2021年高中数学人教A版必修2练习：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
课后篇巩固提升
基础巩固
1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上都有可能
,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面
BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.
2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()
A.相交
B.异面
C.异面或相交
D.平行
.
3.下列命题中,正确的结论有()
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故②正确;③中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故③正确;④中,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故④正确;故选C.
4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A.平行
B.相交
C.异面
D.相交或异面
,得到结论.
如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
5.
如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是
()
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.
同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,
所以四边形A1BCD1为平行四边形,
所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
平行(2)异面(3)相交(4)异面
7.若∠AOB=120°,直线a ∥OA ,a 与OB 为异面直线,则a 和OB 所成的角的大小为 .
,a 与OB 所成的角为60°.
° 8.
如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为AA 1,AB ,BB 1,B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于 .
A 1
B 1中点M ,连接MG ,MH ,则MG ∥EF ,MG 与GH 所成的角等于EF 与GH 所成的角.易知△MGH 为正三角形,∠MGH=60°,∴EF 与GH 所成的角等于60°.
°
9.在如图所示的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,E 1,F 1分别是棱AB ,AD ,B 1C 1,C 1D 1的中点,求证:
(1)EF E 1F 1; (2)∠EA 1F=∠E 1CF 1.
连接BD ,B 1D 1,在△ABD 中,因为E ,F 分别为AB ,AD 的中点,
所以EF 12
BD ,同理E 1F 1=12
B 1D 1,在正方体ABCD-A 1B 1
C 1
D 1中,因为AA 1 DD 1,AA 1 BB 1,所以B 1B DD 1,所以四边形BDD 1B 1是平行四边形,所以BD B 1D 1,所以EF
E 1
F 1.
(2)取A 1B 1的中点M ,连接BM ,F 1M ,因为MF 1 B 1C 1,B 1C 1 BC ,所以MF 1 BC ,
所以四边形BCF 1M 是平行四边形,所以BM ∥CF 1,因为A 1M EB ,所以四边形EBMA 1是平行四边形,所以A 1E ∥MB ,所以A 1E ∥F 1C ,同理可证:A 1F ∥E 1C ,又∠EA 1F 与∠F 1CE 1两边的方向均相反,所以∠EA 1F=∠E 1CF 1.
10.在空间四边形ABCD 中,AB=CD ,AB 与CD 成30°角,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,求EF 和AB 所成的角.
BD 的中点G ,连接EG ,FG ,
∵E ,F 分别为BC ,AD 的中点,∴EG 12CD ,GF 1
2AB. ∴EG 与GF 所成的角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB=CD ,∴△EFG 为等腰三角形.
又AB 与CD 所成角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.
∵∠GFE 就是EF 与AB 所成的角, ∴EF 与AB 所成角为75°或15°.
能力提升
1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为AA 1,CC 1的中点,则四边形D 1PBQ 是( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形
D.空间四边形
2,直接计算可知四边形D 1PBQ 各边均为√5,又四边形D 1PBQ 是平行四边形,所以四边形D 1PBQ 是菱形.
2.若∠AOB=∠A 1O 1B 1,且OA ∥O 1A 1,OA 与O 1A 1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A.OB ∥O 1B 1且方向相同
B.OB ∥O 1B 1
C.OB 与O 1B 1不平行 D .OB 与O 1B 1不一定平行
,其逆命题不一定成立,OB 与O 1B 1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.
3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对
B.24对
C.36对
D.48对
,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,异面直线共有12×2=24对.所以B选项是正确的.
4.
如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.
CD1的中点G,连接EG,DG.
∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=1
BC.
2
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BC,DF=1
BC,∴EG∥DF,EG=DF,
2
∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,
∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,
∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.
°
5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为.
,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
6.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,
∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为60°,∴∠EGF=60°或120°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=60°时,∠GEF=60°;
当∠EGF=120°时,∠GEF=30°.
故EF与AB所成的角为60°或30°.
7.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?
AD 与BC 成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE ∶AB=x ,则
EF BC
=AE
AB =x.又BC=a ,∴EF=ax.由
EH AD
=BE
AB =1-x ,得EH=a (1-x ).∴S 四边形EFGH =EF×EH×sin 60°=ax×a (1-x )×√32=√32a 2×(-x 2+x )=√3
2
a 2×[-
(x -12)2
+1
4].当x=1
2时,S max =√38a 2,即当E 为AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为√38a 2.。