2015-2016学年高中数学 1.2.4第1课时 诱导公式(一)课时作业 新人教B版必修4
2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业：1.2.4 诱导公式(一)、(二) Word版含解析.pdf
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3
3
A. 3 B．－ 3 C. D．－
3
3
解析：tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
答案：B
2．如果 α，β 满足 α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ； ②sinα＝－sinβ；
25
5
3．已知 a＝tan － π ，b＝cos － π ，c＝sin π，则 a，b，c 的大小关系为( )
6
4
3
A．b＜a＜c B．c＜a＜b
C．a＜b＜c D．a＜c＜b
( ) ( ) ( ) π
π
3
25π
π
π2
解析：a＝tan － ＝－tan ＝－ ，b＝cos － ＝cos －6π－ ＝cos ＝ ，c＝sin
4
4
4
答案：B
cos－αtan6π＋α
4．化简：
＝________.
sin2π－α
cosαtanα cosα sinα
解析：原式＝
－sinα
＝－ · ＝－1. sinα cosα
答案：－1
tanα－1 1
5．已知
＝，
2tanα＋1 3
cosα－2πsin2π－α
求
的值．
sin－2π－αtan2π＋αcos－α＋4π
③cosα＝cosβ； ④tanα＝－tanβ.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵α＋β＝2π，∴α＝2π－β，∴sinα＝sin(2π－β)＝－sinβ，故①错，②正确；cosα＝
cos(2π－β)＝cosβ，故③正确；
诱导公式1课件
又∵α 为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角，
∴sin(75°＋α)＝－ 1－cos275°＋α
＝－ 1－132＝－2 32， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－13＋2 3 2＝2
2－1 3.
课堂典例讲练
•诱导公式(一)的应用
•
求下列各式的值：
• (1)tan405°－sin450°＋cos750°；
2 2.
• 5．tan690°的值为________．
[答案]
－
3 3
[解析]
tan690°＝tan(2×360°－30°)＝－tan30°＝－
3 3.
6．已知 cos(75°＋α)＝13，其中 α 为第三象限角，求 cos(105° －α)＋sin(α－105°)的值．
[解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)， ∵cos(75°＋α)＝13>0，
＝ 22× 23－ 23×1＝
6－2 4
3 .
(2)原式＝cos(2π－π6)sin(4π－π3)＋tan174π ＝cos(－π6)sin(－π3)＋tan(4π＋π4) ＝－cosπ6sinπ3＋tanπ4 ＝－ 23× 23＋1 ＝－34＋1＝14.
(2015·山东潍坊高一期末测试)sin(－1 050°)＝( )
sin216° • ＝sin(180°＋36°)＝－sin36°.
• 4．cos(－945°)的值等于________．
[答案]
－
2 2
[ 解 析 ] cos( － 945°) ＝ cos945°＝ cos(2×360°＋ 225°) ＝
1.3.2诱导公式五、六——课时作业(答案版)
§1.3.2诱导公式五、六参考答案1．【答案】D【解析】sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(90°－75°)＝cos75°.2．【答案】B【解析】由于sin )2(θπ+＝cos θ<0，cos )2(θπ-＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 3．【答案】C【解析】f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ，f (2π－x )＝sin(2π－x )＝－sin x ，f (x －π2)＝sin(x －π2)＝－sin(π2－x )＝－cos x ， f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.4．【答案】B【解析】由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2. cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a . 5．【答案】A【解析】由题意，tan α＝tan γ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝1，sin 2α＋cos 2α＝1，又α是第一象限角，解得⎩⎨⎧ sin α＝22，cos α＝22， 所以sin β＝sin(α＋90°)＝cos α＝22.故选A. 6．【答案】D【解析】∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C .所以A ，B 都不正确；同理，B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A 2. 因此D 是正确的．7．【答案】－sin 2α【解析】原式＝)22sin()2cos(απππα++-·(－sin α)·cos(－α) ＝)2sin(sin απα+·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 8．【答案】2【解析】由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 9．【答案】－425【解析】f (θ－5π12)＝2cos(θ－5π12－π12)＝2cos(θ－π2)＝2cos(π2－θ)＝2sin θ， 由已知可得θ为第四象限角，所以sin θ<0，故sin θ＝－1－cos 2θ＝－45， f (θ－5π12)＝2sin θ＝2×(－45)＝－425.10．【解析】(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 两边平方整理得2sin αcos α＝－79， 又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1＋79＝43. (2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α) ＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α)＝－43×(1－718)＝－2227.11．【解析】∵5x 2－7x －6＝0的两根x ＝2或x ＝－35， ∴sin α＝－35. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. ∴tan α＝34. ∴原式＝(－cos α)·(－cos α)·tan 2α·(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝34.12．【解析】已知条件可化为⎩⎨⎧ sin α＝2sin β3cos α＝2cos β①②两式平方相加可得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＝12， ∵0<α<π，∴sin α＝22，∴α＝π4或α＝3π4， 当α＝π4时，代入②可求得cos β＝32， 又因为0<β<π，所以β＝π6. 当α＝3π4时，代入②可求得cos β＝－32， 又因为0<β<π，所以β＝5π6. 综上，⎩⎨⎧ α＝π4，β＝π6，或⎩⎨⎧ α＝3π4，β＝5π6.。
课时作业11：1.2.4 诱导公式
1.2.4 诱导公式1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝63，则sin α的值为( ) A.33 B ．－33 C.63D ．－632．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.233D ．－2333．已知cos α＝23，α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值为( ) A.23 B.53C ．－23D ．－534．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin150°)的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－325．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.236．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为( ) A.13B ．－13C ．－223D.2237．若cos(π＋α)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 8．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°＝________.9．cos α2＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π－α2，则α2是第________象限角(设α是第二象限角)．10．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－θ＝72，求sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos 3⎝⎛⎭⎫3π2－θ的值．11．若sin θ＝33，求cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．12．化简：(1)sin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (10π＋α)＋sin (11π－α)cos ⎝⎛⎭⎫52π＋αsin (π＋α)；(2)cos ⎝⎛⎭⎫3k ＋13·π＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3k －13·π－α(k ∈Z )．参考答案1．D【解析】cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α，∴sin α＝－63. 2．A【解析】∵⎝⎛⎭⎫α＋π6－⎝⎛⎭⎫α－π3＝π2. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．D【解析】∵α是第四象限角，∴sin α＝－53. cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝－53. 4．B【解析】f (sin150°)＝f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos120° ＝－cos60°＝－12.5．B【解析】原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.6．B【解析】∵⎝⎛⎭⎫α＋7π12－⎝⎛⎭⎫α＋π12＝π2. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 7．－13【解析】cos(π＋α)＝－cos α，∴cos α＝13.sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－13. 8．45.5【解析】设A ＝sin 21°＋sin 22°＋…sin 289°＋sin 290°， 则A ＝cos 289°＋cos 288°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝cos 21°＋cos 22°＋…cos 289°＋sin 290°.∴2A ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＋2. ∴2A ＝89＋2＝91. ∴A ＝45.5，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＋sin 290°＝45.5. 9．三【解析】由cos α2＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π－α2，得cos α2＝－sin 2⎝⎛⎭⎫π－α2，即cos α2＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝－⎪⎪⎪⎪cos α2， ∴cos α2<0，即α2为第二、三象限角．∵α为第二象限角， ∴α2为第一、三象限角． ∴α2为第三象限角． 10．解：∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2－θ＝72， ∴sin θ＋cos θ＝72. ∴sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos 3⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝cos 3θ＋sin 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(sin θ＋cos θ)⎣⎡⎦⎤1＋1－(sin θ＋cos θ)22＝5716. 11．解：cos(π－θ)＝－cos θ，sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ， cos(2π－θ)＝cos θ， cos(π＋θ)＝－cos θ， sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－cos θ.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫332＝6.12．解：(1)原式＝－cos αsin αcos α＋sin αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.(2)当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝⎛⎭⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫k π－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos[(2n ＋1)π＋π3＋α]cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π3－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α.。
高一数学诱导公式1-4练习含答案
高一数学诱导公式1-4学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin 120°cos 210°的值为( )A ．－34B.34 C ．－32 D.14解析：由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－32×32＝－34，故选A.答案：A2．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＋cos β＝0C ．tan α＋tan β＝0D ．sin α＝cos β 解析：sin α＝sin(π－β)＝sin β，A 成立；cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴cos α＋cos β＝0，B 成立；tan α＝tan(π－β)＝－tan β，∴tan α＋tan β＝0，C 成立；sin α＝sin β≠cos β，∴D 不成立．答案：D3．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( ) A.43B.34 C ．－43D ．－34 解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：D4．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ是第________象限角( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，可知θ是第二象限角，故选B.答案：B5．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．tan α＝tan βD ．cos (2π－α)＝cos β 解析：∵α和β的终边关于y 轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β.答案：A6．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)· sin 1 410°等于________．解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410 °＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360 °－30°)＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin (－30°) ＝－32×(－32)＋12×12＝34＋14＝1. 答案：17．若tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π ＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为________． 解析：由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －18．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________． 解析：因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13. 答案：139．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解析：∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2α－75°＝－1－－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 10．设f (θ)＝cos 4π＋θ·cos 2π＋θ·sin 23π＋θsin θ－4π·sin 5π＋θ·cos 2－π＋θ. (1)化简f (θ)；(2)若θ＝660°，求f (θ)的值．解析：(1)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·sin π＋θ·cos 2θ＝cos 3θ·sin 2θsin θ－sin θ·cos 2θ＝－cos θ. (2)因为θ＝660°，所以f (θ)＝f (660°)＝－cos 660°＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°＝－12.。
课时作业24：1.2.4 诱导公式
1.2.4 诱导公式课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．sin240°＝( )A.12 B .－12C.32D.－322．已知sin(π＋α)＝－12，那么cos α的值为( ) A ．±12 B.12C.32D.±323．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1 D.14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－α的值为( ) A.13 B .－13C.223D.－2235．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12 B .－12 C.32 D.－326.sin π6cos π2－tan π4－2sin π3cosπsinπ－3tan π6＋2cos π6tan π3的值为________． 7．已知cos(π＋α)＝45，且α的终边在x 轴上方，则sin(2k π＋α)＝________(k ∈Z )． 8．已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．[B 组 技能提升]1．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是( )A ．cos(A ＋B )＝cosC B.sin(A ＋B )＝sin CC ．tan(A ＋B )＝tan C D.sin A ＋B 2＝sin C 22．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为( ) A.13 B .－13C ．－223 D.2233．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.4．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎫2k π－π3；②cos ⎝⎛⎭⎫2k π－π6； ③sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3；④cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，k ∈Z ，其中与sin π3的值相同的是________(填序号)． 5．化简：(1)cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°； (2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.6．已知：－3π2<x <－π，tan x ＝－3. (1)求sin x ·cos x 的值；(2)求sin (360°－x )·cos (180°－x )－sin 2x cos (180°＋x )·cos (90°－x )＋cos 2x的值．【参考答案】课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．D【解析】sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32，故选D. 2．D【解析】∵sin(π＋α)＝－sin α＝－12，故sin α＝12，∴cos α＝±1－sin 2α＝±32. 3．A 【解析】tan(5π＋α)＝tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 4．A【解析】sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13.故选A. 5．C【解析】sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，故选C. 6. 3－12 【解析】原式＝12×0－1＋2×32×10－3×33＋2×32×3＝3－12. 7．35【解析】∵cos(π＋α)＝45＝－cos α，∴cos α＝－45<0. 又α的终边在x 轴上方，∴sin α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35. ∴sin(2k π＋α)＝sin α＝35. 8．解：由tan(π＋α)＝tan α＝3，原式＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7. [B 组 技能提升]1．B2．B 【解析】cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13，故选B.3．－32【解析】f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 4．②③【解析】①sin ⎝⎛⎭⎫2k π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－sin π3； ②cos ⎝⎛⎭⎫2k π－π6＝cos π6＝32＝sin π3； ③sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝sin π3； ④cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝cos π3＝12≠sin π3. 5．解：(1)cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480° ＝cos45°－sin30°－sin45°－cos60° ＝22－12－22－12＝－1. (2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790° ＝1＋2sin (－70°＋360°)cos (70°＋360°)sin (180°＋70°)＋cos (70°＋2×360°) ＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝(sin70°－cos70°)2cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 6．解：(1)∵tan x ＝－3，∴sin x ＝－3cos x ， ∴sin 2x ＋cos 2x ＝10cos 2x ＝1，∴cos 2x ＝110，∴sin x ·cos x ＝－3cos 2x ＝－310. (2)原式＝(－sin x )(－cos x )－sin 2x (－cos x )·sin x ＋cos 2x＝sin x cos x －sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝sin x (cos x －sin x )cos x (cos x －sin x )＝tan x ＝－3.。
人教A版高中数学必修第一册 同步教案 诱导公式
5.3 诱导公式最新课程标准：(1)借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.(2)掌握六组诱导公式并能灵活运用．第1课时 诱导公式(一)知识点状元随笔 诱导公式一～四的理解 (1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． (3)公式一、二、三、四都叫诱导公式,它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α,－α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,概括为“函数名不变,符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π＋α),若α看成锐角,则π＋α的终边在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin(π＋α)＝－sin α. [教材解难] 教材P 190思考利用公式一～公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行：[基础自测]1．对于诱导公式中的角α,下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2π C ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角． 答案：D2．sin 600°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－32. 答案：D3．若sin(π＋α)＝－12,则sin(4π－α)的值是( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：∵sin(π＋α)＝－12,∴sin α＝12,sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：A4．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1.答案：－1题型一 给角求值问题[经典例题]例1 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是( ) A.－34 3 B.34 3C ．－34 D.34(2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)． 【解析】 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·(－3)＝－334. (2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°) ＝sin 30°·(－cos30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°) ＝－3sin 1 200°·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×(－1)＝3－22.。
诱导公式练习题含答案
诱导公式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知tan(x+π2)=5，则1sin x cos x=（）A.265B.−265C.±265D.−5262. cos390∘=( )A.1 2B.√32C.−12D.−√323. cos23π6=（）A.1 2B.−12C.√32D.−√324. 已知sin(α2−π4)=√210，则sinα＝（）A.−1225B.1225C.−2425D.24255. 已知tanα=3，则2sin a+cosα2cos a−3sinα的值是（）A.5 3B.1C.−1D.−536. 已知sin(α−π4)=13，则cos(α+π4)的值等于()A.−13B.13C.−2√23D.2√237. 若cosα=−45，且α是第三象限角，则tanα=()A.−34B.34C.43D.−438. 若tanα=√3，且α为第三象限角，则cosα−sinα的值为( )A.−1+√32B.√3−12C.1−√32D.1+√329. 已知f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α)．（1）化简f(α)；（2）若α是第三象限角，且sin (α−π)=15，求f(α)的值．10. 在△ABC 中，∠A,∠C 均为锐角，且|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，求∠B 的度数．11. 已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘，求cos α的值．12. 已知f(x)=sin (π2+x)−2cos (π+x)sin (π−x)+cos (−x).(1)求f (π4)的值；(2)若f(α)=2,α是第三象限角，求tan α及sin α的值.13. 已知f (α)=sin (α−π)cos (3π2+α)cos (−α−π)sin (5π+α)sin (α−2π).(1)化简f (α)；(2)若sin (α+π2)=−25√6，求f (α+π)的值；(3)若α=2021π3，求f (α)的值．14. 已知f(α)=sin (α−π2)cos (3π2−α)tan (π+α)cos (π2+α)sin (2π−α)tan (−α−π)sin (−α−π).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，求f(α)的值.15. 已知sin(x+π3)=13，求sin(4π3+x)+cos2(−x+5π3)的值．16. 已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)−1．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．参考答案与试题解析诱导公式练习题含答案一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系．【解答】解：因为tan(x+π2)=sin(x+π2)cos(x+π2)=cos x−sin x =−1tan x=5，所以tan x=−15，所以1sin x cos x =sin2x+cos2xsin x cos x=tan2x+1tan x =−265．故选B．2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简即可得解.【解答】解：cos390∘=cos(360∘+30∘)=cos30∘=√32.故选B.3.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意，直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行化简求值即可. 【解答】解：已知cos23π6=cos(23π6−4π)=cos(−π6)=cosπ6=√32.故选C.4.【考点】两角和与差的三角函数【解析】两边同时平方，然后结合二倍角正弦公式即可求解．【解答】∵sin(α2−π4)=√210，∴√22(sin12α−cos12α)=√210，即sin12α−cos12α=15，两边同时平方可得，1+2sin12αcos12α=125，则sinα=−2425．5.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】运用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵sin(α−π4)=13，∴cos(α+π4)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−sin(α−π4 )=−13．故选A.7.【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由cos α的值，及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，即可确定出tan α的值即可． 【解答】解：∵ cos α=−45，且α是第三象限角， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−35， 则tan α=sin αcos α=34. 故选B . 8.【答案】 B【考点】同角三角函数基本关系的运用 运用诱导公式化简求值 【解析】由tan α=2，即sin αcos α=2，sin 2α+cos 2α=1，且α是第三象限角，即可求解sin α，cos α．从而求解cos α−sin α的值． 【解答】解：∵ tan α=√3，α为第三象限角， ∴ sin α=√3cos α，sin α<0，cos α<0， 由sin 2α+cos 2α=1， 则(√3cos α)2+cos 2α=1， 解得cos α=−12，sin α=−√32． 则cos α−sin α=−12−(−√32) =−12+√32=√3−12． 故选B ．二、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 9.【答案】f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α) =sin αcos α(−sin α)sin αsin α＝−cos α．∵ α是第三象限角，且sin (α−π)=15，∴ sin α=−15，∴ cos α=−√1−sin 2α=−√1−125=−2√65， ∴ f(α)＝−cos α=2√65． 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；（2）由α是第三象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，所求式子利用诱导公式化简后，代入计算即可求出值； 【解答】f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α)=sin αcos α(−sin α)sin αsin α＝−cos α． ∵ α是第三象限角，且sin (α−π)=15，∴ sin α=−15，∴ cos α=−√1−sin 2α=−√1−125=−2√65， ∴ f(α)＝−cos α=2√65． 10. 【答案】解：因为|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，所以12−sin A =0，cos C −√22=0，所以sin A =12，cos C =√22. 因为∠A,∠C 均为锐角，所以∠A =30∘，∠C =45∘，所以∠B =180∘−30∘−45∘=105∘. 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，所以12−sin A =0，cos C −√22=0，所以sin A =12，cos C =√22. 因为∠A,∠C 均为锐角，所以∠A =30∘，∠C =45∘，所以∠B =180∘−30∘−45∘=105∘. 11. 【答案】已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘， 所以90∘<30∘+α<180∘ 所以cos (30+α)=−45，则：cos α＝cos [(30∘+α)−30∘]＝cos (30∘+α)cos 30∘+sin (30∘+α)sin 30∘=−45×√32+35×12=3−4√310． 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】直接利用三角函数关系式的应用求出结果． 【解答】已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘， 所以90∘<30∘+α<180∘ 所以cos (30+α)=−45，则：cos α＝cos [(30∘+α)−30∘]＝cos (30∘+α)cos 30∘+sin (30∘+α)sin 30∘=−45×√32+35×12=3−4√310． 12. 【答案】 解：(1)∵ f(x)=sin (π2+x)−2cos (π+x)sin (π−x)+cos (−x)=cos x +2cos xsin x +cos x=3tan x+1,∴ f (π4)=3tan π4+1=31+1=32.(2)∵ 已知f(α)=3tan α+1=2, ∴ tan α=sin αcos α=12,又sin2α+cos2α=1,α是第三象限角,∴ 解得：sinα=−√55.【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(x)=sin(π2+x)−2cos(π+x) sin(π−x)+cos(−x)=cos x+2cos x sin x+cos x=3tan x+1,∴f(π4)=3tanπ4+1=31+1=32.(2)∵已知f(α)=3tanα+1=2, ∴tanα=sinαcosα=12,又sin2α+cos2α=1,α是第三象限角,∴ 解得：sinα=−√55.13.【答案】解：(1)f(α)=−sinαsinα(−cosα)−sinαsinα=−cosα(α≠kπ,k∈Z).(2)∵sin(α+π2)=cosα=−2√65，∴ f(α+π)=−cos(α+π)=cosα=−2√65.(3)∵ α=2021π3=674π−π3，∴ f(α)=−cosα=−cos(674π−π3 )=−cosπ3=−12.【考点】运用诱导公式化简求值【解析】(1)由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得f(α)的解析式．(2)由条件利用诱导公式化简可得cosα=−2√65，从而求得f(α)=−cosα的值；(3)α=2021π3=674π−π3，利用诱导公式求得f(α)的值．【解答】解：(1)f(α)=−sinαsinα(−cosα)−sinαsinα=−cosα(α≠kπ,k∈Z).(2)∵sin(α+π2)=cosα=−2√65，∴ f(α+π)=−cos(α+π)=cosα=−2√65.(3)∵ α=2021π3=674π−π3，∴ f(α)=−cosα=−cos(674π−π3 )=−cosπ3=−12.14.【答案】解：(1)由题意知f(α)=−sin(π2−α)(−sinα)tanα(−sinα) sin(−α)(−tanα)[−sin(π+α)]=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα.(2)∵cos(α−3π2)=cos(3π2−α)=−sinα=15，∴sinα=−15，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−2√65, ∴ f(α)=−cosα=2√65. 【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知f(α)=−sin(π2−α)(−sinα)tanα(−sinα) sin(−α)(−tanα)[−sin(π+α)]=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα.(2)∵ cos (α−3π2)=cos (3π2−α)=−sin α=15， ∴ sin α=−15，又α为第三象限角，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√65, ∴ f(α)=−cos α=2√65. 15.【答案】解：∵ sin 2(x +π3)+cos 2(x +π3)=1， 又sin (x +π3)=13，∴ cos 2(x +π3)=1−sin 2(x +π3)=89， ∴ 原式=sin (π+π3+x)+cos 2[2π−(x +π3)]=−sin (π3+x)+cos 2(x +π3) =−13+89=59. 【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式化简即可.【解答】解：∵ sin 2(x +π3)+cos 2(x +π3)=1， 又sin (x +π3)=13， ∴ cos 2(x +π3)=1−sin 2(x +π3)=89， ∴ 原式=sin (π+π3+x)+cos 2[2π−(x +π3)]=−sin (π3+x)+cos 2(x +π3) =−13+89=59.16.【答案】(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)．当x∈[0, π]时，单调递增区间为[0,π8brack和[5π8，πbrack．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】(Ⅰ)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期；(Ⅱ)利用复合函数的单调性求出增区间，进一步得到f(x)在[0, π]上的单调递增区间．【解答】(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)．当x∈[0, π]时，单调递增区间为[0,π8brack和[5π8，πbrack．。
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2015-2016学年高中数学 1.2.4第1课时 诱导公式(一)课时作业 新人教B 版必修4一、选择题1．(2015²山东威海一中高一期末测试)sin240°＝( ) A ．32 B ．12 C ．－32D ．－12[答案] C[解析] sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 2．(2015²河南新乡高一期末测试)sin 11π3的值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[答案] D[解析] sin 11π3＝sin(4π－π3)＝－sin π3＝－32.3．(2015²山东烟台高一检测)cos(－210°)的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32[答案] D[解析] cos(－210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos30°＝－32. 4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35[答案] B[解析] 由题意，知cos θ＝x r ＝45，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.5．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ． ∴sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， cot(A ＋B )＝cot(π－C )＝－cot C ，故选C ． 原题四个式子中①②③式为常数．6．如果α、β满足α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( ) ①sin α＝sin β； ②sin α＝－sin β； ③cos α＝cos β； ④tan α＝－tan β. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] ∵α＋β＝2π，∴α＝2π－β，∴sin α＝sin(2π－β)＝－sin β，cos α＝cos(2π－β)＝cos β，tan α＝tan(2π－β)＝－tan β，故②③④正确，∴选C ．二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.[答案] ± 3[解析] cos(π＋α)＝－cos α＝－12，cos α＝12，∴tan α＝±3，tan(α－9π)＝－tan(9π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝± 3.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. [答案] 35[解析] cos α＝3a 9a 2＋16a2＝3a 5|a |＝－35， cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α＝35.三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°. [解析](1)sin(－840°)²cos1470°－cos(－420°)sin(－930°) ＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930°＝－sin(2³360°＋120°)cos(4³360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2³360°＋210°)＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°) ＝－sin60°cos30°－cos60°sin30° ＝－32³32－12³12＝－1. (2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°) ＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1 ＝－2＋3＋22. 10．化简：cot α²cos π＋α ²sin 23π＋αtan α²cos 3－π－α . [解析] 原式＝cot α² －cos α ²sin 2π＋αtan α²cos 3π＋α ＝cot α² －cos α ² －sin α 2tan α² －cos α 3＝cot α² －cos α ²sin 2αtan α² －cos 3α＝cos2αsin2α²sin2αcos2α＝1.一、选择题1．(2015²河南南阳高一期末测试)若cos(－80°)＝k，那么tan80°＝( )A．1－k2kB．－1－k2kC．k1－k2D．－k1－k2[答案] A[解析]解法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2，∴tan80°＝sin80°cos80°＝1－k2k.解法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k，∴k>0. 又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝1cos280°，∴tan280°＝1k2－1＝1－k2k2，∴tan80°＝1－k2 k.2．(2015²广东揭阳市世铿中学高一月考)1－2sin π＋2 cos π＋2 ＝( )A．sin2－cos2 B．cos2－sim2 C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2 [答案] A[解析]1－2sin π＋2 cos π＋2＝1－2 －sin2 ² －cos2＝1－2sin2cos2＝ sin2－cos2 2，∵sin2>0，cos2<0∴sin2－cos2>0，∴原式＝ sin2－cos2 2＝sin2－cos2.3．若tan(7π＋α)＝a，则sin α－3π ＋cos π－αsin －α －cos π＋α的值为( )A ．a －1a ＋1B ．a ＋1a －1C ．－1D ．1[答案] B[解析] tan(7π＋α)＝tan α＝a ， 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1.4．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B ．255C ．±255D ．52[答案] B[解析] ∵log 814＝log 232－2＝－23，∴sin α＝－23，又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. ∴tan α＝－255，∴tan(2π－α)＝－tan α＝255.二、填空题5．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于________．[答案] 0[解析] 原式＝－sin π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－sin π3－2sin π3＋3sin π3＝0.6．求值：tan －150° cos －570° cos －1 140°cot －240° sin －690° ＝________.[答案]32[解析] 原式＝－tan150°²cos570°²cos1 140°cot240°²sin690°＝－tan 180°－30° ²cos 360°＋180°＋30° ²cos 3³360°＋60°cot 180°＋60° ²sin 720°－30°＝tan30°² －cos30° ²cos60°cot60°² －sin30°＝33³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³1233³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32.三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos π－α －3sin π＋α 4cos α－2π ＋sin 4π－α ； (2)sin(α－7π)²cos(α＋5π)． [解析] tan(π＋α)＝－12⇒tan α＝－12，(1)原式＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3³⎝ ⎛⎭⎪⎫－124－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－79.(2)原式＝－sin α²(－cos α)＝sin α²cos α＝sin α²cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－25.8．求值：a sin810°－b tan(－765°)－(a －b )tan1 035°－2a cos360°. [解析] a sin810°－b tan(－765°)－(a －b )tan1 035°－2a cos360° ＝a sin(2³360°＋90°)＋b tan765°－(a －b )tan(3³360°－45°)－2a cos0° ＝a sin90°＋b tan(720°＋45°)－(a －b )tan(－45°)－2a cos0° ＝a ＋b tan45°＋(a －b )tan45°－2a ＝a ＋b ＋(a －b )－2a ＝0.。