比赛课件 5.3对数函数的图像与性质

·
-∞
(1, 0)
x
+∞
(1, 0)
0
x
+∞
1.0 a 1减函数 1.a定义域 1增函数 值 域 R （0，+∞）
-∞
2.当x 1时, y 0 2.当x 1时, y 0 ,0yx0 1时, y 0 过点（1，0),即 x 1时 当 当0 x 1时, y 0
1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字 样的木炭，当时测定，其14C分子的衰减速度为 4.09个/(g·min),而新砍伐烧成的木炭中14C的衰 减速度为6.68个/(g·min),请估算出Hammurbi王 朝所在年代.
解:因为14C的半衰期大约是5 730年，所以建立方程
1 2
物质的衰减服从指数规律：
C（t）=C0e–r t ，
其中t表示衰减的时间，C0 表示放射性物质的原始质量，
C（t）表示经衰减了t年后剩余的质量.为计算衰减的年 代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物 质的半衰期，14C的半衰期大约是5 730年，由此可确定 系数r.人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量 成正比的.
当0 x 1时, y 0
类比指数函数图像和性质的研究，研究对数函数的性质：
思考：底数a是如何影响函数y=logax的 ?
规律:在第一象限内，自左向右，图像对应的对数 函数的底数逐渐变大.
Ⅰ
Ⅱ 在直线x=1的右侧， 当a>1时，底数越大， 图像越接近x轴，当 0<a<1时，底数越小， 图像越接近x轴. Ⅳ
(3)因为函数y=log3x是增函数， π>
,同理 log3 π > log3 3 = 1 log3 π > logπ 3 所以 此时
3，所以 ， 1 = logπ π > log π3
(4)当a>1时，函数y=logax在 （0,) 上是增函数，
loga 3.1 < loga 5.2
当0<a<1时，函数y=logax在 上是减函数， （0， ）
例3
观察在同一坐标系内函数y=log2x(x∈（0，
+∞）)与函数y=2x（x∈R）的图像，分析它们之间
的关系. y
Q(b,a)
y=x
y Q(b,a)
y=2x y=x y=log2x P(a,b) (1,0) x
P(a,b)
(0,1)
O
o
x
（1 ）
（2 ）
解：从图（1）上可以看出，点P（a,b）与点Q（b,
a）关于直线y=x对称.函数y=log2x与函数y=2x互为反
函数，对应于函数y=log2x图像上的任意一点P（a,
b），P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x
图像上，所以，函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像
关于直线y=x对称（如图（2））.
例4 人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工 作中，常用14C的含量来确定有机物的年代，已知放射性
归纳性质 函 图 数
y log a x ( a 1)
y log a x ( 0 a 1)
像
定义域 值 域 过定点 单调性
o
1
o
1
（0，+∞） R （1 ，0 ）
增函数
函数值变 当x 1时, y 0 化情况 当0 x 1时, y 0
减函数 当x 1时, y 0
(0,1] log 1 x 的定义域为_______. 2
(2)loga 2.5,loga 3.8(a 0, a 1)
答案： a > 1
0< a< 1
3.比较下列各题中两个数的大小
答案：lg 6 < lg8
loga 2.5 < loga 3.8
loga 2.5 > loga 3.8
3 4.若 log a 1(a 0且a 1), 则实数a的取值范围是 （ B ） 4 3 A.0 a 4 3 B.0 a 或a 1 4 C .a 1 D.0 a 1 3 3 解： log a 1, log a log a a. 4 4 当a 1时，函数y log a x为增函数， a 1.
3 当0<a<1时，函数y log a x为减函数， 0 a . 4 3 a的取值范围为0 a 或a 1。 4
1.对数函数的图像和性质. 2.函数y=f(x)与它的反函数的图像关于直线y=x对称.
布置作业
作业：p97页练习3-5
第3、4题
在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在 智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。
5.3
对数函数的图像和性质
界首一中 荣战
1.对数函数的概念：
我们把 y loga x(a 0且a 1) 叫作对数函数，
其中定义域是 0, ,值域是R, a 叫作对数函数的
底数. 2.指数函数 y = ax 和对数函数 y log a x ( a 0, a 1)
互为反函数.
=e-5
730r
解得r=0.000 121,由此可知14C的衰减规律服从指数 型函数C（t）=C0e-0.000
121t
设发现Hammurbi 王朝木炭时（公元1950年）,该木
炭已衰减了t0年，因为放射性物质的衰减速度是与
其质量成正比的，所以
C(t 0 ) 4.09 C0 6.68
于是 e
0.000 121t 0
（3）左右比较：作图像与 y 1 的交点，交点的横坐标越大， 对应函数的底数越大.
例1.求下列函数的定义域：
对数式有意义:底数 大于0且不等于1,真 解析:（1）因为x2>0,即x≠0， 数大于0.
（1）y=㏒ax2
（2）y=㏒a(4-x)
所以函数y=㏒ax2的定义域为{x|x≠0 }.
（2）因为4-x>0,即x<4，
y=log(x-1)(3-x)的定义域为
(1,2)
4x 3 0 (2)因为 log 0.5 (4x 3) 0
3 3 x ＜x 1 4 4 4x 3 1
3 ,1]. 所求定义域为 ( 4
例2.比较下列各题中两个数的大小
(1)log 2 5.3, log 2
(3)log 3
4.7
(2) log 0.2 7, log 0.2 9
π , log π 3
(4) log a 3.1, log a 5.2( a 0, a 1)
解: (1)因为2>1，函数y=log2x是增函数，5.3>4.7,
所以 log 2 5.3 log 2 4.7 (2)因为0<0.2<1, 函数y=log0.2x是减函数，7<9， 所以log0.27>log0.29
函数y=log2x的图像
y
性质：
2
1
11 42
（1）定义域是 (0, )
（2）值域是 R
1 2
O -1 -2
3
4
x
（3）图像过特殊点(1,0)
（4）在其定义域上是增 函数
1.掌握对数函数的图像与性质.（重点）
2.会应用对数函数的图像与性质解决一些简单问 题.(难点） 3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
Ⅲ
底数变化对对数函数图像的影响： (1)底数大于 1 时，对数函数在其定义域上是增函数； 底数大于 0 且小于 1 时，对数函数在其定义域上是减函数；
（2）上下比较：在直线 x 1 右侧， a 1 时， a 越大 图像越靠近 x 轴， 0 a 1 时， a 越小，图像越靠近 x 轴；
解： （1）函数 y log 5 x 在其定义域内是增函数， 且 9.4 8.5 ，所以 log 5 9.4 log 5 8.5
（ 2）函数 y log 0.6 x 在其定义域内是减函数， 且 3.8 2.7 ，所以 log 0.6 3.8 log 0.6 2.7.
(3)根据 y log 2 x与y log 3 x 的图像的位置关系 可得 log 2 5 log 3 5
此时
loga 3.1> log. a 5.2
【提升总结】 利用对数函数的性质比较大小： 当底数相同真数不同时，直接利用单调性即得结果； 当底数不同真数相同时，可以根据对数函数图像与底 数反映出来的规律比较大小； 当真数与底数都不同时，常引入第三个数1或0，间接
比较两个对数的大小.
【变式练习】
比较下列各组中两个值的大小： （1） log 5 9.4, log 5 8.5 （2） log 0.6 3.8, log 0.6 2.7 （3） log 2 5， log 3 5
所以函数y=㏒a(4-x)的定义域为{x| x<4}.
练一练：
求下列函数的定义域： （） 1 y log (3 x)； （x 1） (2) y log 0.5 (4 x 3).
3 x 0 1 因为 x 1 0 x 1 1
所以1<x<3,x≠2，即函数
对数函数y=log0.5x的图像
y 2
性质：
1
O -1 -2
（1）定义域是 (0, )
11 42
1
2
3
4
x
（2）值域是 R
（3）图像过特殊点 (1, 0)
（4）在其定义域上是减
Baidu Nhomakorabea
函数
y +∞ y log a （ x a 1 x 0 a 1） ） y +∞ y log a （
0
=
4.09 6.68
两边取自然对数，得 -0.000 121t0 =㏑4.09-㏑6.68, 解得t0≈4 054（年） 即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年.
1 1 ( , ) y = log 2 1.函数 的定义域为__________. 3 2x - 1
2.函数 y =
(1) lg 6, lg 8