0恒成立,可得a=1,即f(x)=xcosx,f(0)=0函数的导数为f′(x)=cosx−xsinx,可得f(x)在x=0处的斜率为k=f′(0)=1,则f(x)在x=0处的切线方程为y=x.故选:B.由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x),可得a=1,求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由点斜式方程可得切线方程.本题考查函数的奇偶性和导数的运用:求切线方程,考查运算能力,属于基础题.6.答案:A解析:本题主要考查正切函数的图象和性质,属于基础题.由题意利用正切函数的图象和性质,先求出ω,可得函数y=tanωx图象的对称中心.解:直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为πω=1,∴ω=π,函数y=tanωx=tanπx,令πx=kπ2,求得x=k2,可得它的对称中心为(k2,0),k∈Z,故选:A.7.答案:D解析:本题主要考查函数零点的判断,利用函数的周期性和奇偶性,分别判断零点个数找到对称性求解,综合性较强.解:根据f(x)为奇函数,得到f(0)=0,又周期为4,所以f(4)=f(0)=0,f(−2)=−f(2),又周期为4,所以f(−2)=f(2),故f(2)=0,当x∈(0,2)时,f(x)=e x−1+e1−x−3,令t=e x−1∈(1e ,e),f(x)=e x−1+e1−x−3=1t+t−3=g(t),g(t)在(1e,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,g(1e)=g(e)>0,g(1)<0,故g(t)=0有有两个解,即f(x)在(0,2)有两个零点记为x1,x2,则在(−2,0)内有两个零点为−x1,−x2,根据周期为4,得到在(2,4)内有两个零点为x3=4−x1,x4=4−x2,所以函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为0+2+4+x1+x2+4−x1+4−x2=14,故选D.8.答案:A解析:本题考查正弦定理,余弦定理的应用,考查运算求解能力,是基础题.由正弦定理得ac=3,由余弦定理得a2+c2−b2=2,代入“三斜求积”公式计算求解即可.解:由c2sinA=3sinC,得ac=3,又cosB=a2+c2−b22ac =13,得a2+c2−b2=2.所以S=√14×[32−(22)2]=√2.故选A.9.答案:B解析:本题考查了向量的数量积运算性质与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.由题意,利用向量的数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2,即可得出答案.解:∵非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°,且|a⃗−2b⃗ |=2,∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |,即|a⃗||b⃗ |≤2.当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立,∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1,∴a⃗⋅b⃗ 的最大值为1,故选B.10.答案:B解析:本题考查了构造函数的应用问题,也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题,是综合性题目.构造函数f(x)=x−ln(1+x),x>0,利用导数判断f(x)的单调性,得出x>ln(1+x),令x=1a得1 a >ln a+1a;同理,设g(x)=ln(1+x)−x1+x,x>0,得出ln a+1a>1a+1,即得1a>ln a+1a>1a+1.解:设函数f(x)=x−ln(1+x),x>0,∴f′(x)=1−11+x>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)>f(0)=0, ∴x >ln(1+x); 令x =1a ,且a >1, 则1a >ln(1+1a )=lna+1a;同理,设g(x)=ln(1+x)−x1+x ,x >0, ∴g′(x)=11+x −1(1+x)=x(1+x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴g(x)>g(0)=0, ∴ln(1+x)>x1+x ; 令x =1a ,a >1, ∴ln(1+1a )>1a1+1a,即lna+1a >1a+1;综上,1a >ln a+1a>1a+1.故选B .11.答案:D解析:解:函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1), 可得f(0)=2sinφ=1,即sinφ=12,可得φ=π6, 由f(x)的图象关于直线x =2π3对称,可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2, 可得ω=32k +12,由0<ω<1,可得ω=12, 则f(x)=2sin(12x +π6), 由x ∈[π12,2π3],可得12x +π6∈[5π24,π2],显然f(x)递增,故A 错;由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6),取x 0=2π3,f(x 0)=2为最大值,则f′(x0)=cosπ2=0,故B错;f(x)≥1即2sin(12x+π6)≥12,即有2kπ+π6≤12x+π6≤2kπ+5π6,k∈Z,化为4kπ≤x≤4kπ+π3,k∈Z,故C错;由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0,可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0),故D对.故选:D.由题意可得f(0)=1,解得φ,由对称轴可得ω=12,则f(x)=2sin(12x+π6),由正弦函数的单调性可判断A;由对称轴特点和导数,可判断B;由正弦函数的图象可得x的不等式组,解不等式可判断C;由对称中心的特点可判断D.本题考查三角函数的图象和性质,考查单调性和对称性的判断和运用,考查化简运算能力,属于中档题.12.答案:A解析:本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用,同时考查了构造法的应用.易知a=x23+23x,从而令f(x)=x23+23x,求导得f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2,从而判断函数的单调性与极值,从而解得.解:易知0不是方程x3−3ax+2=0的根,故3ax=x3+2,故a=x23+23x,令f(x)=x23+23x,则f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2,故当x∈(−∞,0)∪(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(−∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(1)=13+23=1,在直角坐标系中作出f(x)的示意图。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={x|x<6且x∈N∗},则A的非空真子集的个数为()A. 30B. 31C. 62D. 632.复数z满足z⋅(1+i)=1+3i,则|z|=()A. 2B. 4C. √5D. 53.已知sin(3π2+α)=13,则cosα=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√234.李冶,真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法),用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题:甲乙同立于乾隅,乙向东行不知步数而立,甲向南直行,多于乙步,望见乙复就东北斜行,与乙相会,二人共行一千六百步,又云南行不及斜行八十步,问通弦几何.翻译过来是:甲乙两人同在直角顶点C处,乙向东行走到B处,甲向南行走到A处,甲看到乙,便从A走到B处,甲乙二人共行走1600步,AB比AC 长80步,若按如图所示的程序框图执行求AB,则判断框中应填入的条件为()A. x2+z2=y2?B. x2+y2=z2?C. y2+z2=x2?D. x=y?5.已知袋中有3个红球,n个白球,有放回的摸球2次,恰1红1白的概率是1225,则n=()A. 1B. 2C. 6D. 76. 已知双曲线C :x 24−y 25=1,圆F 1:(x +3)2+y 2=16.Q 是双曲线C 右支上的一个动点,以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切,则以下命题正确的是( )A. ⊙Q 过双曲线C 的右焦点B. ⊙Q 过双曲线C 的右顶点C. ⊙Q 过双曲线C 的左焦点D. ⊙Q 过双曲线C 的左顶点7. 在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,△ABC 内有一点O ,满足:CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ>0,μ>0,4λ+3μ=2,则CO 的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√28. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6,且f(x)在(π,4π3)上单调,则ω的最大值为( )A. 52B. 3C. 72D. 839. 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ,右焦点为F ,延长BF 交椭圆E 于点C ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1),则椭圆E 的离心率e =( ) A. √λ−1λ+1B. λ−1λ+1C. √λ2−1λ2+1D. λ2−1λ2+110. 已知(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ,其中a 0+a 1+⋯+a n =243,则a1+a 12+a 23+⋯+a n n+1=( )A. 182B.1823C. 913D.182911. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,最长的棱的长度为( )A. 2√3B. 2√2C. 3D. √612. 已知函数f(x)=a+lnx x,g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数),∃x ∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立,则实数a 的最小值为( )A. 1B. eC. 2D. ln2二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知f(x)=xlg(√x 2+a +x)是偶函数,则f(2x −1)≤f(x)的解集为______.14.已知x,y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,目标函数z=−2x+y的最大值为2,则实数k的取值范围是______.15.已知点O(0,0),A(4,0),M是圆C:(x−2)2+y2=1上一点,则|OM||AM|的最小值为______.16.公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点A处测得楼顶的仰角为45°,行走80米到点B处,测得仰角为30°,再行走80米到点C处,测得仰角为θ.则tanθ=______.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17.已知数列{a n}满足a1=13,a2=415,且数列{√a n4a n−1}是等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.18.四棱锥P−ABCD中,PA=AD=2,AB=BC=CD=1,BC//AD,∠PAD=90°.∠PBA为锐角,平面PBA⊥平面PBD.(1)证明:PA⊥平面ABCD;(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.19.直线l过点(4,0),且交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,∠AOB=90°.(1)求p;(2)过点(−1,0)的直线交抛物线于M,N两点,抛物线上是否存在定点Q,使直线MQ,NQ斜率之和为定值,若存在,求出Q点坐标,若不存在,说明理由.20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡,城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡,A饭店每天需要的数量是14~18之间的一个随机数,去年A饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x(单位:只)的统计情况如表:这300天内(假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样),养鸡厂每天出栏土鸡7a(14≤a≤18)只,送到城里的这7个饭店,每个饭店a只,每只土鸡的成本是40元,以每只70元的价格出售,超出饭店需求量的部分以每只56−a元的价钱处理.(Ⅰ)若a=16,求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y(单位:元)关于需求量x(单位:只,x∈N∗)的函数解析式;(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率,若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡,为了获取最大利润,你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只?21. 已知函数f(x)={x 24e 2,x ≥02x,x <0,g(x)=ln(x +a).(1)若f(x),g(x)有公共点M ,且在点M 处有相同的切线,求点M 的坐标; (2)判定函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[0,+∞)上的零点个数.22. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =2+tcosϕy =1+tsinϕ(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ.(Ⅰ)当φ=π3时,把直线l 的参数方程化为普通方程,把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且A ,B 中点为M(2,1),求直线l 的斜率.23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x −2|.(Ⅰ)若f(x)≥3恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)f(x)≤x 的解集为[2,m],求a 和m .答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵集合A={x|x<6且x∈N∗}={1,2,3,4,5},故A的子集个数为25=32,非空真子集个数为30.故选:A.求出集合A={x|x<6且x∈N∗}={1,2,3,4,5},由此能求出A的非空真子集个数.本题考查集合的非空真子集的个数的求法,考查子真子集等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】C【解析】解:由z⋅(1+i)=1+3i,得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i,∴|z|=√5.故选:C.把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数模的计算公式求解.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.3.【答案】B【解析】解:sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13,故cosα=−13.故选:B.利用两角和与差公式直接求解.本题考查三角函数值的求法,考查两角和与差公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.4.【答案】A【解析】解:由题知,AC=x,AB=y,BC=z,由勾股定理可知x2+z2=y2.故选:A.模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得判断框中应填入的条件.本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.5.【答案】B【解析】解:袋中有3个红球,n个白球,有放回的摸球2次,恰1红1白的概率是1225,则p=33+n ×n3+n+n3+n×33+n=1225,解得n=2.故选:B.利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果.本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【答案】A【解析】解:如图;因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切,∴QF1=4+r;∵QF1−QF2=2a⇒QF1=2a+QF2=4+QF2;∴r=QF2;故圆Q过双曲线C的右焦点;故选:A.根据两圆外切得到QF1=4+r;再结合双曲线的定义即可求解结论.本题考查双曲线的方程和性质以及两圆的位置关系,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于基础题.7.【答案】C【解析】解:△ABC 中,AB 2=AC 2+BC 2, ∴AC ⊥BC , ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2+9μ2, ∵λ>0,μ>0,4λ+3μ=2, ∴2−4λ>0,解得λ<12, ∴0<λ<12.∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=16λ2+9μ2=16λ2+(2−4λ)2=32(λ−14)2+2,∴∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2≥2, ∴CO 的最小值为√2. 故选:C .根据题意,易知△ABC 为直角三角形,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,根据题意,确定λ的取值范围,给CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方,化为关于λ的二次函数,求得最值再开平方即得答案. 本题主要考查平面向量的模长公式和数量积的应用,需要学生有转化的思想,属于中档题,解题时要认真审题.8.【答案】D【解析】解:函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =−π6, 整理得:x =kω6−π6(k ∈Z), 由于f(x)在(π,4π3)上单调,所以{k 0πω−π6≤π(k0+1)πω−π6≥4π3,解得:67k 0≤ω≤23(k 0+1),由于ω>0,所以{k 0>067k 0≤23(k 0+1),解得0<k 0≤72.所以k 0=1,2,3,当k 0=3时,ω的最大值为83. 故选:D .首先利用正弦型函数的对称轴建立等量,进一步利用函数的单调性的应用求出结果. 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.9.【答案】A【解析】解:设C(x,y),根据BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得:{c =λ(x −c)−b =λy ,则{x =(1+λ)λc y =−b λ, 因为C 在椭圆上,带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1,即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1,则e =√λ−1λ+1.故选:A .设点C(x,y),利用条件BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得{x =(1+λ)λcy =−bλ,代入椭圆方程整理即可求得e 的值. 本题考查椭圆离心率的表示,抓住向量表示是关键,属于中档题.10.【答案】B【解析】解:(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n , 令x =1,则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243,解得n =5.∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ,∴a k =2k ∁5k ,∴a k k+1=2k ∁5k k+1.则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823.故选:B .(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ,令x =1,可得3n =a 0+a 1+⋯+a n =243,解得n =5.利用(1+2x)5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5kk+1.代入即可得出.本题考查了二项式定理、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.【答案】C【解析】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四面体ABCD ,四面体所在正方体的棱长为2,则棱长分别为:AB =CD =√5,AC =2√2,BC =1,BD =√6,BD =3. 最长的棱的长度为3. 故选:C .由三视图还原原几何体如图,该几何体为四面体ABCD ,四面体所在正方体的棱长为2,分别求出六条棱的长度得答案.本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.12.【答案】A【解析】解:∵f(x)=a+lnx x,g(x)=e x −1(e 为自然对数的底数),∃x ∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立, 即∃x ∈(0,+∞),使得a+lnx x ≥e x −1成立,即∃x ∈(0,+∞),使得a ≥xe x −x −lnx 成立. 令g(x)=xe x −x −lnx(x >0), 则a ≥g(x)min ,∵g′(x)=(1+x)e x −1−1x (x >0),∴g″(x)=(2+x)e x +1x 2>0,∴g′(x)=(1+x)e x −1−1x 在(0,+∞)上单调递增, 又g′(13)=43e 13−4<0,g′(1)=2e −2>0,∴∃x 0∈(13,1)使得g′(x 0)=0,此时g(x)=xe x −x −lnx 取得极小值,也是最小值. 令g′(x 0)=0,则(1+x 0)e x 0=1+x 0x 0,即e x 0=1x 0.∴g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0=1−x 0−lne −x 0=1,即g(x)min =1, ∴a ≥1,∴实数a的最小值为1,故选:A.∃x∈(0,+∞),使得f(x)≥g(x)成立,分离参数a,可转化为∃x∈(0,+∞),使得a≥xe x−x−lnx成立.构造函数g(x)=xe x−x−lnx(x>0),利用导数法可求得g(x)min,从而可得答案.本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值,考查等价转化思想与函数与方程思想,考查推理能力与综合运算能力,是难题.13.【答案】[13,1]【解析】解:∵f(x)为偶函数,y=x为奇函数,∴g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数,∴g(0)=0,解得a=1,对0<x1<x2,可知0<g(x1)<g(x2),故0<x1g(x1)<x2g(x2),∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(2x−1)≤f(x)等价于|2x−1|≤|x|,即(2x−1)2≤x2,解得13≤x≤1,即f(2x−1)≤f(x)的解集为[13,1].故答案为:[13,1].根据题意,利用复合函数的奇偶性,得出g(x)=lg(√x2+a+x)为奇函数,g(0)=0,解得a=1,利用函数的单调性解不等式,即可求出f(2x−1)≤f(x)的解集.本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式,考查计算求解能力.14.【答案】(−1,2]【解析】解:x,y满足线性约束条件{x+y−2≥0,x≤2,kx−y+2≥0,表示的可行域如图:目标函数化为y=2x+z,z=2时,可知:最优解在直线2x−y+2=0上,而(0,2)在可行域内,且满足2x−y+2=0.故可知:实数k的取值范围是(−1,2].故答案为:(−1,2].画出约束条件的可行域,利用目标函数的最大值,结合直线系结果的定点,转化求解实数k的取值范围.本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.【答案】13【解析】解:如图,由图可知,当M为(1,0)时,|OM|最小为1,|AM|最大为3.则|OM||AM|的最小值为13.故答案为:13.由题意画出图形,通过图形得到|OM|的最小值与|AM|的最大值,则答案可求.本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.16.【答案】3√7777【解析】解:如图;DE⊥面ACE,∠EAB=45°,∠EBD=30°;由题可得:AE=DE=60;AB=BC=80;∴EB=DEtan30∘=60√3;∴cos∠EAB=AE2+AB2−BE22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC =20√77;∴tanθ=6020√77=3√7777;故答案为:3√7777. 画出示意图,知道边长和角度,然后利用cos∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ,即可求出结论.本题考查三角形的实际应用,根据条件画出示意图是解决本题的关键,理解本题是立体图形.17.【答案】解:(1)由a 1=13,a 2=415,可得√a 14a 1−1=1,√a 24a 2−1=2,∵数列{√an4a n−1}是等差数列,且首项为1,公差d =1,∴√an 4a n−1=n ,∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1), ∴S n =n 4+18[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n 4+18−116n+8.【解析】(1)先由题设条件求√an4a n−1,再求出a n ;(2)由(1)中求得的a n ,再利用裂项相消法求出S n . 本题主要考查等差数列及裂项相消法求和,属于基础题.18.【答案】解:(1)证明:作AM ⊥PB 于M ,则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD . 取AD 中点为Q ,则BC −//̲QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°.又∠PBA 为锐角,∴M 、B 不重合.{DB ⊥AB DB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD .(2)取AQ 中点H ,如图建立空间直角坐标系(其中x 轴与HB 平行), 则B(√32,12,0),C(√32,32,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由(1)的证明知:平面PAB 的法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,0).设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{2y −2z =0−√32x +12y =0. 令x =1⇒m =(1,√3,√3),cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√32+3√32√3⋅√7=√77.平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值:√77.【解析】(1)作AM ⊥PB 于M ,推出AM ⊥BD.取AD 中点为Q ,通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD .(2)取AQ 中点H ,建立空间直角坐标系,求出平面PAB 法向量,平面PCD 法向量,利用空间向量的数量积求解即可.本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理能力,计算能力.19.【答案】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由∠AOB =90°,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 可得x 1x 2+y 1y 2=0,即有y 122p⋅y 222p +y 1y 2=0,即y 1y 2=−4p 2, 设直线l 的方程为x =my +4,联立抛物线的方程y 2=2px ,可得y 2−2pmy −8p =0, 则y 1y 2=−8p =−4p 2,可得p =2;(2)抛物线上假设存在定点Q ,使直线MQ ,NQ 斜率之和为定值.设Q(x 0,y 0),MN 的方程为x =ty −1,代入抛物线的方程y 2=4x ,可得y 2−4ty +4=0,则y M +y N =4t ,y M y N =4,则k MQ +k NQ =y M −y 0x M−x 0+y N −y0x N−x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N=4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y 02)4y 0(t+y 02+44y 0).当且仅当y 02=4+y 024y 0时,上式为定值.解得y 0=±2.故Q(1,2)或(1,−2).【解析】(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程,解方程可得p ;(2)抛物线上假设存在定点Q ,使直线MQ ,NQ 斜率之和为定值.设Q(x 0,y 0),MN 的方程为x =ty −1,联立抛物线的方程,运用韦达定理和斜率公式,计算可得结论. 本题考查直线和抛物线的位置关系,注意直线方程与抛物线的方程联立,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.20.【答案】解:(Ⅰ)当x <a 时,y =(70−40)x +(56−a −40)(a −x)=(14+a)x +16a −a 2,当x ≥a 时,y =30a ,∴y ={(14+a)x +16a −a 2,x <a30a,x ≥a (x ∈N ∗),由a =16,得y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗); (Ⅱ)若出栏112只,则a =16,y ={30x,x <16480,x ≥16(x ∈N ∗).记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润, Y 1可求420,450,480.P(Y 1=420)=0.15,P(Y 1=450)=0.2,P(Y 1=480)=0.65, Y 1的分布列为:E(Y 1)=420×0.15+450×0.2+480×0.65=465; 若出栏119只,则a =17,y ={31x −17,x <17510,x ≥17(x ∈N ∗). 记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润, Y 2可求417,448,479,510.P(Y 2=417)=0.15,P(Y 2=448)=0.2,P(Y 2=479)=0.25,P(Y 2=510)=0.4, Y 2的分布列为:E(Y 2)=417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4=475.9. ∵E(Y 1)<E(Y 2),∴养鸡场出栏119只时,或利润最大.【解析】(Ⅰ)根据每只鸡的成本为40元,饭店给鸡场每只结算70元,如果每个饭店当天的需求量x <a ,剩下的鸡只能以每只56−a 元的价格处理,建立分段函数模型,再将a =16代入求解;(Ⅱ)根据离散型分布列的特点,分类讨论,分别求出出栏112与119只时的期望,比较大小得结论.本题主要考查样本估计总体,考查分段函数的应用与运算求解能力,考查离散型随机变量的分布列与期望,是中档题.21.【答案】解:(1)设M(x 0,y 0),则当x 0≥0时,{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②, 由②得x 0+a =2e 2x 0,代入①得x 024e 2=ln2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0,对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx,求导得φ′(x)=x2e 2+1x >0, ∴φ(x)为增函数,且φ(2e)=0,故x 0=2e ;当x 0<0时,{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a,则2x 0=ln 12,即x 0=−ln22; 综上,M 的坐标为(2e,1)或(−ln22,−ln2);(2)由(1)知,x 0=2e 时,a =−e,ℎ(x)=x 24e 2−ln(x −e),则ℎ′(x)=x2e 2−1x−e ,ℎ″(x)=12e2+1(x−e)2>0,故ℎ′(x)在定义域上单调递增,则易知ℎ′(x)有唯一零点为x =2e ,则ℎ(x)≥ℎ(2e)=0, 故ℎ(x)有唯一零点; 当a <−e 时,ℎ(x)=x 24e2−ln(x +a)>x 24e 2−ln(x −e)≥0,ℎ(x)无零点;当−e <a ≤1时,ℎ′(x)=x 2e 2−1x+a 在[0,+∞)上至多一个零点,ℎ(x)在(0,+∞)上至少两个零点,而ℎ(0)=−lna ≥0,ℎ(2e)=1−ln(2e +a)<0,x →+∞时,ℎ(x)→+∞, 故ℎ(x)在(0,2e),(2e,+∞)上各一个零点;当a >1时,ℎ′(x)=x2e 2−1x+a 满足ℎ′(0)<0,ℎ′(2e)>0,故在(0,2e)上,ℎ′(x)仅一个零点,设为m ,在(0,m)上,ℎ(x)为减函数,在(m,+∞)上,ℎ(x)为增函数,而ℎ(0)=−1a <0,ℎ(m)<ℎ(0)<0,x →+∞时,ℎ(x)→+∞, 故仅在(m,+∞)上有一个零点.综上可得,当a <−e 时,ℎ(x)无零点;当a =−e 或a >1时,ℎ(x)有1个零点;当−e <a ≤1时,ℎ(x)有2个零点.【解析】(1)设M(x 0,y 0),分x 0≥0和x 0<0两种情况讨论,每种情况下利用两个函数在x =x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解;(2)结合(1)中得到的结论,分a=−e、a<−e、−e<a≤1、a>1四种情况讨论.本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数,考查分类讨论思想,属于压轴题目.22.【答案】解:(Ⅰ)直线l的普通方程为:√3x−y+1−2√3=0;椭圆C的直角坐标方程为:x216+y212=1.(Ⅱ)将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得:(3+sin2φ)t2+(12cosφ+ 8sinφ)t−32=0,由题意得:t1+t2=0,故12cosφ+8sinφ=0⇒k=tanφ=−32,所以直线l的斜率为−32.【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力生的运算能力,属于基础题型.23.【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣,当且仅当(x−a)(x−2)≤0时取等号,故f(x)的最小值为∣a−2∣,∴∣a−2∣≥3⇔a≥5或a≤−1.(Ⅱ)由不等式解集的意义可知:x=2时,f(2)=2,即∣a−2∣=2,解得a=0或4.a=0时,如图所示:不合题意,舍去;a=4时,如图所示:由y=x与y=2x−6,解得:x=6.即m=6,综上,a=4,m=6.【解析】(Ⅰ).根据绝对值三角不等式,由f(x)=|x−a|+|x−2|≥∣(x−a)−(x−2)∣=∣a−2∣,求得f(x)最小值,再由∣a−2∣≥3求解;(Ⅱ)不等式的解集与相应方程根的关系,当x=2时,f(2)=2,即∣a−2∣=2,解得a=0或4.再分类求解.本题主要考查绝对值不等式和不等式的解集与相应方程根的关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合A={x∈R|x>1},B={x∈R|x2≤4},则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数,其中m是实数,则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师,其中一线教师280名,行政人员55人,后勤人员25人,采取分层抽样,拟抽取一个容量为72的样本,则一线教师应该抽取()人.A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,−7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图,若输入x=2,则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中,有问题“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”,意思是:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,无宽,高1丈(如图).问它的体积是多少?”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 7=4,则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中,已知各项系数之和为64,则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图,已知双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ,若∠PAQ =60°,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(0)=12,则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a2n=n−a n,a2n+1=a n+1,则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,−2),则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ .14.设变量x,y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是.15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________.16.已知函数的部分图象如图所示,则f(0)=__________.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17.如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,AD=1,BD=2√10,∠CAD=π4,tan∠ADC=−2,(1)求CD的长;(2)求ΔBCD的面积。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷和答案(理科)(三)(全国ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷和答案(理科)(三)(全国ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(三)(全国Ⅱ卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合M={x∈N|x≤6},A={﹣2,﹣1,0,1,2},B ={y|y=x2,x∈A},则∁M B=()A.{2,5,6}B.{2,3,6}C.{2,3,5,6}D.{0,2,3,5,6}2.(5分)已知i是虚数单位,z(2﹣i)=5(1+i),则=()A.1+3i B.1﹣3i C.﹣1+3i D.﹣1﹣3i 3.(5分)在△ABC中C=4,D为BC上一点,且,AD=2,则BC的长为()A.B.C.4D.4.(5分)在正多边形中,只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙,分别是正三角形、正方形、正六边形,称之为“正多边形的镶嵌规律”.已知如图所示的多边形镶嵌的图形T,在T 内随机取一点,则此点取自正方形的概率是()A.B.C.D.5.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.6.(5分)已知O为坐标原点,双曲线的右焦点为F,点A,B分别在双曲线C的两条渐近线上,AF⊥x轴,四边形OAFB为梯形,则双曲线C离心率的取值范围是()A.B.(,+∞)C.(1,)D.(,+∞)7.(5分)函数f(x)=(x2﹣2|x|)e|x|的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)如图给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是()A.i≤4034?B.i≤4036?C.i≤4038?D.i≤4042?9.(5分)已知大于1的实数x,y满足log x2x=log y3y,则下列结论正确的是()A.B.ln(x2+1)<ln(y2+1)C.tanx<tany D.10.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x﹣y﹣2=0对称的不同两点P 和Q,则线段PQ的中点坐标为()A.(1,﹣1)B.(2,0)C.(,﹣)D.(1,1)11.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1,四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形,M,N分别是C 1B1,CC1的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.12.(5分)设函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)在区间上单调,且,当时,f(x)取到最大值4,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则函数零点的个数为()A.4B.5C.6D.7二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)已知向量=(2,1),=(2,﹣1),则•(2﹣)=.14.(5分)已知曲线f(x)=ln(a+x)(a∈R)在(0,0)处的切线方程为y=x,则满足0≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围为.15.(5分)若,则=.16.(5分)某饮料厂生产A、B两种饮料.生产1桶A饮料,需该特产原料100公斤,需时间3小时;生产1桶B饮料需该特产原料100公斤,需时间1小时,每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍,每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤,每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间,每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍,若该饮料厂每天生产A饮料m桶,B饮料n桶时(m,n∈N*)利润最大,则m+n=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1=2,a3a7=322,数列{b n}的前n项和为S n=n2﹣n,(Ⅰ)求{a n}与{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=,求数列{c n}的前2n项和T2n.18.(12分)已知某快递公司收取快递费的标准是:重量不超过1kg的包裹收费10元;重量超过1kg的包裹,在收费10元的基础上,每超过1kg(不足1kg,按1kg计算)需再收5元.该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜,该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表:表1(0,1](1,2](2,3](3,4](4,5]包裹重量(kg)包裹数402520105损坏件数13230表2(0,1](1,2](2,3](3,4](4,5]包裹重量(kg)出厂价(元2025304050 /件)60657090110卖价(元/件)(Ⅰ)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值;(Ⅱ)将包裹重量落入各组的频率视为概率,该工艺品厂家承担全部运费,每个包裹只有一件产品,如果客户收到有损坏品的包裹,该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家.现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2,3]和(3,4]内的工艺品各1件,求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望.19.(12分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,△ABD是等边三角形,BC⊥CD,BC=CD=,E为三棱锥A﹣BCD外一点,且△CDE 为等边三角形.(Ⅰ)证明:AC⊥BD;(Ⅱ)若平面ABD⊥平面BCD,平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为.求BE的长.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:的四个顶点围成的四边形面积为,圆O:x2+y2=1经过椭圆E 的短轴端点.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于A,C和B,D四点,求四边形ABCD面积的最小值.21.(12分)已知函数f的最小值为0.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)﹣﹣m有两个零点x1,x2,且x1<x2,求证:x1+x2>1.请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所选涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A,B,C的极坐标分别为(4,),(4,),(4,),且△ABC的顶点都在圆C2上,将圆C2向右平移3个单位长度后,得到曲线C3.(Ⅰ)求曲线C3的直角坐标方程(Ⅱ)设M(1,1),曲线C1与C3相交于P,Q两点,求|MP|•|MQ|的值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|3x﹣1|+|x﹣2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若m>1,n>1,对∀x∈R,不等式恒成立,求mn的最小值.2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(三)(全国Ⅱ卷)答案与解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【分析】求出集合M,B,再计算即可.【解答】解:已知集合M={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={y|y=x2,x∈A}={0,1,4},则∁M B={2,3,5,6},故选:C.2.【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:由z(2﹣i)=5(1+i),得z=,则.故选:B.3.【分析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值.【解答】解:在△ABC中C=4,D为BC上一点,如图所示:设BD=x,且,所以DC=2x,AD=2,在△ABD中,利用余弦定理:①,在△ADC中,利用余弦定理:42=22+(2x)2﹣2×2×2x•cos∠ADC②,由于cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由①得:,代入②得:,解得x=.所以BC=3x=,故选:D.4.【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积,代入几何概型计算公式即可.【解答】解:设正方形的边长为1;则对应正三角形的边长也为1;整个图形是有三个正方形和7个三角形组合而成;所以在T内随机取一点,则此点取自正方形的概率P===;故选:B.5.【分析】由三视图还原原几何体,该几何体为组合体,上半部分是半径为1的半球,下半部分为正四棱锥,底面是边长为2的正方形,高为.再由球与棱锥体积公式求解.【解答】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分是半径为1的半球,下半部分为正四棱锥,底面是边长为2的正方形,高为.则该组合体的体积V=.故选:A.6.【分析】求出A的坐标,然后求解B的坐标,利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可.【解答】解:O为坐标原点,双曲线的右焦点为F,点A,B分别在双曲线C的两条渐近线上,AF⊥x轴,四边形OAFB为梯形,可得A(c,),BF的方程为:y=,与y=﹣联立,可得B(,﹣),,可得(﹣)•(,)<0,可得:,,可得3c2<4a2,所以1<e<.故选:A.7.【分析】根据题意,分析可得f(x)为偶函数,排除C,计算f(1)的值,排除AD,即可得答案.【解答】解:根据题意,f(x)=(x2﹣2|x|)e|x|,则有f(﹣x)=(x2﹣2|x|)e|x|=f(x),即函数f(x)为偶函数,排除C,又由f(1)=(1﹣2)e=﹣e,排除AD;故选:B.8.【分析】根据算法的功能确定跳出循环的i值,可得判断框内的条件式子.【解答】解:算法的功能是计算的值,易知正项的分母为2,6,10,…,4038成等差数列,所以判断框中i=4038,继续执行,故终止程序运行的i值为4038,∴判断框内处应为i≤4038.故选:C.9.【分析】大于1的实数x,y满足log x2x=log y3y,可得log x2=log y3,1<x<y.再利用函数的单调性即可判断出结论.【解答】解:大于1的实数x,y满足log x2x=log y3y,∴log x2=log y3,∴1<x<y.∴ln(x2+1)<ln(y2+1).故选:B.10.【分析】曲线C:y2=2x.设P(x1,y1),Q(x1,y1),线段PQ 的中点M(x0,y0),直线l垂直平分线段PQ,设其方程为y=﹣x+b,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理转化求解即可.【解答】解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0)因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为﹣1,设其方程为y=﹣x+b,由,消去x得y2+2y﹣2b=0,由P和Q是抛物线C的两相异点,得y1≠y2,从而△=4﹣4×1×(﹣2b)=8b+4>0(*),因此y1+y2=﹣2,所以y0=﹣1,又M(x0,y0)在直线l上,所以x0=1,所以点M(1,﹣1),此时b=0满足(*)式,故线段PQ的中点M的坐标为(1,﹣1).故选:A.11.【分析】推导出AC⊥BC,以C为原点,CA为x轴,CB为y 轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值.【解答】解:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1,四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形,M,N分别是C 1B1,CC1的中点,∴AC⊥BC,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),M(0,1,2),A(2,0,0),N(0,0,1),=(0,﹣1,2),=(﹣2,0,1),设异面直线BM与AN所成角为θ,则cosθ===.∴异面直线BM与AN所成角的余弦值.故选:B.12.【分析】由题知f(x)=asinωx+bcosωx=,由得出对称中心及对称轴,得出T,再得出f (x)解析式,再由变换得出g(x),再分别画出g(x)与图象,即可得出结论.【解答】解:f(x)=asinωx+bcosωx=(ω>0),所以,即0<ω≤3,又,所以为f(x)对称轴;且,则为f(x)的一个对称中心,由于0<ω≤3,所以与为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心,则,∴ω=2,又,且,解得,故,由图象变换得,g(x)在处的切线斜率为,又在处的切线斜率不存在,即切线方程为,所以右侧g(x)图象较缓,如图所示:同时时,,所以的零点有7个,故选:D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.【分析】直接代入数量积求解即可.【解答】解:因为向量=(2,1),=(2,﹣1),∴2﹣=(2,3);则•(2﹣)=2×2+(﹣1)×3=1;故答案为:1.14.【分析】根据切线方程可求得参数a,进而解出不等式组即可【解答】解:因为f′(x)=,所以f′(0)=,f(0)=lna,则曲线在(0,0)处的切线方程为y=x+lna,所以=1,lna=0,解得a=1,所以f(x)=ln(x+1),则0≤f(x﹣2)≤1即0≤ln(x﹣1)≤1,所以1≤x﹣1≤e解得2≤x≤e+1,故答案为[2,e+1].15.【分析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin(α+)的值,再利用二倍角的余弦公式求得cos(+2α)的值.【解答】解:由,即sinα+cosα+cosα=﹣,所以sinα+cosα=﹣,即sin(α+)=﹣,所以=1﹣2sin2(α+)=1﹣2×=.故答案为:.16.【分析】设每天A,B两种饮料的生产数量分别是x桶,y桶,则有,作出可行域,目标函数为z=1.5x+y,则y=﹣1.5x+z,z表示直线在y轴上的截距,求出当直线y=﹣1.5x+z 经过点(4,3),即m=4,n=3时,利润最大,由此能求出结果.【解答】解:设每天A,B两种饮料的生产数量分别是x桶,y桶,则有,则其表示的可行域如图中阴影部分所示,目标函数为z=1.5x+y,则y=﹣1.5x+z,z表示直线在y轴上的截距,∵x,y只取整数,∴当直线y=﹣1.5x+z经过点(4,3),即m=4,n=3时,利润最大,∴该饮料厂每天生产A饮料m桶,B饮料n桶时(m,n∈N*)利润最大时,m+n=7.故答案为:7.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.【分析】本题第(Ⅰ)题设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),然后根据等比中项的性质a3a7==322,进一步计算可得公比q 的值,即可得到数列{a n}的通项公式,然后利用公式b n=可计算出数列{b n}的通项公式;第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果写出数列{c n}的通项公式,然后运用奇偶项分别求和的分组求和法计算出前2n项和T2n.【解答】解:(Ⅰ)由题意,设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),则a 3a7==322,故a5=32.q4==16=24.解得q=2.∴数列{a n}的通项公式为a n=2•2n﹣1=2n,n∈N*.当n=1时,b1=S1=12﹣1=0,当n≥2时,b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣(n﹣1)2+(n﹣1)=2n﹣2.∴数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣2,n∈N*.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=.∴T2n=c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n=21+2+23+6+…+22n﹣1+(4n﹣2)=(21+23+…+22n﹣1)+[2+6+…+(4n﹣2)]=+=•22n+1+2n2﹣.18.【分析】(Ⅰ)由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值.(Ⅱ)重量在(2,3]的产品数为20,其损坏率为=0.1,重量在(3,4]的产品数为10,其损坏率为,设重量在(2,3]的这件产品的利润记为X,重量在(3,4]的这件产品的利润记为Y,X+Y的可能取值为45,2,﹣9,﹣52,分别求出相应的概率,由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为:=(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75(元).(Ⅱ)重量在(2,3]的产品数为20,其损坏率为=0.1,重量在(3,4]的产品数为10,其损坏率为,设重量在(2,3]的这件产品的利润记为X,则X1=70﹣30﹣20=20,X2=﹣(30+20)+30×0.9=﹣23.设重量在(3,4]的这件产品的利润记为Y,则Y1=90﹣40﹣25=25,Y2=﹣(40+25)+40×0.9=﹣29,∴X+Y的可能取值为45,2,﹣9,﹣52,∴P(X+Y=45)=0.9×0.7=0.63,P(X+Y=2)=0.1×0.7=0.07,P(X+Y=﹣9)=0.9×0.3=0.27,P(X+Y=﹣52)=0.1×0.3=0.03,∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为:利润452﹣9﹣52P0.630.070.270.03期望E(X+Y)=45×0.63+2×0.07+(﹣9)×0.27+(﹣52)×0.03=24.5.19.【分析】(I))取BD的中点O,连接OC,OA,现证明BD⊥平面AOC,再得到结论;(II)以O为原点,OC,OD,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设∠EFG=θ,求出平面ECD和平面ABD的法向量,利用夹角公式求出二面角的余弦值,求出E的坐标,得出结论.【解答】解:(I)取BD的中点O,连接OC,OA,根据题意,AO⊥BD,又BC=CD,故CO⊥BD,又CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC,又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD;(II)由平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD,以O为原点,OC,OD,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,BD=2,AO=,取CD的中点F,连接OF,显然CD⊥平面EOF,故OF=,EF=CD=,则O(0,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,),B(0,﹣1,0),F(),设∠EFG=θ,则E(,cosθ+),设平面ECD的法向量为,则,即,得,平面ABD的法向量为,由|cos<>|=,sinθ=,cosθ=,故E(1,1,1)或者(0,0,1)(舍弃),故BE=.20.【分析】(Ⅰ)根据题意列出关于a,b,c的方程组,解出a,b,c的值,即可得到椭圆E的方程;(Ⅱ)对直线AC的斜率分情况讨论,当直线AC的斜率不存在或为0时,S四边形ABCD=2,当直线AC的斜率存在时,不妨设为k (k ≠0),则直线BD的斜率为﹣,直线AC的方程为:y=k(x﹣1),与椭圆方程联立,利用弦长公式求出|AC|=,将k替换为﹣,得|BD|=,所以S四边形ABCD=,令t=1+k2,则t>1,利用二次函数的性质即可求出S四边形ABCD≥,因为2,所以四边形ABCD 的面积的最小值为.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:,解得,∴椭圆E的方程为:;(Ⅱ)易知椭圆E的右焦点坐标为(1,0),①当直线AC的斜率不存在或为0时,S四边形ABCD==,②当直线AC的斜率存在时,不妨设为k (k≠0),则直线BD的斜率为﹣,直线AC的方程为:y=k(x﹣1),联立方程,消去y得:(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,右焦点在椭圆E内,故此方程的△>0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则有,,∴|AC|==,将k替换为﹣,得|BD|=,∴S四边形ABCD==,令t=1+k2,则t>1,∴S四边形ABCD==,当t=2,即k=±1时,等号成立,∵2,∴四边形ABCD 的面积的最小值为.21.【分析】(I)先对函数求导,结合导数与单调性关系可求函数的单调性,进而可求最小值,然后结合已知即可求解a;(II)由题意可得,0=lnx1+﹣1﹣m,,两式相减可得ln=,然后结合式子特点适当构造函数,即可证明【解答】解:(I)因为f=ln(ax)+,x >0=,易得当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数单调递减,当x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数单调递增,故当x=a时,函数取得最小值f(a)=lna2=0,故a=1,f(x)=lnx+.(II)由(I)可得f(x)=lnx+,所以g(x)=lnx+﹣1﹣m,因为g(x)=f(x)﹣﹣m有两个零点x1,x2,且x1<x2,所以0=lnx1+﹣1﹣m,,两式相减可得ln=,故x1x2=,则x1=,,令t=,则0<t<1,x1+x2=,令h(t)=,0<t<1,则=>0恒成立,故h(t)在(0,1)上单调递增,h(t)<h(1)=0,所以t﹣<2lnt<0,所以,故x1+x2>1.请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所选涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.【分析】(Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【解答】解:(Ⅰ)已知点A,B,C的极坐标分别为(4,),(4,),(4,),转换为直角坐标为A(2,2),B(﹣2),C(0,﹣4)设经过的圆的方程为x2+(y﹣m)2=r2,将直角坐标A(2,2),B(﹣2),C(0,﹣4),代入圆的方程得到:解得m=0,r=4,所以圆C2的直角坐标方程为x2+y2=16.将圆C2向右平移3个单位长度后,得到曲线C3,得到(x﹣3)2+y2=16.(Ⅱ)由(Ⅰ)得:把曲线C1的参数方程为(t为参数),代入(x﹣3)2+y2=16.得到:,整理得:,所以|MP|•|MQ|=|t1t2|=11.[选修4-5:不等式选讲]23.【分析】((1))原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|.通过对x取值范围的讨论,去掉绝对值符号解对应的不等式,最后取并即可;Ⅱ)由f(x)=,可求得f(x)min=f()=,恒成立⇔log2m•log2n≥1恒成立,利用基本不等式即可求得mn的最小值.【解答】解:(1))原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|.①当x≤时,原不等式可化为﹣3x+1+2﹣x≥3,解得x≤0,∴x≤0……(2分)②当<x<2时,原不等式可化为3x﹣1+2﹣x≥3,解得x≥1,∴1≤x≤2…(…3分)③当x≥2时,原不等式可化为3x﹣1﹣2+x≥3,解得x≥,∴x≥2……(4分)综上,原不等式的解集为:{x|x≤0或x≥1}…(5分)Ⅱ)∵f(x)=,∴f(x)min=f()=,…(…6分)∴由恒成立可知,不等式log2m•log2n≥1恒成立…(8分)∵log 2m+log2n≥2≥2,∴log2(m•n)≥2,∴mn≥4,当且仅当m=n=2时等号成立,∴mn的最小值是4……(10分).。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题及答案

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1.已知集合{}|22xA x =>,{}2|,RB y y x x ==∈,则()R A B =()A .[0,1)B .(0,2)C .(,1]-∞D .[0,1]答案:D根据指数函数单调性,求出{|1}A x x =>,得出R{|1}A x x =,求出集合B ,根据交集的计算即可得出答案. 解:解:由题可知,{}|22{|1}xA x x x =>=>,R {|1}A x x ∴=,{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ,所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选:D. 点评:本题考查集合的交集和补集运算,属于基础题. 2.已知i 是虚数单位,11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则|z|=()A .15B C .125D .25答案:B根据复数除法的运算法则求出z ,再由模长公式,求出||z 即可. 解:1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--,22125||55z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 点评:本题考查复数的代数运算和模长,属于基础题.3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且9730S S -=,22a =,则2019a =() A .2017 B .2019C .4036D .4038答案:C设等差数列{}n a 公差为d ,可得8930a a +=,结合22a =,建立1,a d 方程组,求解得到通项公式,即可求出结论. 解:由9730S S -=,得8930a a +=,所以121530a d +=, 又12a d +=,所以2d =,10a =, 所以02(1)22n a n n =+-=-, 所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 点评:本题考查等差数列通项的基本量计算,属于基础题.4.如图,长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ,在长方形内随机取一点,则此点取自阴影部分T 的概率是()A .18B .14C .12D .23答案:B设小三角形的边长为1,六个小三角形的面积之和为642⨯=,又长方形的宽为3,长为4=. 解:设小三角形的边长为1,六个小三角形的面积之和为642⨯=,又长方形的宽为3,长为4= ∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选:B. 点评:本题主要考查了几何型概率问题,解题关键是掌握概率计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5.已知O 为坐标原点,双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ,点A ,B 分别在双曲线C 的两条渐近线上,AF x ⊥轴,0BO BA ⋅<,四边形OAFB 为梯形,则双曲线C 离心率的取值范围是()A .⎛ ⎝⎭ B .⎫+∞⎪⎪⎝⎭C .(D .()+∞答案:A求出A 的坐标,然后求解B 的坐标,利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 解:解:设(),0F c ,所以c =OB 的方程为by x a=-, 直线BF 的方程为()b y x c a =-,解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又直线OA 的方程为b y x a =,则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,又因为0BO BA ⋅<, 所以22223044c b c a -+<,2213b a ∴<,243e ∴<,2313e ∴<<.故选:A. 点评:本题考查双曲线的离心率,结合向量知识,属于基础题. 6.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A .233π- B .223π- C .23π D .413π- 答案:B由几何体的三视图,可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体,根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 解:解:根据三视图,此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体, 2,高为1, 所以四棱锥的体积为1222133=,半球的体积为322133ππ⨯⨯=, 故该几何体的体积为223π-. 故选:B. 点评:本题考查由三视图还原几何体,以及运用棱锥和球的体积公式,考查想象能力和计算能力.7.函数()()22xf x x x e =-的图象大致为()A .B .C .D .答案:B判断函数的奇偶性,结合具体函数值,进行排除即可. 解:易知()f x 定义域为R ,()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦,∴()f x 为偶函数,关于y 轴对称, ∴排除C ,又()()21112f e e =-=-,排除A 和D.故选:B. 点评:本题考查了函数图象的识别和判断,考查了函数的奇偶性,属于基础题. 8.已知0a b >>,1ab =,设2ab x =,2log ()y a b =+,1z a b=+,则log 2x x ,log 2y y ,log 2z z 的大小关系为()A .log 2log 2log 2x y z x y z >>B .log 2log 2log 2y z x y z x >>C .log 2log 2log 2x z y x z y >>D .log 2log 2log 2y x z y x z >>答案:B由已知0a b >>,1ab =,可得1=a b,且a >1>b >0,不难判断x ,y ,z 的大小关系01x y z <<<<,再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.解:∵a >b >0,1ab =,∴可得1=a b ,且a >1>b >0, ∴11222a ab x a ==<⋅,222log ()log log 21y a b =+>==,122z a a a a b=+=+=>, 又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=>, ()120f a a b'=-+>,()f a 单调递增, ()()212log (1)0f a f b =-+>>,∴z y ->0, ∴01x y z <<<<,∵log 2=log 21x x x +,log 2log 21y y y =+,log 2=log 2+1z z z , 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<, ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>. 故选B . 点评:本题考查对数函数的性质及运算定律,涉及基本不等式和不等式性质的应用,属于综合题. 9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A .31B .39C .47D .60答案:D根据循环程序框图,循环计算到11n =时,输出T ,即可得出答案. 解:解:根据题意,0T =,1n =;8T =,2n =;84T =+,3n =;844T =++,4n =;8448T =+++,5n =;84480T =++++,6n =; 8448+012T =++++,7n =; 84480124T =+++++-,8n =; 8448012416T =+++++-+,9n =; 84480124168T =+++++-+-,10n =; 8448012416820T =+++++-+-+,11n =,故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选:D. 点评:本题考查程序框图的循环计算,考查计算能力.10.已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点,且||22AB =物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ,则线段PQ 的中点坐标为()A .(1,1)-B .(2,0)C .13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D .(1,1)答案:A根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标,代入抛物线方程,求出p ,设点()11,P x y ,()22,Q x y 代入抛物线方程作差,得到PQ 斜率与12,y y 关系,即可求解. 解:因为,A B 关于x 轴对称,所以,A B纵坐标为, 横坐标为1,代入22(0)y px p =>, 可得22y x =.设点()11,P x y ,()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-, 122PQ k y y ∴=+,又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-,即122y y +=-,1212y y +∴=-, 又PQ ∵的中点一定在直线l 上,12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 点评:本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系,注意相交弦中点问题“点差法”的应用,属于中档题.11.已知三棱柱111ABC A B C -的球,四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形,,M N 分别是11A B ,11A C 的中点,11112C M A B =,则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为() A .310BC .710D答案:B画出图形,找出BM 与AN 所成角的平面角,利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值.解:直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点, 如图:BC 的中点为O ,连结ON ,MN ∥12B 1C 1=OB ,则MNOB 是平行四边形,BM 与AN 所成角就是∠ANO , ∵,M N 分别是11A B ,11A C 的中点,11112C M A B =,可得A 1C 1⊥B 1C 1,四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形,可得BC=CA=CC 1, ∵三棱柱111ABC A B C -3的球, 设BC=CA=CC 1=a,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球, 22223a a a ++=a=2, ∴BC=CA=CC 1=2,55()222211226NO MB B M BB ==+=+=在△ANO 中,由余弦定理可得:222302256AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅⨯⨯故选:B. 点评:本题考查异面直线及其所成的角,涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点,根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点,也是本题难点,属于较难题. 12.设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调,且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当12x π=时,()f x 取到最大值4,若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象,则函数()y g x =-A .4B .5C .6D .7答案:D由已知可得()()f x x ωϕ=+,由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴,得出T ,再得出()f x 的解析式,再有变换得出()g x ,再分别画出()g x与y =图象,得出结论. 解: 解:设()()f x x ωϕ=+()0ω>,122622T ππππωω∴-≤=⋅=,即03ω<≤, 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴, 且2623πππ+=,则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心,由于03ω<≤,所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心, 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,∴2ω=.4=,且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 解之得2a =,b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由图象变换可得,()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3y x π=+在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处切线斜率不存在,即切线方程为3x π=-. 所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示,同时43x π+>时,163x π>-, 所以()3y g x x π=-+的零点有7个.故选:D.点评:本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点,转化为两个函数的图象的交点,属于难题.二、填空题13.已知向量(2,1)a =,(,1)()b m m =-∈R ,且(2)b a b ⊥-,则向量a 在b 方向上的投影为______.答案:2210由向量垂直的坐标关系,求出m ,再由向量的投影公式,即可求解.解:根据题意,2(4,3)a b m -=-,(2)b a b ⊥-,(4)30m m ∴--=,1m ∴=或3m =,所以向量a在b方向上的投影为||2abb⋅===.故答案为:2或2.点评:本题考查向量的坐标运算、向量的投影,考查计算求解能力,属于基础题.14.已知91xax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含3x项的系数为212-,则实数a=______.答案:2求出二项展开式通项公式,得到3x项的系数,建立a的方程,求解即可.解:99219911C Cr rr r r rrT x xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由9233r r-=⇒=,得系数为339121C2a⎛⎫-=-⎪⎝⎭,2a∴=.故答案为:2.点评:本题考查二项展开式定理通项公式,熟记公式是解题关键,属于基础题.15.已知等比数列{}n a的前n项和为n S,且1234··n nT a a a a a=⋅⋅⋅⋯,若72a=,1016a=,则满足n nS T>的最大正整数n的值为______.答案:12根据已知求出{}n a通项公式,进而求出,n nS T,得到不等式21110*2221,nnnn N-+∈>+,等价转化为21110*222,nnnn N-+>∈,即211102n nn-+>,求解即可得出结论.解:根据题意,72a=,1016a=,2q∴=,所以62nna-=,记()1211221321232nnn nS a a a--=++⋯+==-,(11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=,由题意n n S T >,即(11)252122n n n -->, 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=, 211102221n n n -+∴->,因此只需211102n n n -+>, 213100n n ∴-+<,n <<, 由于n 为整数,因此n最大为132+的整数部分,即为12. 故答案为:12.点评:本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式,合理放缩是解题的关键也是难点,属于中档题.16.某饮料厂生产A ,B 两种饮料.生产1桶A 饮料,需该特产原料100公斤,需时间3小时;生产1桶B 饮料,需该特产原料100公斤,需时间1小时,每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍,每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤,每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间,每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍,若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶,B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大,则m n +=_________.答案:7 设每天A ,B 两种饮料的生产数量分别为x 桶,y 桶,则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩,画出可行域,结合已知,即可求得答案.解:设每天A ,B 两种饮料的生产数量分别为x 桶,y 桶,则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩ 则其表示的可行域如图中阴影部分所示,设B 饮料每桶利润为1,则目标函数为 1.5z x y =+,则 1.5y x z =-+,z 表示直线在y 轴上的截距,x ,y 只取整数,∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =,3n =时,z 取得最大值,故7m n +=.故答案为:7.点评:本题主要考查了线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.三、解答题17.在ABC 中,23AB =D 为BC 上一点,且3BC BD =,2AD =.(Ⅰ)若30B =︒,ADB ∠为钝角,求CD 的长; (Ⅱ)若sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠,求ABC 的周长. 答案:(Ⅰ)4(Ⅱ)3442++(Ⅰ)在ABD △中,根据正弦定理,结合ADB ∠范围,求出,ADB BAD ∠∠,即可求出结论; (Ⅱ)由已知可得12BAD CAD S S =△△,由sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式,求出4AC =,设BC x =,分别在,ADC ADB ∆∆中,用余弦定理表示,AC AB ,再由,ADC ADB ∠∠互补,建立x 的方程,求解即可.解:(Ⅰ)在ABD △中,由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠,2sin 30=︒,解得sin ADB ∠=, 则120ADB ∠=︒,30BAD ∠=︒,所以2AD BD ==,所以24CD BD ==.(Ⅱ)由3BC BD =,得12BAD CAD S S =△△, 所以1sin 1212sin 2BAD CAD AB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△,因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠,AB =4AC =,设BD x = 由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠;2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠,22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠;222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠,可得3x =,所以BC = 故ABC的周长为4+点评:本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.18.已知某快递公司收取快递费的标准是:重量不超过1kg 的包裹收费10元;重量超过1kg 的包裹,在收费10元的基础上,每超过1kg (不足1kg ,按1kg 计算)需再收5元.该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜,该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下:表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值;()2将包裹重量落入各组的频率视为概率,该工艺品厂家承担全部运费,每个包裹只有一件产品,如果客户收到有损坏品的包裹,该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家.现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件,求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望.答案:()115.75元;()2见解析,24.5. ()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值;()2重量在(]2,3的产品数为20,其损坏率为20.120=,重量在(]3,4的产品数为10,其损坏率为30.310=,设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ,重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ,45X Y +=,2,9-,52-,分别求出相应的概率,由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望.解:解:()1根据题意,设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ,401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==(元). ()2重量在(]2,3的产品数为20,其损坏率为20.120=. 重量在(]3,4的产品数为10,其损坏率为30.310=, 设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ,则170302020X =--=,()23020300.923X =-++⨯=-,设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ,则190402525Y =--=,()24025400.929Y =-++⨯=-,所以45X Y +=,2,9-,52-,则()450.90.70.63P X Y +==⨯=,()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=,()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=,所以其分布列为: 利润 452 9- 52- P 0.63 0.07 0.27 0.03根据题意,()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=.点评:本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,属于中档题.19.如图,在三棱锥A BCD -中,ABD △是等边三角形,BC CD ⊥,2BC CD ==,E 为三棱锥A BCD -外一点,且CDE △为等边三角形.()1证明:AC BD ⊥;()2若平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为33,求BE 的长. 答案:()1证明见解析;()26BE =()1取BD 的中点O ,连接OC ,OA ,证明BD ⊥平面AOC ,可得到结论;()2以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,OA 为z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ECD 和平面ABD 的法向量,利用夹角公式求出二面角的余弦值,得出结论.解:解:()1取BD 的中点O ,连接OC ,OA ,因为ABD △是等边三角形,所以AO BD ⊥,又因为BC CD =,所以CO BD ⊥,因为CO AO O ⋂=,所以BD ⊥平面AOC ,因为AC ⊂平面AOC ,故AC BD ⊥.()2因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面CBD BD =,所以AO ⊥平面BCD ,且2BD =,AO =故以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,OA 为z 轴建立空间直角坐标系,取CD 的中点F ,连接OF ,EF ,同理可证CD ⊥平面EOF,2OF =,2EF =, 设EFO πθ∠=-,则()0,0,0O ,()1,0,0C ,()0,1,0D,(00A ,,()0,1,0B -11cos ,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-,31122CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =,则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩, 0311cos cos 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩, 令1x =,则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭. 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =, 所以cos ,3OC n 〈〉==,22cos 1sin 2θθ∴= 所以3cos 3θ=±,sin 6θ=, 所以()1,1,1E 或()0,0,1E .因为E 为三棱锥A BCD -外一点,所以()1,1,1E ,所以6BE =.点评:本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ,过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线,且切线互相垂直.(Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点,设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ,且4MA MB k k +=,求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离.答案:(Ⅰ)2212x y +=51- (Ⅰ)根据椭圆的对称性可得2b a =,再由1b =,即可求出椭圆1C 的方程; (Ⅱ)当直线AB 斜率存在时,设直线AB 方程为y kx m =+,与椭圆方程联立,得到,A B 坐标关系,将4MA MB k k +=用坐标表示,化简得出,m k 关系,求出直线AB 过定点,当直线AB 斜率不存在时,求出其方程也过同一定点,即可求出结论. 解:(Ⅰ)根据题意,1b =,又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直,所以sin 45b a ︒==,所以a =1C 的方程为2212x y +=. (Ⅱ)①当直线斜率存在时,设直线AB 方程为y kx m =+, (),A A A x y ,(),B B B x y ,代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭, 所以2212A B km x x k -+=+,22112A B m x x k -⋅=+, 故1A MA A y k x -=,1B MB By k x -=, 所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-, ∴将12k m =-代入y kx m =+得:12k y kx =+-, 所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.②当直线AB斜率不存在时,A t ⎛ ⎝,,B t ⎛ ⎝,24MA MB k k t+==-=, 解得12t =-,则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 从而点P 到点Q 的最小距离为12-. 点评: 本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,相交弦问题注意根与系数关系的应用,意在考查逻辑推理、计算求解能力,属于中档题.21.已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ,且12x x <,求证:121x x +>. 答案:(Ⅰ)()ln f x x x =-(Ⅱ)见解析(Ⅰ)求导求出()f x ',对a 分类讨论,求出极大值,最大值,建立a 的方程关系,求解即可; (Ⅱ)12,x x 代入方程1ln 202x x +-=,整理得到1212122ln x x x x x x -=,进而有1211212ln x x x x x -=,2121212ln x x x x x -=,令12x t x =,01t <<,转化为证明112ln t t t->,构造函数1()2ln h t t t t =--,根据函数单调性证明()0h t <即可.解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞,1()(0)f x a x x '=->, 当0a 时,1()0f x a x'=->,即函()f x 在(0,)+∞上单调递增,无最大值.当0a >时,令1()0f x a x ,可得1x a =, 当10x a<<时,1()0ax f x x '-=>; 当1x a>时,1()0ax f x x '-=<, 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以ln 11a --=-,1a .故()ln f x x x =-. (Ⅱ)设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点, 所以111ln 202x x +-=,221ln 202x x +-=. 两式相减,可得122111ln22x x x x =-, 即112221ln 2x x x x x x -=,故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=,2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =,其中01t <<, 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=.构造函数1()2ln h t t t t =--,则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<,()0h t '>恒成立,故()(1)h t h <, 所以12ln 0t t t --<,即12ln t t t-<, 因为ln 0t <,可知112ln t t t ->,故121x x +>.点评:本题考查函数导数的综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明,构造函数是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ,且ABC ∆的顶点都在圆2C 上,将圆2C 向右平移3个单位长度后,得到曲线3C .(1)求曲线3C 的直角坐标方程;(2)设()1, 1M ,曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点,求MP MQ ⋅的值.答案:(1)22(3)16x y -+=(2)11(1)直接利用转换关系,把极坐标转化为直角坐标,再进一步求解即可,进行转换;(2)由(1)联立曲线1C 与3C ,利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果.解:(1)由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A的直角坐标系为2)A ,点B的直角坐标系为(2)B -,点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=,代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩, 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为:22(3)16x y -+=.(2)由(1)联立曲线1C ,3C 可得22(13)(1)1622t --++=,整理可得,2110t +-=,121211t t t t +=-=-∴,1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.点评:本题主要考查参数方程、极坐标方程,直线与圆的位置关系等知识,考查转化能力和运算求解能力,属于中档题.23.已知函数()|31||2|f x x x =-+-.(1)求不等式()3f x ≥的解集;(2)若1,1m n >>,对x R ∀∈,不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立,求mn 的最小值. 答案:(1){|0x x ≤或1}x ≥.(2)4(1)由题意可得,利用零点分段法进行分区间讨论,脱去绝对值符号解不等式,再求并集即可;(2)由题意可得22log log 1m n ⋅≥,利用基本不等式22log log 2m n +≥,从而求得mn 的最小值.解:(1)原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥, ①当13x ≤时, 原不等式可化为3123x x -++-≥,解得0x ≤,0x ∴≤;②当123x <<时, 原不等式可化为3123x x -+-≥,解得1x ≥,12x ≤<∴;③当2x ≥时,原不等式可化为3123x x --+≥, 解得32x ≥, 2x ∴≥;综上,不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.(2)143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩, min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知, 不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥,2log ()2m n ⋅≥∴,4m n ⋅≥∴,当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.点评:本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用,绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可,基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏,属于中等题.。

2020年高考数学教材必做100题 理 新人教A必修5 精品

2020年高考数学教材必做100题 理 新人教A必修5 精品

2020年高考数学教材必做100题(理)(人教A 必修5)时量:120分钟 班级: 姓名: 计分:(说明:《必修5》共精选13题,每题12分,“◎”为教材精选,“☆”为《精讲精练.必修5》精选)1. 在△ABC 中,若cos cos a A b B =,判断△ABC 的形状. (☆P 6 3)2. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 的对边,且a 2+b 2=c 2+2ab . (1)求C ; (2)若tan 2tan B a c C c-=,求A . (☆P 6 8)3. 如图,我炮兵阵地位于A 处,两观察所分别设于C ,D ,已知△ACD 为边长等于a 的正三角形.当目标出现于B 时,测得∠CDB =45°,∠BCD =75°,试求炮击目标的距离AB . (☆P 8 8)4. 已知数列{}n a 的第1项是1,第2项是2,以后各项由12(2)n n n a a a n --=+>给出.(1)写出这个数列的前5项; (2)利用上面的数列{}n a ,通过公式1n n na b a +=构造一个新的数列{}n b ,试写出数列{}n b 的前5项. (◎P 34 B3)5. 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?(◎P 44 例3)6.(09年福建卷.文17)等比数列{}n a 中,已知142,16a a ==. (☆P 38 8) (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项,试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .7. 若一等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么它的前15项的和等于多少?(◎P 58 2)8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,*1(1)()3n n S a n N =-∈. (☆P 32 9) (1)求12,;a a (2)求证:数列{}n a 是等比数列.9. 已知不等式2230x x --<的解集为A ,不等式260x x +-<的解集是B . (☆P 42 9)(1)求A B I ;(2)若不等式20x ax b ++<的解集是,A B I 求20ax x b ++<的解集.10. 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格? (◎P 81 6)11. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中,连续剧甲每次播放时间为80 min ,广告时间为1 min ,收视观众为60万;连续剧乙每次播放时间为40 min ,广告时间为1 min ,收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6 min 广告,而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次,才能获得最高的收视率? (◎P 93 3)12. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800 m 3,深为3 m ,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元?(◎P 99 例2)13. 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为:2920(0)31600v y v v v =>++. (1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?。

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