16.2〓线段的垂直平分线
尺规作图-线段的垂直平分线--点评
16.2 线段的垂直平分线（三）—尺规作图点评
本节课不同于一般的新授课，是一节培养学生作图能力的实践型课堂．但是该课的设计并没有停留在单纯教学会学生作图方法上，而是以此为载体，深挖作图的原理和数学本质，培养学生的思维意识，打开思维的视角，教学生学会思考问题的方法，执果索困，追本溯源．在教学设计上，打破了传统的教学流程（教师演示，学生跟着作图），而是设置了具有较强的开放性学生活动，便于学生从多角度去探索知识．例如，一开始教师将“求作线段AB垂直平分线”这一问题直接抛给学生，并给学生留出充分思考的时间和空间，鼓励学生大胆尝试操作、并与同学合作交流，学生不仅学会了作图，还弄清了作图的理由，真正做到了对学生思维能力的培养．
在学生活动中，教师引导学生通过操作、观察、思考、归纳等方法探究解决问题的思路．同时，教师注意观察学生的活动、倾听学生的发言，及时捕捉学生的思维难点，加以启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的学习态度，发展学生的演绎推理能力．做到了及时追问挖深度、总结提升扩广度，有效把握课堂生成．
总之，这节课为了让学生的手动起来，脑活起来，精心设计，在有效的问题和师生交流中启迪学生思维，提升学生能力．。
16.2.1 线段垂直平分线的性质课件(共14张PPT) 冀教版数学八年级上册
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
线段的垂直平分线性质
谢谢观看
性质
因此，l是AB的垂直 平分线。
设线段为AB，中点 为M，垂直平分线为l。 在l上任取一点P，连 接PA、PB。
证明方法二：利用角 平分线的性质证明
性质
01
02
03
04
由于M为AB中点，所以 AM=BM。
又因为l与AB垂直，所以 ∠PAM=∠PBM=90°。
根据角平分线的性质， ∠PMA=∠PMB（角平分 线的性质）。
方法二
利用向量的性质。通过向量运算，证 明线段的中点和直线的交点满足垂直 平分线的性质。
判定定理的证明
• 证明过程：首先，设线段AB的中点为M，直线l过M并与AB垂直。根据中点性质，有MA=MB。再根据直线与线段垂直的性 质，有∠A=∠B=90°。最后，根据三角形的全等判定，可以证明△AOB为直角三角形，从而得出l为AB的垂直平分线。
已知三角形，作三角形的垂直平分线
总结词
通过三边中点作垂直平分线
详细描述
首先，找到三角形三边的中点，然后分别过这三个中点作垂直平分线。这些垂直平分线会交于一点， 这个点就是三角形的重心。
已知圆和直径，作垂直平分线的作法
总结词
通过直径两端点作垂直平分线
VS
详细描述
首先，确定圆的直径的两个端点，然后分 别过这两个端点作垂直于该直径的直线， 即为该直径的垂直平分线。这个过程可以 通过几何作图或使用圆规来完成。
最值问题
利用垂直平分线的性质，可以解决一 些求最值的数学问题。例如，在给定 区域内求点到线段两端点距离之和的 最小值等。
04
垂直平分线的作法
已知线段和点，作线段的垂直平分线
总结词
通过中点作垂直平分线
详细描述
16.2线段的垂直平分线
Q P ●
O
R
B
P″
解：1．作点A关于EF H
的对称点A′
2．连结A′B交EF于
点C.则沿AC撞击黑球
A，必沿CB反弹击中
白球B。
E
B C
G A
F
A′
迁移与应用
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的
距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸
CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到
河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路 程最短？最短路程是多少？
A′ 1000m
C NM
D
A
B
变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC、BD，且AC≠BD，若牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮 水，所走路程最短？
A′CBiblioteka MDA B
变:如图，已知，∠AOB内有一点P，求作△PQR， 使Q在OA 上，R在OB上，且使△PQR的周长最 小.
16.2线段的垂直平分线（第一课时）
D
A
.
中点 C
垂直平分线 （中垂线）
B
如图，点C是线段AB的中点， 而且直线CD垂直于AB，
即直线CD垂直平分了线段AB。
. 思考：
D
PA等于PB吗？
P
PA=PB
A
.
B
同理：
中点C
MA=MB
.
M
P
C
A
.M 角平分线
O
如图MC=MD
D
Q
一个角的角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。
想一想
如图，某同学打台球时想绕过黑球，通过击主 球，使主球 撞击桌边 MN后反弹来击中彩球.请在 图中标明,主球撞在MN上哪一点才能达到目的 (以 主球、彩球的球心A、B来代表两球) ?
冀教版数学八年级上册：线段的垂直平分线优质PPT
2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于
D，图中相等的线段有（
）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
冀教版数学八年级上册：线段的垂直 平分线 优质PPT
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3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在 x轴上。 （1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________； （2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________。
O
A
D
C
.
.
B
冀教版数学八年级上册：线段的垂直 平分线 优质PPT
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小结
• 一个方法
证明线段相等的新方法：利用线段垂直 平分线的性质。
• 两条定理
• 三种作图
冀教版数学八年级上册：线段的垂直 平分线 优质PPT
线段垂直平分线上的点与线段两端的距 离相等。 与线段两端距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上。
P
点P在线段
AB的垂直 平分线上
?
PA=PB
A
C
B
冀教版数学八年级上册：线段的垂直 平分线 优质PPT
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线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º
在 ΔPAC和Δ PBC中，
AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB
PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
16.2尺规作图线段垂直平分线
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 到线段两端距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
《线段的垂直平分线》说课稿
《线段的垂直平分线》说课稿我今天说课的内容是冀教版教材八年级数学上册16.2《线段的垂直平分线》，我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教学方法，教学过程五个方面进行研说。
一、教材分析本节课是在前面研究了三角形全等和轴对称的基础上进行学习的，它和后面即将学到的角平分线性质都是轴对称图形特例，是证明边相等和求解边的长度的重要依据，为后面学习等腰三角形做铺垫。
在教材中起承前启后的作用。
二、教学目标、重难点:根据课标要求，经过学情分析，我把本节课的教学目标和重难点定位:教学目标（一）、知识与技能:1:探索并证明线段垂直平分线的性质定理2:能运用定理进行相关的证明，解决距离最短问题。
（二）、过程与方法:经历猜想、验证、归纳的过程，进步发展学生的推理能力和证明意识:体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神，在探究活动中，学会与人合作，并能与他人分享思维的过程和结果。
（三）、情感态度价值观:积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲:在数学活动中体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学习的自信心。
重点:线段的垂直平分线性质定理及相关证明或计算难点:运用性质定理解决最短距离问题三、教学方法为提高学生自主学习，合作交流和逻辑推理的能力，在对性质及其应用的教学中。
学生主要经历自主学一---合作学----展示学的探究过程，让学生真正成为课堂的主人，教师则主要以启发引导，画板展示，多媒体辅助等形式进行导学，真正体现教师是课堂的组织者、引导者、促进者和合作者。
四、教学过程在教学过程中首先建立评价机制，为每一个问题探究和最后的达标检测记录分数，这样不仅调动学生参与课堂的积极性。
了解各组参与学习、掌握知识的情况，而且以小组为单位进行评价，更使各小组形成合力，乐此不疲。
单元知识树导入，在学生回忆旧知的基础上导出新知，明确前后知识的逻错关系、构建知识网络，系统学习知识，避免知识的零星碎片化。
教师解读学习目标，使学生在目标的引领下，有目的地学习。