高考理科数学压轴题及答案汇编
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
高考数学压轴卷理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校〔全国卷Ⅰ〕2021年高考数学压轴卷理〔含解析〕一、选择题〔此题一共12道小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，那么A∩B=(). A.(2,3)B.[2,3)C.[－4,2]D.(－4,3)2.(1i)(2i)z =+-，那么2||z =〔〕 A.2i +B.3i +C.5D.103.假设向量a＝1,2⎛ ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，那么向量a 与b 的夹角为() A.6πB.4π C.3π D.2π 4.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为 A.8B.12C.16D.245.某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．〕A.6%B.19%C.28%D.34%6.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如下列图的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，那么①②③处可分别填入的是() A.17?,,+1is s i i i≤=-=B.1128?,,2is s i i i≤=-=C 17?,,+12is s i i i ≤=-= D.1128?,,22i s s i i i≤=-=7.变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么2z x y =+的最大值为〔〕 A.1 B.2 C.3 D.48.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之〔其意为：使容量均匀递减〕，上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？〔〕 A.二升B.三升C.四升D.五升9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，3,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么b=() A.110..假设直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，那么41a b +的最小值是〔〕A.9B.4C.12D.1411.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2px =交于E ，G 两点，假设1sin 3MFG ∠=，那么抛物线C 的方程是〔〕A.2y x = B.22y x =C.24y x = D.28y x =12.函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，假设方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，那么m 的取值范围是〔〕A.(1,)+∞B.(0,1)(1,)⋃+∞C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13.()0,θπ∈，且sin()4πθ-=，那么tan2θ=________．14.设m 为正整数，()2mx y +展开式的二项式系数的最大值为()21m a x y ++，展开式的二项式系数的最大值为b ，假设158ab =，那么m=______．15.函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，那么实数a 的取值范围是__________．16.如图，六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出以下结论： ①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD 与BC 所成角为45°；⑤直线PD 与平面PAB 其中正确的有_______〔把所有正确的序号都填上〕三．解答题〔本大题一一共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题12分〕△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，24sin 4sin sin 22A BA B -+=〔1〕求角C 的大小； 〔2〕4b=，△ABC 的面积为6，求边长c 的值.18.〔本小题12分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，122BC CD AB ===，∠ABC=∠BCD=90°，E 为PB 的中点。
2019-2020年高考压轴卷 数学理. 含解析
2019-2020年高考压轴卷数学理. 含解析本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，集合，则集合为（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.【答案】C.【解析】由题意得，，，∴，故选C.2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.【答案】C.3.已知，，则“”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 【答案】A.【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设，，显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，故是充分必要条件，故选A. 4.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ） A. B. C. D.【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 【答案】D.5.设，为正实数，，，则=（ ） A. B. C.D.或【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 【答案】B.【解析】2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故112222a b a b ab++≤⇒≤ 2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上， ∴，∴，故选B.6.已知点是双曲线C ：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ） A. B.2 C. D.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 【答案】A.7.如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若，则动点的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 【答案】C.【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.8.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（），若数列满足，数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D.【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 【答案】A.第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】，.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标， 而，∴的范围是，故填：，.10.已知函数，，则 ，的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 【答案】，.11.已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】，.【解析】∵，∴，又∵221tan 0x k x ππ⎧≠+⎪⎨⎪-≠⎩，∴的定义域为(,)(,)(,)244442k k k k k k ππππππππππππ-+-+-++++，，将的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为，故填：，.12.设，实数，满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若，则实数的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 【答案】.13.要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 【答案】.【解析】分析题意得，问题等价于只有一解，即只有一解， ∴28022a a ∆=-=⇒=±，故填：.14.已知，为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 【答案】.15.已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角为__________，的最大值为．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.【答案】，.三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos 3sin )cos 0C A A B +-=． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．【答案】（1）；（2）.17.（本题满分15分）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：；（2）若，当二面角大小为时，求的值．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由于，，则，又∵平面平面，平面平面＝，平面，∴平面，…………3分又∵平面，∴有；……………6分18.（本题满分15分）已知函数，当时，恒成立．（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，当时，求的最大值．【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．【答案】（1）；（2）.（1）由且，得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=， 当时，，得，…………3分故的对称轴，当时，2min max ()()124()(1)11b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩，………… 5分 解得，综上，实数的取值范围为；…………7分，…………13分且当，，时，若，则恒成立，且当时，取到最大值．的最大值为2.…………15分19.（本题满分15分）设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点．（1）求证：；（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.∴点为线段中点，；…………7分（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，，故，…………9分若直线斜率存在，由（1）可得，，141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分点到直线的距离，…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，的面积为定值．…………15分 20.（本题满分15分）正项数列满足，．（1）证明：对任意的，；（2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析
fx
2
x1
y2
2
x1
y2
x2
2
y 2 的最小值为 ______ ．
16．已知 △ABC 中， AB AC ，点 D 是 AC 边的中点，线段 BD x ， △ABC 的面积 S 2 ， 则 x 的取值范围是 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、
B． c a d b
C． d c a b
D． c d a b
7． 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A． 16π 3
B． 3
C． 2 9
D． 16 9
8．已知向量 a 1, 3 ， b 0, 2 ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A． π 6
B． π 3
C． 5π 6
D． 2 π 3
人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X ．
附： K 2
2
n ad bc
，其中 n a b c d ．
abcd acbd
12 人参 设选取的 3
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， PD DC ，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC ，
9．在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， a b c a c b 3ac ，则角 B
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
2019-2020年高考压轴卷理科数学含解析
2019-2020年高考压轴卷理科数学含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ． 8 B ．7 C ．6 D ． 55．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．4 B ．8 C ．16 D ．20 6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）A．3B．5C．6D．87.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为(A)10.已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）=（ ）A.10B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.（3x+）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ．13. 设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ） A ． 4 B ．C ．1 D ．214.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ________ ．15. 已知集合A={f （x ）|f 2（x ）﹣f 2（y ）=f （x+y ）•f （x ﹣y ），x 、y ∈R}，有下列命题： ①若f （x ）=，则f （x ）∈A ； ②若f （x ）=kx ，则f （x ）∈A ；③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数； ④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．在△ABC 中，已知A=4π，cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ． （Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=． （I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列， 求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. 20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标；（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点（m ，m 2），（n ，n 2）的直线的最短距离．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 21.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ＞0）． （Ⅰ） 若a ≠，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当＜a ＜1时，判断函数f （x ）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．KS5U2014山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【KS5U 答案】C【KS5U 解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A ∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】因为22211()1(1)22i i z ii i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限. 3. 【KS5U 答案】A.【KS5U 解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
压轴题05 立体几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点三空间向量法证明平行、垂直1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，在平面α内的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.四、空间角、距离问题热点一异面直线所成的角求异面直线所成角的方法方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ，π2，求出角θ.热点二直线与平面所成的角求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →；②计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|，以及θ∈0，π2，求出角θ.热点三平面与平面的夹角求平面与平面的夹角方法方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.热点四距离问题1.空间中点、线、面距离的相互转化关系2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A 内，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【详解】AB 选项，若m 垂直于AB ，由面ABCD ⊥面11ABB A ，面ABCD ⋂面11ABB A AB =，可得m 垂直于面11ABB A ，即面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，而n 可能垂直于AB ，也可能不垂直于AB ，故A 错误，B 错误；CD 选项，若m 不垂直于AB ，则,BC m 为面ABCD 内的两条相交直线，由题可知BC n ⊥，m n ⊥，则n 垂直面ABCD ，又AB ⊂面ABCD ，所以n 垂直于AB ，故C 正确，D 错误.故选：C2．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()216V AB EF AD h =+⨯⨯，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，2EF =，且//EF AB ，ADE V 和BCF △是等腰三角形，90AED BFC ∠=∠= ，则该刍甍的体积为（）A ．3B ．3C ．D ．403【答案】B【详解】如图所示，设点F 在底面的射影为G ，,H M 分别为,BC AD 的中点，连接,,EM FH MH ，则FG 即为刍甍的高，-P ABC 面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形123APP P （其中点B 为23P P 中点，点C为12PP 中点），则该玩具的体积为（）A ．6253B ．1253C ．125D ．2503【答案】B【详解】该玩具为三棱锥-P ABC ，即三棱锥A PBC -，则PA ⊥底面PBC ，且10PA =，PBC 面积为252，所以12512510323P ABC V -=⨯⨯=.故选：B.4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，腰长为5m 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）A ．38πmB ．39πmC ．310πmD ．312πm 【答案】D【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为15．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,//a b b α，则//a αB ．若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C ．若//,//,//a b αβαβ，则//a bD ．若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥【答案】B【详解】对于A ，若//,//a b b α，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//a b b β，则a β⊂或//a β，若a β⊂，因为a α⊥，则αβ⊥，若//a β，如图所示，则在平面β一定存在一条直线//m a ，因为a α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，综上若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//,//a b αβαβ，则直线,a b 相交或平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,//,a b αβαβ⊥，则直线,a b 相交或平行或异面，故D 错误.故选：B.6．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π7．已知三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥-P ABC 外接球的表面积为18π，球心在三棱锥-P ABC 内，则二面角P AB C --的平面角的余弦值为（）A ．12B ．13C 22D 即PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，由23AB =，得22OC OD ==，显然三棱锥线段PO 上，由三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为8．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此在等腰ABC 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=，二、多选题9．已知直线a ，b ，c 两两异面，且a c ⊥，b c ⊥，下列说法正确的是（）A ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α⊥，c β⊥B ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α∥，c β∥C ．存在平面γ，使a γ∥，b γ∥，且c γ⊥D ．存在唯一的平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等【答案】ABC【详解】对于A,平移直线b 到与直线a 相交，设平移后的直线为b '，因为b c ⊥，所以b c '⊥，设直线,a b '确定的平面为α，则a c ⊥，b c '⊥，直线b '和a 相交，所以c α⊥，同理可得：c β⊥，故A 对；对于B,平移直线c 到与直线a 相交，设平移后的直线为c '，设直线,a c '确定的平面为α，因为c //c '，且α⊄c ，所以c α∥，同理可得：c β∥，故B 对；对于C,同时平移直线b 和直线a ，令平移后的直线相交，设平移后的直线为,a b ''''，因为a c ⊥，b c ⊥，所以a c ''⊥，b c ''⊥，设直线,a b ''''确定的平面为γ，则a γ∥，b γ∥，且c γ⊥，故C 对；对于D ，由对称性可知，存在两个平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等，故D 错误；故选：ABC.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为12π，,,M N P 分别在线段1BB ，1CC ，1DD 上，且,,,A M N P 四点共面，则（）．A ．AP MN=B ．若四边形AMNP 为菱形，则其面积的最大值为C ．四边形AMNP 在平面11AAD D 与平面11CC D D 内的正投影面积之和的最大值为6D ．四边形AMNP 在平面11AA D D 与平面11CC D D 内的正投影面积之积的最大值为4设正方体1111ABCD A B C D -依题意，234π()12π2a ⋅=，解得因为平面11BCC B ∥平面ADD则M 在平面11AA D D 上的投影落在设为H ，则四边形AGHP 为四边形AMNP 由于,AM PN GM HN ==,则（当1x y ==时取“＝”），故C 错误，D 正确，故选：ABD三、解答题11．如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，4SD =，SD ⊥平面ABCD ，点E 在棱SB 上．(1)证明：AC DE ⊥；(2)若三棱锥E ABC -，求点E 到平面SAC 的距离．【详解】（1）证明：如图，连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD AC ⊥，又因为SD BD D = ，所以AC ⊥平面SBD ，又因为DE ⊂平面SBD ，所以AC DE ⊥．（2）解：设点E 到平面ABC 则三棱锥E ABC -的体积V (11sin 18032AB BC =⨯⨯⨯⨯︒-12．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,AB AD O =为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)已知OCD 是边长为1的等边三角形，已知点E 在棱AD 的中点，且二面角E BC D --的大小为45 ，求三棱锥A BCD -的体积.【详解】（1）证明：AB AD = ，O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AO CD ∴⊥．（2）取OD 的中点F ，因为OCD 为等边三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF ，与BC 交于M ，则OM OD ⊥，由（1）可知OA ⊥平面BCD ，设OA a =，因为OA ⊥平面BCD ，所以设平面BCE 的一个法向量为n =3300x y n BC ⎧+=⎪⎧⋅= ○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A B ．32C ．1D 因为ABC 是边长为3的等边三角形，且所以13O B =，又因为球O 的体积为32π2．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 【答案】C【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r ，球半径5R =，球心为O ．过圆锥的顶点P 作底面的垂线2125OO r =-．所以圆锥的高h PO =4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为2，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B ．43π9C．27D5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π【答案】A【详解】设该组合体外接球的球心为O ，半径为R ，易知球心在BC 中点，则224R AO ==+=.6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为的体积为43，则球O的表面积为（）A．76πB．112πC D．3故球的表面积为：2476πR π=，故选：A ．7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．6此时，如上图示，O 为半球的球心，体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与8．已知三棱锥-PABC的四个顶点均在球的球面上，，PB AC== PC AB=Q为球O的球面上一动点，则点Q到平面PAB 的最大距离为（）A2211BC2211D2223BD BE AB∴+==，BD2226BD BE BF∴++=，∴球在PAB中，cosABABP∠=二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．则三棱锥-P ABC 外接球的直径为2R PA =因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为34π3R10．如图，在直三棱柱111中，1．设为1的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．【答案】27π【详解】取1A B 的中点E ，连接AE ，如图．因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥．又面1A BC ⊥面11ABB A ，面1A BC ⋂面111ABB A A B =，且AE ⊂面11ABB A ，所以⊥AE 面1A BC ，BC ⊂面1A BC ，所以AE BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以1BB BC ⊥．又AE ，1BB ⊂面11ABB A ，且AE ，1BB 相交，所以BC ⊥面11ABB A ，AB ⊂面11ABB A ，所以BC AB ⊥．11．如图，直三棱柱111的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12+，则该棱锥的内切球半径为___．由题意，侧面展开图的面积由,PD AD PD DC ⊥⊥，○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、二面角等相关问题1．已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．【详解】（1）因为四边形CDEF 是边长为4的正方形，所以CE ⊥DF ，ED ⊥DC ，因为四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，所以AD ⊥CD ，AB ⊥AD ，故直线AF与平面BCF所成角的正弦值为-PA 2．如图，在四棱锥P ABCD平面PAD⊥平面ABCD．Array(1)证明：平面CDM⊥平面PAB；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD ，求三棱锥P MCD -的体积．【详解】（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以PN AD ^，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PN ⊂面PAD ，所以PN ^平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PN AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PN PD P = ，,PN PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 为AP 中点，所以DM PA ⊥，且PA AB A = ，,PA PB ⊂平面PAD ，所以DM ⊥平面PAB ，且DM ⊂平面CDM ，所以平面CDM ⊥平面PAB .（2）由（1）可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN PD P = ，所以AB ⊥平面PAD ，△为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且2AF FE ABD=.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.【详解】（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM ，∵6BD =，∴116BN BD ==，2NE =，3ED =，∵12AF FE =，∴12BN AF NE FE ==，则FN AB ∥，又FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，∴FN ∥面ABC ，∵15BN CM ND MD ==，∴NM BC ∥.∵NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，∴NM ∥面ABC ，∵FN NM N = ，,FN NM ⊂面FNM ，∴面FNM ∥面ABC ，又FM ⊂面FNM ，4．已知底面是正方形，平面，，，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．(1)求证：//EF平面PADQ ；(2)求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；(3)线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PM MC的值，若不存在，说明理由．【详解】（1）证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，法二：因为ABCD 为正方形，且以点A 为坐标原点，以AB 、空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，EF ⊄ADQP EF所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒？设()0AD t t =>，则(1,0,C -∴(1,0,0)EF = ，33,22CF ⎛= ⎝6．如图，在三棱柱111中，四边形11是边长为4的菱形，AB BC =，点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160A AC ∠= ，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊂/平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，∴1//BB 平面11ACC A ，又∵1BB ⊂平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，∴1BB DE //；（2）连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是等边三角形，又∵O 为AC 中点，∴1A O ⊥∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =∴1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面。
2021-2022年高考压轴卷数学(理科)含解析
2021年高考压轴卷数学（理科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．2.已知函数，，且，，，则的值为A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+ D．4+4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x xωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么( )A．-1 B．C．D．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a aB a a a=+-=--+，若，则实数的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．11.若是等差数列的前项和,且，则的值为．12.展开式中有理项共有项．13.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos,4(cos),1,4sin3(2xxnxm==．记(I)求的周期；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)B=b，若，试判断ABC的形状．16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？ （Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.17.已知正四棱柱中，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为. 求证: 为定值.19.已知数列的各项均为正数，记,,342(),1,2,n C n a a a n +=+++= .（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且， 求证：（其中是的导函数）．xx北京市高考压轴卷数学理word版参考答案1.【答案】D【解析】1()1,2,1,12xx xi yi x yi=-=-∴==+故选D．2.【答案】B【解析】∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，∵，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴.3.【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A．4.【答案】A.【解析】5.【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，∵mα，cα，∴c∥α，∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6.【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7.【答案】C.【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．8.【答案】A.【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5个交点，故选A【解析】①若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,,与题意不符，舍 ②若2a-1=-3,则a=-1，此时： }2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，，a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项， 故答案为：3 13.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为，因为与函数的图象交于P 、Q 两点，所以，且联列解得22,2,,2P k Q k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝，所以()222122284PQ kk k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0）， ∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】2311()3cos cos cos 4442222xx x x x f x +=++ （I ）（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒= ∵ ∴ 113sin 262263A A πππ+⎛⎫+++= ⎪⎝⎭或或而，所以，因此ABC 为等边三角形.……………12分 16. 【解析】（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值k 42×(16×12－8×6)224×18×20×2225255≈4.582>3.841. ……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则 P(A∩B)，P(A).所以P(B|A)P(A∩B )P(A)217×16 1136. ……7分方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C)217×161136.②由题知X 的可能值为0，1，2.依题意P(X0)3551；P(X1)517；P(X2)151.从而X 的分布列为……10分 于是E(X)0×3551＋1×517＋2×151175113. ……12分17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为为正四棱柱，所以平面，且为正方形. ………1分 因为平面，所以. ………2分 因为,所以平面. ………3分因为平面,所以. ………4分 (Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-. 设平面的法向量. 所以 .即……6分 令，则. 所以.由（Ⅰ）可知平面的法向量为.……7分所以10cos ,5522DB <>==⋅n . ……8分 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设为线段上一点,且.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分 即.所以. ………11分 设平面的法向量. 因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+，所以 .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令，则.所以. ………13分若平面平面，则. 即，解得.所以当时，平面平面. ………14分18. 【解析】（Ⅰ）由条件…………2分故所求椭圆方程为. …………4分 （Ⅱ）设过点的直线方程为：. …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立. 设点，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：， ………9分 令，可得，，所以点的坐标. ………10分直线的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++所以为定值. …………13分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得即. ………7分因为当时，由可得， ………8分所以. 因为，所以.即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分 （２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 . ………10分 因为，所以均大于.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.………13分综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数组成公比为的等比数列. ………14分20. 【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即. ···························································································· 2分（Ⅱ），则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵，故时，.当时，；当时，.故在处取得极大值. ··················································································································· 4分 又，，，则，∴在上的最小值是. ··················································································································· 6分 在上有两个零点的条件是解得，∴实数的取值范围是. ··············································································································· 8分（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ∴方程的两个根为，则两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又，，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++. 下证（*），即证明，，∵，∴，即证明在上恒成立.·································································································· 10分∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t tt t t -+---'=+=-=+++，又，∴， ∴在上是增函数，则，从而知， 故（*）式＜0，即成立………….12分。
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高考理科数学压轴题(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1.(I) 求椭圆 C 的标准方程 ;(II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 .(22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0.1(I) 当 b时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ;2(II)求函数 f (x)的极值点 ;1 1 1(III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 .n n n22xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0)ab2a c 3,a c 1，a 2,c 1,b 2 3 22x 2y 2 1.43Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD1，ykx m(II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2x2 y得1432 2 2(3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 23)2 2 2 64m 2 k 2 16(3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk2 ,x 1 x 22 4(m 2 3)3 4k 2y 1 y 22(kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2)m 23(m 2 4k 2) 3 4k 2y 1 y 2 x 1 2 x 21， y 1y 2 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4 0，3 4k 2 7m 216mk m 1 2k,m 2 当m 2k 时，当m 2k时7综上可知，直线 (22)解： (I) 函数 f f '(x) 2x 223(m 24k 2) 4(m 2 3) 16mk 43 4k 2 3 4k 2 44k 2 0 ，解得2k，且满足 3 4k 20，0.l : y k(x 2) ，直线过定点l : y k(x 2) ，直线过定点2 l 过定点，定点坐标为 ( ,0). (x) 2 x 2 bln(x 1)的定义域为 (2,0), 与已知矛盾；2(7,0).1,令 g(x) g(x)minb x1 2x 2 2x g( 112) 1 当 b 1 时，2 g(x)min g(x) 2x 22x b f (x) 0, 2x 22x b ， x1 b ， 则 g(x) 在b . 12 b0 在 1, 0，上恒成立 .1 即当 b 时,函数 f (x) 在定义域2 分以下几种情形讨论： 1 I )知当 b 时函数 f (x) 无极值点 . 2II )1) 上递增，在1, 上单调递增。
2)1b 时， f '(x) 22(x 12)2x1 1, 21时， f '(x)0,11, 上递减，21,2,时，f '(x) 0,12时，函数f(x) 在1, 上无极值点。
3) 当b 12时，解f (x) 0 得两个不同解x11 1 2b2 x21 1 2b2当b 0时，x11 1 2b2 1 ，x21 2b1 ，2 1 ，x1 1, ,x2 1,此时 f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b2当0 b 12时，x1,x22 1 21,f ' (x) 在1,x1, x2, 都大于0 ，f '(x)在(x1,x2)上小于0 ，此时f (x) 有一个极大值点x1 1 1 2b 和一个极小值点x2 1 2b2综上可知，b0时，f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b；；0 b 1时，2 f (x) 有一个极大值点x11 1 2b和一个极小值点2 x21 1 2b；2；b 1时，函数2 f (x) 在1, 上无极值点。
III )当b 1时，f(x) 2x2 ln(x 1). 令h(x) x3 f(x) x3 x2ln(x 1),则h(x)323x3 (x 1)2在0, x1 上恒正，h(x) 在0, 上单调递增，0, 时，恒有h(x) h(0) 0. 即当x 0, 时，有x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 3 x，11对任意正整数n，取x 得ln( 1)nn 123 nn21 ）（本小题满分12 分）1已知函数f（x）n aln（x 1）,其中n∈N*, a为常数. （1 x）n （Ⅰ）当n=2 时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a=1 时，证明：对任意的正整数n, 当x≥2 时，有f （x）≤x-1.（22）（本小题满分14 分）如图，设抛物线方程为x2=2py（p>0）,M 为直线y= -2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A， B. （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p）时，AB 4 10 ，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在uuur uuur uuur 抛物线x2 2py （ p>0）上，其中，点C满足OC OA OB （O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由21）Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x>1} ，当n=2 时，f (x) 1 2 aln(x 1),(1 x)a(x x1)(x x2 ) 此时f (x) a(x(1x1)x()x3 x2).1，x1）时，f （x） 0, f （x）单调递减；当x∈( x1+∞)时，f (x) 0, f (x) 单调递增.所以 f (x)2 a(1 x)2(1 x)31）当a>0 时，由f （x） 0 得2)当 a ≤0 时， f (x) 0 恒成立，所以 f(x) 无极值 .综上所述， n=2 时，当a ≤0时，f(x)无极值 .当 n 为偶数时，所以 f(x)≤x-1 成立 . 当 n 为奇数时，1要证 f(x) ≤x-1,由于 n < 0，所以只需证 ln( x-1) ≤ x-1,(1 x)n令 h(x)=x-1-ln( x-1),1 x 2则 h (x) 1≥0(x ≥2) ,x 1 x 1所以 当 x ∈[2，+∞]时， h(x) x 1 ln(x 1)单调递增，又 h(2)=1>0， 所以当 x ≥ 2时，恒有 h(x) >0,即 ln ( x-1)< x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立 .1：当 a=1时， f (x) n ln(x 1).(1 x)1 当 x ≥2，时，对任意的正整数 n ，恒有n ≤ 1， (1 x) 故只需证明 1+ln( x-1) ≤ x-1.令 h(x) x 1 (1 ln(x 1)) x 2 ln(x 1),x 2,当 a >0时，f(x)在 x 12处取得极小值，极小值为f (1a 2) a 2(1 ln 2a ).Ⅱ)证法一：因为 a=1,所以f (x)1 (1 x)nln(x 1).令 g(x) x1 (1 x)n ln(x 1),则 g (x) n n1(x 1)1 x1x2 x1n n1(x 1)0,(x 2) .所以当x ∈ 又[2,+∞]时， g(x)单调递增，因此 g(x) x 11 (x 1)nln(x 1) ≥g(2)=0 恒成立，证法0,h (x) ≥ 0，故 h(x)在 2, 上单调递增， 因此 当 x ≥ 2时， h(x)≥h(2)=0 ，即 1+ln( x-1) ≤x-1成立 .B 三点的横坐标成等差数列 x 0=2 时， 将其代入①、②并整理得：22则 h(x) 1当 x ≥ 2 时， 故 当 x ≥ 2 时， 有(11x)nln(x 1) ≤ x-1.即 f (x )≤ x-1.(22)2 x 1Ⅰ)证明：由题意设 A(x 1, 1 ), B( x 2 , 1 2p 22x 22 ),x 1<x 2,M (x 0, 2p).2p 1 2 02由 x 2py 得 yx 2 ，2p ，所以 k MA 1px 2因此直线 MA 的方程为2px1(xpx 0),直线 MB 的方程为2pxp 2(xx 0).2 所以 x 12p2px1(x 1 px 0),2x 22p2px2(x 2px 0).由①、②得2x 1 x 22x 1 x 2x 0,因此x 0x 1x 22，即 2x 02x 1x 2.所以 A 、 M 、Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当x1 4x1 4p22x22 4x2 4p2 0,0,2p 2x 04px 0由弦长公式得又 AB 4 10 ， 所以 p=1 或 p=2 ，22因此所求抛物线方程为 x 2 2y 或 x 2 4y.Ⅲ)解：设 D(x 3,y 3)，由题意得 C(x 1+ x 2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为 Q(x 1 x 22 x 3,y 1y 22 y 3),设直线 AB 的方程为 y y 1 x 0 (x x 1), p代入得 y 3 x 0 x 3.p2若 D （x 3,y 3 ）在抛物线上，则 x 32 2py 3 2x 0x 3, 因此 x 3=0 或 x 3=2x 0.2x 02即 D(0，0)或 D(2x 0 , 0 ).p1)当 x 0=0 时，则 x 1 x 2 2x 00 ，此时，点 M （0,-2p ）适合题意 .2222 x 1 x 22)当 x 0 0，对于 D(0，0)，此时 C(2x 0, 12),k CD0 02pCD所以 x 1、 x 2是方程 因此 x 1 x 24,x 1x 222x 2x 1又kAB2p 2px 2 x 12p所以 k AB4x 4p 2 x 00的两根，AB 1 k 2 (x 1 x 2)2 4x 1x 2由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点x 1 x 22y1 y 2）也在直线 AB 上，22 1 x2x 1x 2 4p 2,2x 2p又 k AB,AB ⊥ CD ，p即 x 12 x 224p 2, 矛盾 .22x1 x 2）, 此时直线 CD 平行于 y 轴，2p又 k AB0,p所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以x 0 0 时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点 M （0， -2p ）适合题意 .（21 ）（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km ，建在 C 处的垃圾处理厂对 城A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（I ）将 y 表示成 x 的函数；（Ⅱ）讨论（ I ）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离 ;若不存在，说明理由。